方向导数和梯度

1、上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、方向导数二、梯度8.7 方向导数与梯度上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、方向导数 设函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的某一邻域u(p0)内有定义, l是xoy平面上以p0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单位向量为el(cos, cos) 提示 取p(x0tcos, y0tcos)u(p0), 如果极限v方向导数 tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 |)()(lim000|

2、0pppfpfpp 即极限上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、方向导数 设函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的某一邻域u(p0)内有定义, l是xoy平面上以p0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单位向量为el(cos, cos) 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点p0沿方向l的方向导数, 记为 取p(x0tcos, y0tcos)u(p0), 如果极限v方向导数 ),(00yxlf tyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 上页 下页 返回 退出 jlin institut

3、e of chemical technology一、方向导数 设函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的某一邻域u(p0)内有定义, l是xoy平面上以p0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单位向量为el(cos, cos) v方向导数 方向导数就是函数f(x, y)在点p0(x0, y0)处沿方向l的变化率 ),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology一、方向导数 设函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的某一邻域u(p0)内有定义

4、, l是xoy平面上以p0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单位向量为el(cos, cos) v方向导数 如果函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos, cos)的方向导数都存在, 且有v定理(方向导数的计算) ),(00yxlftyxftytxft),()cos ,cos(lim00000 cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology讨论 函数f(x, y)在点p沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的

5、方向导数如何? 提示 函数f(x, y)在点p0沿方向l (el(cos, cos)的方向导数 沿 x 轴负向时, cos1, cos0, xflf cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 沿 x 轴正向时, cos, cos0, xflf 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 解: 因为 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点p0沿方向l (el(cos, cos)的方向导数 因为函数可微分, 且 cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 例1求函数zx2+y2在点(, 2

6、)处沿从点(, 2)到点的方向的方向导数 )32 , 2()3 , 1 (l)cos ,(cos)23 ,21(|llel 故 22)2 , 1 ()2 , 1 (xxz42)2 , 1 ()2 , 1 (yyz321234212coscosyzxzlz上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 对于三元函数f(x, y, z)来说, 它在空间一点p0(x0, y0, z0)沿el(cos , cos , cos)的方向导数为 函数f(x, y)在点p0沿方向l (el(cos, cos)的方向导数 如果函数f(x, y, z)在点(x0

7、, y0, z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el(cos , cos , cos)的方向导数为cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx ),(000zyxlftzyxftztytxft),()cos,cos ,cos(lim0000000 ),(000zyxlf)cos,()cos,()cos,(000000000zyxfzyxfzyxfzyx 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例2 求f(x, y, z)xy2z3xyz在点(1, 1, 2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为60, 45,

8、 60 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分, 且 所以 fx(1, 1, 2)(y2-yz)|(1, 1, 2)-1, fy(1, 1, 2)(2xy-xz)|(1, 1, 2)0, fz(1, 1, 2)(3z2-xy)|(1, 1, 2)11, )21 ,22 ,21()60cos,45cos,60(cosle 5211122021) 1(coscoscoszuyuxulu上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、梯度v梯度的定义 设函数zf(x, y)在平面区域d内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点p0(x0, y0)d,

9、 都可确定一个向量fx(x0, y0)ify(x0, y0)j, 这向量称为函数f(x, y)在点p0(x0, y0)的梯度, 记作gradf(x0, y0),即gradf(x0, y0)fx(x0, y0)ify(x0, y0)j 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、梯度v梯度的定义 函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的梯度 gradf(x0, y0)fx(x0, y0)ify(x0, y0)j v梯度与方向导数 如果函数f(x, y)在点p0(x0, y0)可微分, el(cos, cos)是与方向l同方向的单位向

10、量, 则gradf(x0, y0)el|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),el) ),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx, 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology二、梯度v梯度的定义 函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的梯度 gradf(x0, y0)fx(x0, y0)ify(x0, y0)j v梯度与方向导数|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),el) 可以看出方向导数就

11、是梯度在射线l上的投影, 当方向l与梯度的方向一致时, 方向导数取得最大值 所以沿梯度方向是函数f(x, y)在这点增长最快的方向 如果函数f(x, y)在点p0(x0, y0)可微分, el(cos, cos)是与方向l同方向的单位向量, 则),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值 二、梯度v梯度的定义 函数zf(x, y)在点p0(x0, y0)的梯度 gradf(x

12、0, y0)fx(x0, y0)ify(x0, y0)j v梯度与方向导数|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),el) 如果函数f(x, y)在点p0(x0, y0)可微分, el(cos, cos)是与方向l同方向的单位向量, 则),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv梯度与等值线的关系 对于二元函数zf(x, y), xoy面上的曲线f(x, y)c称为函数zf(x, y)的等值线 若fx, fy不同时为零, 则等值线f(x, y)c上任

13、一点p0(x0, y0)处的一个单位法向量为 ),(),(),(),(10000002002yxfyxfyxfyxfyxyxn提示 等值线f(x, y)c是曲面zf(x, y)被平面zc所截得的曲线在xoy面上的投影 czyxfz),(上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology这表明梯度grad f(x0, y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 对于二元函数zf(x, y), xoy面上的曲线f(x, y)c称为函数zf(x, y)的等值线 若fx, fy不同时为零, 则等值线f(x, y)c上任一点p0(x0, y0)处的一个

14、单位法向量为 ),(),(),(),(10000002002yxfyxfyxfyxfyxyxn v梯度与等值线的关系 而沿这个方向的方向导数等于|grad f(x0, y0)|, 于是nnfyxf),(00grad 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv梯度与等值线的关系 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数 nnfyxf),(00grad 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical t

15、echnologyv三元函数的梯度 设函数f(x, y, z)在空间区域g内具有一阶连续偏导数, 函数f(x, y, z)在点p(x, y, z)的梯度grad f(x, y, z)定义为grad f(x, y, z)fx(x, y, z)ify(x, y, z)jfz(x, y, z)k 三元函数的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值 函数f(x, y, z)在点p的梯度的方向与过点p的等量面f(x, y, z)c在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数提示 曲面 f

16、(x, y, z)c称为函数uf(x, y, z)的等量面上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology 例3 求221 yx grad 解 这里于是 grad f(1, 0,1) 例4 设f(x, y, z)x3y3z3, 求grad f(1, 0, -1) 解 grad f(fx, fy, fz) (3x2, 3y2, 3z2), (3, 0, 3) 这里221),(yxyxf 所以 221 yx gradji222222)(2)(2yxyyxx 因为 222)(2yxxxf, 222)(2yxxxf, 222)(2yxyyf, 上页 下

17、页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv数量场与向量场 如果对于空间区域g内的任一点m, 都有一个确定的数量f(m), 则称在这空间区域g内确定了一个数量场 如果对于空间区域g内的任一点m, 都有一个确定的向量f(m), 则称在这空间区域g内确定了一个向量场 一个数量场可用一个数量函数f(m)来确定 一个向量场可用一个向量函数f(m)来确定, 而f(m)p(m)iq(m)jr(m)k, 其中p(m), q(m), r(m)是点m的数量函数 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technologyv势与

18、势场 向量函数gradf(m)确定了一个向量场(梯度场), 它是由数量场f(m)产生的 通常称函数f(m)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场v数量场与向量场 如果对于空间区域g内的任一点m, 都有一个确定的数量f(m), 则称在这空间区域g内确定了一个数量场 如果对于空间区域g内的任一点m, 都有一个确定的向量f(m), 则称在这空间区域g内确定了一个向量场 上页 下页 返回 退出 jlin institute of chemical technology0rm例5 试求数量场所产生的梯度场, 其中常数 m ,yo(222zyxr