高考数学化归与转化思想及方法讲解

1、优秀学习资料欢迎下载高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、 数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想 ,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则 .(2)化生为熟的的原则 . (3) 等价性原则 . (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则 .将抽象的数学信息转化为可以观察 ,或者能够定性研究的具体问题 .下面通过一些具体例子说明化

2、归与转化思想中主要的一些方法.1. 用构造法实现化归与转化例 1 已知 x, yR且 2x3 y2 y3 x , 那么（）A. xy0B. xy0C.x y 0D. xy0分析： 已知不等式两边都含有x, y 两个变量， 而学生目前只学习一元函数， 为此先把不等式化 为 2 x3 x2 y3y ， 使 它 的 两 边都 只 含 有 一 个变 量 ， 于 是 可 以 构 造 辅 助 函 数f ( x)2 x3 x ，通过构造函数 ,把不等式问题化归为函数单调性问题 .解：把原不等式化为 2 x3 x2 y3y ，即 2x3 x2 y3 (y ) .设 f (x) 2 x3 x. 因为 函 数 2

3、 x , 3 x 均 为 R 上 的 增 函 数 , 所 以 f ( x) 2x3 x 是 R 上 的 增 函 数 . 不 等 式2 x3 x2 y3 ( y ) 即 f ( x)f ( y) ,xy即 xy 0 ,故选 B .2. 转换变量实现化归与转化例 2 设 y(log 2 x) 2(t2) log 2 xt1,若 t 在 2,2 上变化时 , y 恒取正值 ,求 x 的取值范围 .优秀学习资料欢迎下载分析:本题中 如果把y看作 x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题解法较为复,杂 .由于 t 在 2,2 上变化 ,所以如果转换思维角度,把 y 看作 t 的函数 ,则 y 就

4、是关于 t 的一次函数或常数函数 .原命题的陈述方式变为:关于 t 的函数 y ，当自变量 t 在 2,2上变化时， y恒大于零，求字母x 的取值范围 .从而有以下简捷解法 .解 :设 yf (t )(log 2x 1)t (log 2 x)22 log 2 x1. 则 f (x) 为一次函数或常数函数.当f (2)0log 22x4 log 2x30t 2,2时 ,f ( x)0恒成立,则解 得f (2)0,即2,log 2x1 0l o g2 x1或log 2 x3, 0 x1或x8 ,x 的取值范围是(0,)(8,).所以1223. 用换元法实现化归与转化例 3已知aR, 求函数y( a

5、sin x)(acos x)最小值.分 析:把函数y( asin x)( ac o xs)展 开 后,可以观察到该函数是关于s i nx c o xs与 s i nxc o xs的三角函数式 ,因此可以把sin xcos x 看作一个量 ,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题.解:设tsin x cosx,则t2 sin(x), t2,2.而1(sin x1 (t 24sin xcosxcos x) 211),所以22yf (t)a 2a( s x i cnox) s six ncox sa 2at1 (t 21)1 t 2ata211 (ta)21 a 21 ,t2,2 .22

6、2222（ 1）若2 a2时，当 ta, f (t ) min1 a 21 ; （ 2）若 a2 时， f (t ) 在222,2 上单调递减，f (t) m inf (2 )a22a1; （ 3）若 a2 ， f (t ) 在22,2 上单调递增，f (t )minf (2 )a 22a1.2优秀学习资料欢迎下载4用数形结合实现化归与转化例 4 已知不等式(2x1) 2a x2 的解集中只有三个整数解,求实数 a 的取值范围 .分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数 f ( x) (2 x 1)2 , g( x) ax 2 的大致图像（如图 1所示） ,从图像上可以看到

7、,要使不等式成立,必须图 1a 0 ,而且满足 (2x1) 2a x 2 的图像在 y 轴的右边 ,由此看到，解集中三个整数解分别为 1,2,3 ，而 4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围 . 通过数形结合 ,把求不等式中字母 a 的问题 ,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题.解 :在同一坐标系中画出f (x)(2 x1)2 , g( x)ax 2 （ a0 ）的大致图像图像 ,如图 1所示 .从图1中看到 ,要使不等式 (2x1) 2ax 2 的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是 1,2,3所以f (3)g(3)即 52a32解得25a49. 这就是

8、实数 a 的取值范围 .f (4)g(4)7 2a429165. 用分离变量法实现化归与转化例 5 若不等式 x2ax10 对一切 x(0, 1 成立 ,则 a 的最小值为.2分析 :要求 a 的最小值 ,需要求出 a 的取值范围 .若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐 .若把字母 a 单独分离出来 ,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式 .通过求函数式的值域或范围,可以求得字母 a 的取值范围 .解 :因为 x (0, 1 ,所以可以把不等式x 2ax 1 0 化为 : a( x1 ) .设 f ( x)x1,2xxx (0, 1 .因为 f ( x) x1在

9、x(0, 1 时单调递减 ,所以 f ( x)5 , ( x1 )5.2x22x2要使不等式 a( x1) 对一切 x(0, 1 成立 ,则 a5,所以 a 的最小值为5.x2226. 用特殊化法实现化归与转化例 6已知|OA|1,| OB |3,OA OB0,点C在ABC 内,且AOC 30 .设OCm)mOA nOB( m,n R) ,则(nA.13C.3D .3B.33优秀学习资料欢迎下载解析： 本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OCmOAnOB 两边平方后，得到 m, n 关系式，从中求出m,比较繁琐 .现在如果把 m, n 特殊化 ,如取 m 1则nAC / OB

10、 .由 | OA | 1, AOC 30 ,OA31m3 ,由此AC得|AC|,所以 n,则33n判断选择支A, C, D 错误 ,故 B 正确 .7. 用导数实现化归与转化例 7 已知函数 f ( x)x22a ln x( x0) ，x（ I）令 a1 ，求函数 f ( x) 在 x2 处的切线方程；（）若 f (x) 在 1,) 上单调递增，求a 的取值范围 .分析 :本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（ I ）中 ,把 a1 代入函数的解析式后 再求函数的导数,得 f (x) 在x2处的切线斜率最后写出方程在（）中 先求,.,函数 f (x)x22a ln x(x0)

11、的导函数f (x) ,再令 f(x)0在 1,) 上恒成立 ,求得xa 的取值范围 . 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题, 化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一 .解 :（I）由 f (x)x22a ln x,得 f '( x)2x2axx2x切线的斜率 kf'(2)4 切点坐标（ 2， 5+ ln 2 ）， 所求切线方程为y (5ln 2)4( x2) ,即 4x y3ln 20（）若函数为1,) 上单调增函数，则 f ( x)0在1,) 上恒成立，即不等式2x2a0在1,) 上恒成立xx2也即 a22x2在 1,) 上恒成立 .令

12、( x)22 x2 , 上述问题等价于 a(x)max ,xx而 (x)22x2为在 1.) 上的减函数，则(x)max(1) 0, 于是 a0为所求 .x8. 用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例 8 已知数列 an的前 n 项和 Sn2n 23 ,求数列 an的通项 an .分析 : 数列 an的前 n 项和已知, 根据前 n 项和定义Sn a1 a2an 得 , 当 n 2时 , an Sn Sn1 ,把数列 an 的前 n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.优秀学习资料欢迎下载解 :因为 Sn 2n23

13、,所以当 n2 时 , an SnSn 12n 23 2(n 1) 23 4n 2 ,又当 n1时 ,1235,所以4n2, n2a1an.S15, n9. 利用命题的否定或反证法实现化归与转化例 9已知下列三个方程 : x24ax 4a3 0 , x 2(a 1) x a 20 ,x22ax 2a 0 至少有一个方程有实数根,求实数 a 的取值范围 .分析 :若从题设入手 ,三个方程至少有一个有实数根 ,则需要分为三类 ,即有一个方程有实根 ,有两个方程有实根 , 有三个方程有实根 .而且前两类中又各有三种情况 ,比较复杂 .因此考虑该问题的相反情况即 : 三个方程都没有实根 .求得 a 的

14、范围后 ,再在 R 上求补集 .该转化较好的体现了正难反则易的思想 .( 4a)24(4a3)0（）11 ,解 :假设三个方程均无实根， 则有(a - 1)4a02a22（ ），解（ 1）得：3( 2a)24(2a)0（ ）223解（2）得：1,解（ 3）得：3a2a0.a1.a 1所以三个方程均无实数解时或323 或a因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是 a1.210. 利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点 P、A、B、C ,如果 PA、PB、PC 两两互相垂直，如图2 所示,且PA PB PC a, 那么 这个 球 面的面 积是 ()A.3a 2B.3a 2 C .3 a2D.3 3a 2224PPCACABB图 2图D3解析 :本题若只从题设条件入手,不易确定 PA、 PB、 PC 与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算 .若类比我们熟悉的球与多面体的组合体 ,则可以联想到球的内接正方体 .