第二章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念

1、第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一一 多元函数的定义多元函数的定义二二 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性一一 多元函数的定义多元函数的定义（1 1）邻域邻域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx 1 有关有关区域的概念区域的概念定义定义（2 2）区域）区域().eppu pepe 设是平面上的一个点集，设是平面上的一个点集，是平面上的一个点如果存在是平面上的一个点如果存在点的某一邻域，则点的某一邻域，则称为称为内点内点的的.ee的内点属于的内点属于ep .ee如果点集的点都是内，如果点集的点都是内，则称为则称为开集开集点点41

2、),(221 yxyxe例如，例如，即为开集即为开集p xyopeepeepe如果点的任一个邻域内既有属于的点，如果点的任一个邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的可以不属于），则称为的边界点边界点ep ee的边界点的全体称为的的边界点的全体称为的边界边界dddd设是点集如果对于内设是点集如果对于内任何两点，都可用折线连结起来，任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于，则称且该折线上的点都属于，则称集合是集合是连通的连通的 连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区域开区域.41| ),(22 yxyx例如，例

3、如，xyo.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo连通的不是开集连通的不是开集是开集不是连通的是开集不是连通的xyo不是闭区域的例子：不是闭区域的例子：去掉边界不是开区域去掉边界不是开区域0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；是无界开区域是无界开区域xyo例如例如，ekpeaapkapkpee 对于点集如果存在正数，使一切点与对于点集如果存在正数，使一切点与某一定点间的距离不超过，即某一定点间的距离不超过，即对一切成立，则称为对一切成立，则称为有界点集有界点集，41| ),(22 yxyx无无否则称为否则称为界点集界点集（3 3）聚点聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明说明

4、边界点可能是聚点边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点点集点集e e的聚点可以属于的聚点可以属于e e，也可以不属于，也可以不属于e e10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0,0) (0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合2 2 n n维空间维空间n n维空间的记号为维空间的记号为说明说明：;nrn n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 n),(21nxxx元数元数称为称为维空间中的一个维空间中的一个点

5、点，而每个而每个组组nnn),(21nxxxn设设为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称数组数组的全体为的全体为维空间维空间，元元ixi为该点的第为该点的第个个坐标坐标. .数数称称.)()()(|2222211nnxyxyxypq ),(21nxxxp),(21nyyyq设两点为设两点为定义定义n n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nrpppppu ,|),(00 特殊地当特殊地当3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两点间的距离点间的距离d,

6、),(dyxp 设设是是 平面上的一个点集，如果对于每个平面上的一个点集，如果对于每个点点3 3 多元函数的定义多元函数的定义n元函数元函数的定义，的定义，dyxyxfz ),(),(记为记为定义定义(1) 二元函数的定义二元函数的定义z是是的的二元函数二元函数，则称则称yx、或或dppfz ),(变量变量z按照一定的法则按照一定的法则值和它对应，值和它对应，f总有唯一确定的总有唯一确定的其中其中d称为函数的称为函数的定义域定义域，yx、称为函数的称为函数的自变量自变量，z称为函数的称为函数的因变量因变量。说明说明如果将如果将d换成换成)2( nrn中的点集，中的点集， 相应的可相应的可得出得

7、出n元函数统称为元函数统称为多元函数多元函数. .例例1 1 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxd 的定义域的定义域xyo1322 yx02 yx4222 yx2yx (2)(2) 二元函数二元函数),(yxfz 的图形的图形),(yxfz ,d 设函数设函数的定义域为的定义域为),(yxfz 对应的函数值对应的函数值这个点集称为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形. .,),(dyxp 对于任意取定对于任意取定的的),(yxfz xyzo),(yxp ),(,(yxfyxmdyz),(zyxm为纵坐标、为

8、纵坐标、为竖坐标在空间就为竖坐标在空间就确确x这样以这样以为横坐标、为横坐标、定一点定一点),(yxd,),(),(|),(dyxyxfzzyx 当当取遍取遍个空间点集个空间点集 时，得一时，得一二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. .xyzxyzsin 例如例如, ,224yxz o例如例如, ,2222azyx 222yxaz (3)(3) 多值函数多值函数xyzo在函数的定义中要求对每个在函数的定义中要求对每个,),(dyx 按照一确定按照一确定z法则有法则有唯一的唯一的一个数一个数与与),(yx对应，对应，但在实际问题中但在实际问题中经常存在多个数经常存在多个数z

9、与与),(yx对应，对应，这样的对应关系称为这样的对应关系称为多值函数多值函数，因此因此我们说由我们说由2222azyx 确定确定了一个多值函数。了一个多值函数。对于多值函数可分成几个对于多值函数可分成几个(单值单值)函数来讨论，函数来讨论， 例如例如, ,2222azyx 可分成可分成222yxaz 对于每个点对于每个点),(yx)(222ayx 有两个确定的数有两个确定的数和和与之对应，与之对应，222yxaz 和和222yxaz 讨论。讨论。),(yx 1 1 多元函数的极限多元函数的极限二二 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性, 20200)()(|0yyxxpp,pd |)

10、,(|ayxf),(yxfz ,0 xx 0yy ayxfyyxx ),(lim00)0(),( ayxf|0pp 定义定义),(000yxp是其聚点，是其聚点，总存在正数总存在正数使得对于适合不等式使得对于适合不等式的一切点，且的一切点，且都有都有成立，成立，在在时的时的极限极限，或或这里这里, 如果对于任意给定的正如果对于任意给定的正数数为函数为函数称称a记为记为则则),(yxfz ,d的定义域为的定义域为设函数设函数说明说明：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（

11、3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似确定极限不存在可以找多种确定极限不存在可以找多种),(yxp趋向于趋向于),(000yxp的路径，的路径，且且),(yxf的极限不相等。的极限不相等。（4）求二元函数可以通过转变，化为一元函数的极限）求二元函数可以通过转变，化为一元函数的极限例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 .)si

12、n(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx yxyx22)sin( 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 0,222yxyx 00limyx例例4 4 证明证明证证2200limyxxyyx 取取kxy 220limyxxykxyx 2220limxkxkxxx ,12kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在 不存在不存在类似可以定义类似可以定义n元函数的极限元函数的极限n)(pf0, pd, , |

13、00ppdp |)(|apfn)(pf0pp apfpp )(lim0定义定义 设设元函数元函数的定义域为点集的定义域为点集是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数总存在正数总存在正数使得对于适合不等式使得对于适合不等式的一切点的一切点都有都有成立，则称成立，则称元函数元函数在在时的时的极限极限，为为a记为记为 2 2 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义)()(lim00pfpfpp n)(pf0pn)(pf,d设设元函数元函数的定义域为点集的定义域为点集如果如果则称则称元函数元函数在点在点处处连续连续. .0p)(pf设设是函数是函数的定义域的聚点，的定义域的聚

14、点，)(pf0p在点在点处不连续，处不连续，如果如果0p)(pf是函数是函数的的间断点间断点. .则称则称如果函数在如果函数在 d 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 d上上连续连续.,0dp 是其聚点且是其聚点且0p例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)(0,0)处的连续性处的连续性解解),(yxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在故函数在(0,0)(0,0)处连续处连续0)0 . 0( f|222xyxx |222yyxy |yx 0000yx 函

15、数函数 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0 , 0) (0 , 0) 极限不存在极限不存在, , 函数函数11),(22 yxyxf上间断上间断. .122 yx 故故 ( 0, 0 )( 0, 0 )为其间断点为其间断点. .在圆周在圆周 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域内定义区域内是连续的是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域00000lim()()()()lim()().ppppf pf ppf pf ppf pf p 一般地，求时，如果是初等函数，一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是于是例例6 60011lim.xyxyxy求求解解0011lim(11)xyxyxyxy 原式原式111lim00 xyyx.21 222)3arcsin(),(yxyxyxf 例例7 求函数求函数的连续域的连续域.1322 yx4222 yx解解:0