高考数学圆锥曲线试题

1、优秀学习资料欢迎下载高考数学圆锥曲线试题重庆文（ 12）已知以 F1（ 2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线x3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A）3 2（B）2 6（C）2 7（D）4 2（ 21）（本小题满分12 分，（）小问4 分，（）小问8 分）如题（ 21）图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y28 x 的焦点 F，且与抛物线交于A、B两点。题（ 21）图（）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。（ 21）（本小题12 分）（）解：设抛物

2、线的标准方程为y 22 px ，则 2 p8 ，从而 p4.因此焦点 F ( p ,0) 的坐标为（ 2， 0） .2p又准线方程的一般式为x。2从而所求准线l 的方程为 x2 。答（ 21）图优秀学习资料欢迎下载（）解法一：如图（21）图作 AC l， BD l，垂足为C、 D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC |,|FB|=|BD |.记 A、 B 的横坐标分别为xxxz，则|FA| |AC| xxp| FA | cos app| FA | cos a4解得|FA|4，2221cosa类似地有 | FB |4| FB | cosa ，解得4。|FB |1 cos a记直线 m 与 AB

3、的交点为 E，则|FE |FA | | AE|FA |FA|FB| 11444 cos a2(|FA|FB |)1cos a1cos asin 2 a22所以 |FP| FE|4。cosasin2 a故 | FP | | FP | cos2 a4(1cos 2a )4·2 sin2 a8 。sin 2 asin 2 a解法二：设A( xA , y A ) ， B( xB , yB ) ，直线 AB的斜率为ktan a ，则直线方程为yk( x 2) 。将此式代入 y28 x ,得 k 2 x24(k 22)x4k 20 ，故 xAxBk(k 22) 。k2记直线 m 与 AB 的交点

4、为 E( xE , yE ) ，则xEx AxB2( k22)，2k2yEk( xE2)4，k故直线 m 的方程为 y41x2k 24kkk 2.令 y=0,得 P 的横坐标xP2k 244 故k 2|FP |xP24(k 21)4。k 2sin 2a4·2 sin 2从而 |FP | FP | cos 2a4asin 2 a(1 cos 2a)2 a8 为定值。sin重庆理（16）过双曲线 x 2y 24 的右焦点 F 作倾斜角为 1050的直线，交双曲线于PQ 两点，则|FP|FQ|的值为 _.(22)(本小题满分 12分 )如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F（ 3， 0），

5、右准线 l 的方程为： x = 12 。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点P1, P2 , P3 ，使P1 FP2P2 FP3P3 FP1 ，证明优秀学习资料欢迎下载111为定值，并求此定值。|FP1|FP2 | FP3 |YP2P1lOFP3X浙江文（ 10）已知双曲线 x2y21(a 0, b 0)的左、右焦点分别为F1、 F2，P 是准线a2b2上一点，且 P F1 P F2， P F1 P F2 4ab，则双曲线的离心率是(A) 2(B) 3(C)2(D)3(21)(本题 15分 )如图，直线y kx b 与椭圆x2y21交于 A、 B 两点，记 AOB4的面积为S(I)

6、 求在 k 0， 0 b 1 的条件下， S 的最大值；（ )当 AB 2，S 1 时，求直线AB 的方程yAOxB（ 21）本题主要考查椭圆的几何性质、 椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15 分(I) 解：设点A 的坐标为(x1, b)，点B 的坐标为(x2 , b)，由x24y21，解得x1,22 1b2优秀学习资料欢迎下载所以 S1 b | x1x2 | 2b 1 b2b2 1 b212当且仅当 b2时， S 取到最大值 12ykx b（）解：由x2得y 214(4k 21)x28kbx 4b24 016(4 k 2b21)AB 2216(4k

7、 2b21)1 k | x1x2 | 1 k4k212又因为 O 到 AB 的距离 d|b |2S1所以 b2k 211k 2| AB|代入并整理，得4k 44k 210解得， k 21 ,b23，代入式检验，022故直线 AB 的方程是y2 x6 或 y2 x6 或 y2 x6 或 y2 x6 22222222浙江理（ 9）已知双曲线x2y21(a0， b0) 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， P 是准线上一a2b2点，且 PF1PF2 ， PF1PF24ab，则双曲线的离心率是（）232 3天津文（ 7 ）设双曲线x2y21(a0， b0) 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线a2b2

8、y24x 的准线重合，则此双曲线的方程为（） x2y21 x2y2112244896优秀学习资料欢迎下载 x22 y21 x2y213336（22）（本小题满分 14分）设 椭 圆 x2y2 1(ab 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， A 是 椭 圆 上 的 一 点 ，a2b2AF2F1F2 ，原点 O 到直线 AF1 的距离为1OF13（）证明 a2b ；（）求 t (0， b) 使得下述命题成立：设圆x2y2t 2 上任意点 M ( x0， y0 ) 处的切线交椭圆于 Q1 ， Q2 两点，则 OQ1 OQ2 （22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程

9、、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14 分（）证法一：由题设 AF2F1 F2 及 F1(c，0) ， F2 ( c，0) ，不妨设点 A(c， y) ，其中y0，由于点 A 在椭圆上，有c2y21，a2b2a2b2y21，a2b2解得b2b2，y，从而得到 A，caab2( xc) ，整理得直线AF2 的方程为 y2acb2 x2acy b2c0 1由题设，原点 O 到直线 AF1 的距离为OF1 ，即cb2c，3b4 4a2 c2将 c2a2b2 代入原式并化简得 a22b2 ，即 a2b Ab2证法二：同证法一，得到点的

10、坐标为，ca优秀学习资料欢迎下载过点 O作OBAF1 ，垂足为 H ，易知 F1BC F1F2 A ，故yABOF2 AHOF1F1 AF1OF2x由椭圆定义得AF1AF22a ，又 BO1 OF1，所以31F2 AF2 A，3F1 A2aF2 AF2 AaF2 Ab2b2a2b 解得，而a，得a，即 a22（）解法一：圆x2y2t 2上的任意点 M (x0， y0 ) 处的切线方程为x0 x y0 yt 2当 t(0， b) 时，圆 x2y2t 2 上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1 和 Q2 ，因此点 Q1 (x1， y1) ， Q2 (x2， y2 )

11、 的坐标是方程组x0 xy0 yt 2的解当 y0 0时，由式得x22y22b2t2x0 xyy0t 2x0 x2代入式，得 x222b2 ，即y0(2 x02y02 ) x24t 2 x0 x 2t 42b2 y020 ，于是 x1x24t2 x0， x1 x22t 42b2 y022x02y022x02y02y1 y2t 2x0 x1 t2x1x2y0y114x0t2(x122 tx2 ) x0 x1x2y01t4x0t24t 2 x02 2t 42b2 y02222x022y02x0y02x0y0t 42b2 x02 2x02y02优秀学习资料欢迎下载若 OQ1OQ2 ，则x1x2y1

12、y22t 42b2 y02t 42b2 x023t 42b2 ( x02y02 )0 2222222x0y02x0y02x0y0所以， 3t 42b2 ( x02y02 )0 由 x02y02t2 ，得 3t42b2t 20 在区间 (0， b) 内此方程的解为 t6 b 3当 y0 0 时，必有 x00 ，同理求得在区间 (0， b) 内的解为 t6b 3另一方面，当 t6 b 时，可推出 x1x2y1 y20 ，从而 OQ1OQ2 3综上所述， t6 b(0， b) 使得所述命题成立3天津理22（本小题满分14 分）设 椭 圆 x2y21(a b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，A是椭圆

13、上的一点，a2b2AF2F1F2 ，原点 O 到直线 AF1 的距离为1OF 31（）证明 a2b ；（）设 Q1， Q2 为椭圆上的两个动点，OQ1OQ2 ，过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD ，垂足为 D ，求点 D 的轨迹方程22本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14 分（）证法一：由题设AF2F1F2 及 F1(c，0) ， F2 (c，0)，不妨设点A(c， y) ，其中y0由于点 A 在椭圆上，有c2y2a2b2y21 a2b21，即2b2ab2b2解得，y，从而得到A

14、caa直线 AF1 的方程为 yb2( xc) ，整理得 b2 x2acy b2c 0 2ac优秀学习资料欢迎下载由题设，原点 O 到直线 AF1 的距离为1 OF1 ，即cb4b2c，334a2 c2将 c2a2b2 代入上式并化简得 a22b2 ，即 a2b b2证法二：同证法一，得到点A 的坐标为c，a过点 O作 OBAF1 ，垂足为 B ，易知 F1BO F1 F2 A，故由椭圆定义得AF1AF2 2a，又 BO1OF1，3所以1F2 AF2 A，3F1 A2aF2 A22BOF2 AOF1F1 AyAB解得 F2Aabba2bF1，而 F2A，得a，即 a2a2（）解法一：设点D 的

15、坐标为 ( x0， y0 ) OF2x当 y0 0 时，由 ODQ1Q2 知，直线 Q1Q2 的斜率为x0，所以直线 Q1Q2 的方程为y0yx0 ( xx0 )y0 ，或 ykxm ，其中 kx0 ， my0x02y0y0y0ykx，点 Q1 ( x1， y1 )， Q2 (x2， y2 ) 的坐标满足方程组mx22y22b2将式代入式，得x22(kxm)22b2 ，整理得 (12k 2 ) x24kmx 2m22b20，于是 x1x24km ， x1x22m22b 12k 212k2由式得 y1 y2(kx1m)( kx2m)k2 x1 x2km( x1x2 )k 22 2m22b2

16、83;4km2m22b2 k2k·m12k2km2k12k21由 OQ1OQ2 知 x1x2y1 y20 将式和式代入得3m22b22b2 k20 ，12k 2优秀学习资料欢迎下载3m22b2 (1 k 2 ) 将 kx0 ， m y0x02代入上式，整理得 x02y022 b2 y0y03当 y00 时，直线 Q1Q2 的方程为 xx0 ， Q1( x1， y1 )， Q2 ( x2， y2 ) 的坐标满足方程组xx0，x22y22b2所以 x1x2x0 ， y1，22b2x022由 OQ1OQ2 知 x1x2y1 y20 ，即 x022b2x020 ，2解得 x022 b2 32

17、 b2 这时，点 D 的坐标仍满足 x02y023综上，点 D 的轨迹方程为x2y22 b2 3解法二：设点 D 的坐标为 ( x0， y0 ) ，直线 OD 的方程为 y0 x x0 y0，由ODQ1Q2 ，垂足为 D ，可知直线 Q1Q2的方程为 x0 xy0 y x02y02 记 mx02y02（ 显 然 m 0 ）， 点 Q1 ( x1， y1 )， Q2 ( x2， y2 ) 的 坐 标 满 足 方 程 组x0 xy0 ym，x22y22b2由式得 y0 ymx0 x 由式得 y02 x22 y02 y22 y02b2将式代入式得y02 x22(mx0 x)22y02b 2 整理得

18、(2 x02y02 )x24mx0 x2m22b2 y020 ，于是 x1 x22m22b2 y022x02y02由式得 x0 x my0 y 优秀学习资料欢迎下载由式得 x02 x22x02 y22x02 b2 将式代入式得(my0 y) 22x02 y 22x02b2 ，整理得 (2 x02y02 ) y22my0 ym22b2 x020，于是 y y2m22b2 x02 12x2y200由 OQ1OQ2 知 x1x2y1y2 02m22b2 y02m22b2 x020，将式和式代入得y022x02y022 x023m22b2 (x02y02 ) 0 将 mx02y02 代入上式，得 x2

19、y22 b2 003所以，点 D 的轨迹方程为 x2y22 b2 3四川文（5）如果双曲线x2y22,那么点 P 到 y 轴的距离4 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是2是(A)46(B)26(C) 26(D) 2333(10)已知抛物线 y-x 2+3上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点A 、 B，则 |AB| 等于A.3B.4C.32D.42解析：选C设直线 AB 的方程为 yxb ，由yx23x2x b30x1x21 ，进而可求出AB 的中点yxbM (1 ,1b) ，又由 M (1 ,1b) 在直线 xy 0 上可求出 b1， x2x 20 ，2222由弦长公式可求出AB11

20、2124(2)32 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系自本题起运算量增大（21） (本小题满分 12分)求 F1、 F 2 分别是椭圆 x2y21的左、右焦点 .4优秀学习资料欢迎下载（）若 r 是第一象限内该数轴上的一点，PF1225 ，求点 P 的作标；PF24（）设过定点M（ 0， 2）的直线 l 与椭圆交于同的两点A、B，且 ADB 为锐角（其中 O为作标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .解析： 本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知 a2 ， b1， c3 F1(3,0) ， F2 (3,0) 设 P(x, y

21、) (x0, y0) 则PF1PF2(3x,y)(3x,y)x2y235，又 x2y21，44x2y27x21x1联立x224 ，解得23y3 ， P(1,3 ) y1y4224（）显然 x0不满足题设条件可设l 的方程为 ykx 2，设 A(x1, y1 ) ， B( x2, y2 ) x2y21x22)2(1 4k 2 )x2联立44(kx416 kx120ykx2 x1x212， x1x216k1 4k21 4k 2由(16k )2 4 (1 4k2 ) 12 016k 23(14k 2 )0 ，4k 230，得 k234又 AOB 为锐角cosAOB0OA OB0 ， OA OB x1

22、x2y1 y20又 y1 y2(kx12)(kx22)k2 x1 x22k( x1 x2 )4 x1x2y1 y2(1 k 2 ) x1 x22k( x1x2 ) 4(1 k 2 )122k (16 k) 41 4k21 4k 212(1 k 2 )2k 16k414k 21 4k2优秀学习资料欢迎下载4(4k 2 )014k 21k 24 4综可知 3k 24 ， k 的取值范围是 (2,3)(3,2) 422四川理20）（本小题满分12 分）设 F1 、 F2 分别是椭圆x 2y 21的左、右焦点 .4（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1 · PF2 的最大值和最小值 ;（

23、）设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且 AOB 为锐角（其中 O为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .（ 20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识， 以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知a2, b1,c3所以 F13,0, F23,0 ，设 P x, y ，则PF1 PF23 x, y , 3 x, yx2y23 x21x231 3x2844因为 x2,2，故当 x 0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1PF2 有最小值2当 x2 ，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1PF2 有最大值 1解法二：易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y，则222PF1PF2PF1PF2cosF1PF2PF1PF2PF1PF2F1 F22 PF1PF21x2y 2x212x2y23 （以下同解法一）33y 22（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l : ykx2, A x1 , y2, Bx2, y2 ，ykx21联立，消去 y ，整理得：k224kx3 0x2y24x14优秀学习资料欢迎下载 x1x24k, x1 x23k 211k2443 或 k由4k4 k13 4k 23 0 得： k32422又 00A0B9