方向导数与梯度70520

1、8.4 8.4 方向导数与梯度方向导数与梯度主要内容：主要内容：方向导数的定义方向导数的定义梯度的概念梯度的概念实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最

2、骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点p沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 二、方向导数的定义二、方向导数的定义oyxlp xyp引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lppuyxpyxfz)(),(),( ).(),(,puplyyxxplx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 （如图）（如图）|pp ,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且当当 沿着沿着 趋于趋于 时

3、，时，p pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考虑考虑是否存在？是否存在？0(,)( , )lim.ff xx yyf x yl 的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lpplpyxppyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为,cos222zyxxaaaaaia 的方向角。的方向角。轴的夹角称为轴的夹角称为与与、向量、向量azyxa,2,cos222zyxyaaaaaja 222cos.zxyz

4、aa kaaaa方向余弦方向余弦证明：证明：由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf flcoscosfffxyl如果与如果与l方向同向的单位向量写为：方向同向的单位向量写为：方向导数也可写为方向导数也可写为(见教材见教材p127)：例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0 , 1(p处处沿沿从从点点 )0 , 1(p到到点点)1, 2( q的的方方向向的的方方向向导

5、导数数.解：解：2(1,0)(1,0)1;yzex因, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)4sin(2)4cos( zl所以可得：.22 解：解：(1,1)(1,1)cos(1,1)sinxyfffl(1,1)(1,1)(2)cos(2)sinxyyx sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxp沿着方向沿着方向 l的方

6、向导数的方向导数 ，可定义，可定义为为0(,)( , )lim,ffxx yy zzfx y zl 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其中其中222)()()(zyx ） 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 l的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有coscoscos .ffffxyzl设设方方向向 l 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z例例3 求函数求函数 )ln(22zyxu 在点在点a(1,0,1)处沿点处沿点a指向点指向点b（3,2,2) 方向的方向导数。方向的方

7、向导数。解：解： coscoscos ,uuuuxyzl2, 2,1,l ,32cos 31cos,32cos )1 ,0, 1(221zyxxu ，21 )1 , 0 , 1(2222zyxzyyyu ，0 )1 ,0, 1(2222zyxzyzzu ，21 (1,0,1)1 21 12 32 3ul。21 三、梯度的概念三、梯度的概念?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函数数在在点点问问题题p过过p点的方向有无数，如何找出函数增加最快的方向？点的方向有无数，如何找出函数增加最快的方向？分析：分析：cossinfffxylsin,cos, yfxf cossincos)()

8、(2222yfxf设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，则则.是是两两向向量量之之间间的的夹夹角角 的的方方向向一一致致时时的的方方向向与与当当,yfxfl grad z 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论：结论：当当xf 不不为为零零时时，),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),

9、( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量p梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：向向导导数数的的方方于于函函数数在在这这个个法法线线方方向向模模等等高高的的等等高高线线，而而梯梯度度的的值值较较值值较较低低的的等等高高线线指指向向数数从从数数线线的的一一个个方方向向相相同同，且且在在这这点点的的法法高高线线的的等等的的梯梯度度的的方方向向与与点点在在点点函函数数cyxfpyxpyxfz ),(),(),(等高线的画法等高线的画法用平面用平面

10、z=c去截曲面去截曲面z=f(x,y)。等高线的画法等高线的画法 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu233222

11、2 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 p处梯度为处梯度为 0.解解?,),(0000222222模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的具有什么关系时具有什么关系时的方向导数，问的方向导数，问的向径的向径处沿点处沿点在点在点求求cbarzyxmczbyaxu 例例5 502220000000,rxyzrxyz.cos,cos,cos0

12、00000rzryrx m在点处的方向导数为 coscoscos0mmmmzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu m在点处的梯度为：mmmmuuugraduijkxyz000222222xyzijkabc,2424242000czbyaxgradum ,时时当当cba 00022222,mgraduxyza,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxarum 0,mmugradur,.abc 时 方向导数等于梯度的模例例6.),(vgradvfugradufvufgrad 证明证明( , ),fffgrad f u vxyz证明：因zvvfzuufzfyvvfyuufyfxvvfxuufxf ,而而( , ),grad f u vfufvfufvfufvuxv xuyv yuzvz .),(:vgradvfugradufvufgrad 即即( , , );( , , )uu x y z vv x y zxfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|l