高二下期中数学试卷答案

1、金华一中高二（理科）数学期中试卷答案一、选择题：每小题5 分，共50 分题号12345678910选项BDCABDBACB二、填空题：每小题4 分，共28 分。11、1 a1 b1 c12、 2 :3: (4)13、2324414、115、 1,116、2010、 a3217三、解答题：本大题共5 小题，共72 分.18如图，在四棱柱ABCDA BCD中，DD1面ABCD1111D1C1已知 DCDD12AD2AB ， AD DC，AB DC 1AB1(1) 设 E 是 DC 的中点 ,求证 : D1E / 平面 A1BD ;(2) 求二面角 A1 BD C1 的余弦值 .(3) 求点 C 到

2、面 A1BD 的距离解： :(I) 连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形，DECBEAD A1 D1 ，且 BE ADA1D1 ，AB四边形 A1D1 EB 为平行四边形，D1E A1B .D1 E平面 A1 BD，A1 B 平面 A1 BD，D1E 平面 A1 BD.(II) 以 D 为原点， DA, DC, DD1 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设 DA 1 ，则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C1(0,2,2), A1 (1,0,2).DA1(1,0,2), DB (1,1,0).设 n (x, y, z) 为平面

3、A1 BD 的一个法向量，由 n DA1 , nx2 y01，则 n ( 2, 2,1) .DB 得y，取 zx0设 m (x1, y1 , z1 ) 为平面 C1 BD 的一个法向量，由 m2 y12z101,则 m (1, 1,1) .DC , m DB 得y1，取 z1x10cos m, nm n933 .m n33由于该二面角 A1BDC1 为锐角，所以所求的二面角A1BDC1 的余弦值为3.3（ 3） C (0,2,0)，CB(1,1,0).点 C 到面 A1 BD 的距离 d| CB n |22|4| n |441319观察下列等式：11，132 ，1353，13574，1 3 5

4、7 95， 13579116 ，.（ 1）猜想反映一般规律的数学表达式；（ 2）用数学归纳法证明该表达式解：（ 1）1 35. (1)n (2n1)(1)nn（ 2）证明： n=1 时，左式 =右式 =-1 ，等式成立假设 n=k 时，等式成立，即135 .( 1)k (2k1)(1)kk ，则当 n=k+1 时，左式135.(1)k (2 k1)(1)k1(2 k1)(1)kk(1)k 1 (2 k1)(1)k1 (k2k1)(1)k1 (k1)右式即 n=k+1 时，等式成立根据，等式对任意的nN * 均成立。20已知 f(x)=x3-ax2-4x(a 为常数 )，若函数 f(x)在 x=

5、2 处取得一个极值，（ 1）求函数 f( x)的单调区间；（ 2）若经过点 A （ 2， c），（ c -8）可作曲线 y= f(x)的三条切线，求实数c 的取值范围；解：（ 1） f ( x)3x22ax4f( 2 )1 2a440a224x 4由 f ( x)0得 x2或 x2f ( x) 3x3f (x)的单调递增区间是(2),(2,)， f ( x)的单调递减区间是2,(, 2)33（ 2） f(x)=x3-2x2-4x设切点是 ( x0 , x032x024x0 ) ，则 f ( x0 )3x024x04切线方程为 y( x032x024x0 ) (3x024x04)( xx0 )把

6、点 A （2， c）代入上式得2 x038x028x08c0过点 A可作 yf (x)的三条切线2x38x28x8c0有三个不同的实根设 g (x)2x38x28x8c ，则g (x)6x216x8, 令g ( x)0得 x2 或x23g( x)在 (, 2),(2,)上单调递增，在（2 , 2）上单调递减33g( x)极大值g( 2)0280由题意3，解得c 8g (x)极小值g (2)02721如图， 在四棱锥 P-ABCD 中，PD 面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形， AC=6，BD = 63 ，E 是 PB 上任意一点（ 1）求证： AC DE ；（ 2）当 AEC 面积的最小

7、值是 9 时，求 PD 的长（ 3）在（2）的条件下， 在线段 BC 上是否存在点 G，使若存在，求出BG 的值，若不存在，说明理由解：（ 1） PD 面 ABCD ，PD AC四边形ABCD 是菱形，EG 与面 PAB 所成角的正切值为2？P BDACAC面 PBD AC DE（ 2）记 AC 与 BD 交点为 F，由（ 1）知，AC EFEDC当 AEC 面积的最小值是9 时，FGEF 取得最小值 3AB在 PBD 中，当 FE PB 时， EF 最小，此时 EB= BF 2EF 23 2由 BEF BDP 得 EFPD ,解得 PD3 6EBBDx 轴、 y 轴，建立空间直角坐标系，(3

8、)以点 F 为坐标原点， FB ， FC 所在直线分别为则 P( 3 3,0,3 6), B(3 3,0,0)EB1 PB1 (6 3,0,3 6) (2 3,0, 6)3 3而 BC （ -3 3,3,0 ）,BG tBC （-3 3t,3t,0 ）E GE BB G（ 2 3 - 3 3 t , 3 t , ）6-而面 PAB 的法向量 n(2,6,2)由已知得 cosn, EG2，解得 t253存在靠近点 C 的三等分点 G 满足题意22设 aR，函数 f ( x) (ax22x)e x（ 1）当 a 0 时，求 f(x)的极值点；（ 2）设 f(x)在 -1 ， 1上是单调函数，求a 的取值范围解：（ 1） f ( x)ax22( a1)x2e x a=0 时， f( x)2( x1)e x令( )2(1)x0得1fxxex由 f ( x)0得x 1， f ( x)0得x 1故 x1是 f ( x)的极小值点 a>0 时，令 f(x)0得 x1a1a21a 1a2 1a，x2a经检验得 x1 是极小值点， x2是极大值点（ 2）f(x)在 -1 ， 1上是单调函数，f(0)20f(x)在 -1 ， 1上是单调递减函数f ( x)0 在 -1， 1上恒成立记 g( x)f(x)ax22(a1)x 2