《稳定误差分析》PPT课件

1、3.6 线性控制系统的稳态性能分析 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 3.6.2 稳态误差分析 控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技术目的。 对于一个实践的控制系统，由于系统的构造、输入作用的类型(给定量或扰动量)、输入函数的方式(阶跃、斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不能够在任何情况下都与输入量一致或相当，也不能够在任何方式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。这类由于系统构造、输入作用方式和类型所产生的稳态误差称为原理性稳态误差。 此外，控制系统中不可防止地存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性要素，都会呵斥附加的稳

2、态误差。这类由于非线性要素所引起的系统稳态误差称为附加稳态误差或构造性稳态误差。 3.6.1 控制系统的误差和稳态误差 可以说控制系统的稳态误差是不可防止的，控制系统设计的义务之一，是尽量消除系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一允许值。 显然，只需当系统稳定时，研讨稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，研讨稳态误差是没有意义的。 有时，把在阶跃函数作用下没有稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有稳态误差的系统，称为有差系统。一、控制系统的误差: )(sR)(sY)(sE定义:参考输入信号 与被控量输出信号 间的差为控制系统的误差信号。记做 ，即：)()()(sYsRsE假设反响控制系统的典

3、型构造图如右图所示。)(sR)(sY)(sR)(sY)(sY)(sR)(s 但是系统的参考输入信号 与被控量输出信号 有时为不同量纲或量程的物理量，在这种情况下，系统的误差不能直接用它们之间的差值来表示，应该将 和 转换为一样量纲或量程后方能进展相减。假设将 转换为与 一样的量纲或量程的转换系数为 ，那么系统的误差有以下两种定义方式：从输入端定义：)()()()(1sYssRsE从输出端定义：)()()()(2sYssRsE 当 和 的量纲一样时，即在单位反响的情况下，转换系数 。在普通情况下，转换系数 与系统反响通路传送函数 相等。那么系统误差可以定义为：)(sR)(sY1)(s)(s)(s

4、H)()()()()()(1sBsRsYsHsRsE)()()()(2sYsHsRsE)()()(12sHsEsE 系统误差这两种定义的本质是一样的，只是表现方式不同，两者之间的关系为： )()()()(11sYsHsRLte)()()()(12sYsHsRLte系统误差信号的时域表达式为： 在本课以后的表达中，均采用从输入端定义系统的误差，那么如图系统的误差信号为：)(1)()()(1)()()()()(sGsRsHsGsRsYsHsRsEk)()(1sELte 从输入端定义的误差,在实践系统中是可以丈量的,具有一定的物理意义;从输出端定义的误差,在系统性能目的的提法中经常运用,但在实践系统

5、中有时无法量测,因此普通只需数学意义.)(2000)(rpmty例如下图系统为一调速系统，输入电压 范围05V，对应输出转速 范围05000rpm，检测安装选择量程转速为05000rpm对应输出电压05V的线性转速传感器。那么每一个给定的输入电压 都将对应一个确定的希望输出转速 ，这时，用以阐明输入电压 与输出转速 之间比例关系的系数 便是转换系数 。在某一时辰，输入电压 ，理想的输出转速应是 ，假设实践转速为 ，那么其误差为 (从输入端定义，或为 从输出端定义。)(tr)(ty)(tr)(ty)(tr)(ty)/(10001rpmVk )(2)(Vtr)(1900 rpm)( 1 . 0)(

6、1Vte)(100)(2rpmte对于参考输入信号和扰动信号同时作用的线性控制系统的误差 误差为E(s)=E1(s)+E2(s)，E1(s)为由参考输入信号引起的误差，E2(s)为由扰动信号引起的误差。误差同样定义在输入端，即定义在图中的A点处。 令N(s)=0，E1(s)对R(s)的传送函数 ： )()()(11)()()(211sHsGsGsRsEsR)()()(1)()(211sHsGsGsRsE令R(s)=0，E2(s)对N(s)的传送函数 ： )()()(1)()()()()(2122sHsGsGsHsGsNsEsN)()()(1)()()()(2122sHsGsGsNsHsGsE根

7、据线性系统的叠加原理，可求得该系统的总误差为)()()(1)()()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsHsGsHsGsGsRsEsEsE)()(1sELte二、控制系统的稳态误差： 定义：误差信号 在时间 趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差，记为 。即：)(tetsse)(limteetss 由系统误差的讨论和稳态误差的定义，可知稳态误差不仅和系统的特性系统的类型和构造有关，而且和系统的输入(参考输入和扰动输入)信号的特性有关。由系统的类型、构造或输入信号方式所产生的稳态误差称为原理性稳态误差，而由非线性要素所引起的稳态误差称为附加稳态误差。本节不涉及附加稳态

8、误差的计算，只讨论原理性稳态误差。 需求指出的是，只需当系统稳定时，研讨稳态误差才有意义。因此，在计算系统的稳态误差之前，必需判别系统是稳定的。对于不稳定的系统，计算稳态误差是没有意义的。 误差信号 包括瞬态分量 和稳态分量 两部分.由于系统必需稳定,故当时间趋于无穷大时,必有瞬态分量 趋于零,因此,控制系统的稳态误差 定义为误差信号的稳态分量()essetssse)(te)(teets 对于稳定的系统，稳态误差可以借助拉氏变换的终值定理方便的计算出：)(lim)(lim0ssEteestss 运用上式的条件是有理函数 在 右半平面和虚轴上必需解析，即 的全部极点都必需分布在 左半平面包括坐标

9、原点。 )(ssEs)(ssEs 由于根据终值定理算出的稳态误差是误差信号在t趋于无穷时的数值，故有时称为终值误差。它不能反映稳态误差随时间t的变化规律，具有一定的局限性。 注:当sE(S)在s平面的坐标原点上具有极点时,sE(S)并不满足在虚轴上解析的条件,严厉说,此时并不能运用终值定理计算稳态误差,假设勉强运用,只能得到无穷大的结果.但,这一无穷大的结果正巧与实践应有的结果一致.因此,便于运用,我们把sE(s)在原点的极点划到s左平面的范畴.例例1 1： 设单位负反响系统的开环传送函数为： TssG1)(求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sint时系统的稳

10、态误差。 解：解： 误差传送函数为： 1)(11)(TsTssGse系统是稳定的。 ssRttr1)()( 1)(011lim)(lim00sTsTssssEessss21)()(ssRttrTsTsTssssEessss20011lim)(lim321)(21)(ssRttr30011lim)(limsTsTssssEessss假设输入信号为正弦信号，那么不能运用拉氏变换终值定理。 22)(sin)(ssRttr22222222221)()(1)(/111)(1)(sTTssTTTsTTsTsTssEtTTtTTeTTteTtsin1)()(cos1)(1)()(222/2稳态误差为： tT

11、TtTTtesssin1)()(cos1)()(222)(2sG)(sH)(sR-)(sB)(sE)(1sG)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsE 给定作用下的误差传送函数三、稳态误差的计算总结：)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH)(sB 扰动作用下的误差传送函数)(1sG)(2sG)(sH)(sN+)(sE1)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsNE 给定和扰动同时作用下的误差表达式)()()()()(sNssRssENEE)()()(1)()()()()()(1)(21221sHsGsGsNsHsGsHsGsG

12、sR 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差)()()(1)()()(lim)()()(1)(lim)(lim)(lim21202100sHsGsGsNsHssGsHsGsGssRssEteessstss 终值定理要求有理函数 的一切极点都在s平面的左半开平面包括原点。)(ssE)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH)(sB例2 系统方块图如下图，当输入为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？) 12)(1() 15 . 0(ssssK)(sR)(sY-解：只需稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以先判稳：系统特

13、征方程为0)5 . 01 (3223KsKss由劳斯判据知稳定的条件为：60 K) 15 . 0() 12)(1() 12)(1()()()(11)()()(21sKsssssssHsGsGsRsEsE21)(ssR21) 15 . 0() 12)(1() 12)(1()(ssKsssssssEKssKsssssssssEessss11) 15 . 0() 12)(1() 12)(1(lim)(lim200由稳定的条件知： 不能满足 的要求61sse1 . 0sse K=1时，系统稳定，系统存在有限稳态误差。K=6时，系统处于临界稳定形状，输出呼应曲线围绕作等幅振荡。当K6时，系统不稳定，输出

14、呼应曲线发散。 1、由参考输入信号引起的稳态误差与静态误差系数 )()()(1)()()()()(11)()(2121sHsGsGsRsEsHsGsGsRsE，当t趋于无穷大时的误差称为稳态误差 。根据终值定理有：sse)(1)(lim1)(lim)(lim)(lim02100sGssRHGGssRssEteekssstssr式中， 为开环传送函数。HGGsGk21)(显然， 与输入和开环传送函数有关。ssre 这时，不思索扰动的影响。可以写出随动系统的误差 为 见右图：)(sE)(sE)(sRH2G1G-)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH)(b3.6.2 稳态误

15、差分析由参考输入信号引起的稳态误差)(1)(lim)(1)(lim000sGsksRssGsRsevsksssr 给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数方式的开环增益k有关；与积分环节的个数有关。假设开环传送函数 的方式如下：)(sGk)() 12() 1() 12() 1()(01211212121sGsksTsTsTssssksGnllllnjjmkkkkmiik式中： 开环放大系数， 开环系统在S平面坐标原点上 的极点的重数； knnnmmmG212102,2, 1)0()(0sG开环传送函数去掉积分和比例环节剩余部分。系统的无差度阶数开环传送函数的型 通常称开环系统在s平面坐标原

16、点上的极点个数为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进展分类。0当 ，无积分环节，称为0型系统1当 ，有一个积分环节，称为型系统2当 ，有二个积分环节，称为型系统 当 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制等特殊系统外， 型及型以上的系统几乎不用。2 之所以按照极点个数 对系统进展分类，是由于 反映了系统跟踪参考输入的才干，另外，可以根据知的输入信号方式，迅速判别系统能否存在稳态误差及稳态误差的大小。 3.6.2 稳态误差分析开环传送函数的型kekskGKssrsp11,)(lim000，时当0,)(lim100ssrspesGskK，时当 稳态误差为零的系统称为无差系统，为有限值的称为

17、有差系统。在单位阶跃作用下， 的系统为有差系统， 的系统为无差系统。01psksksssrKsGsksGsGssRe11)(lim11)(lim11)(1)(lim0000式中： 称为静态位置误差系数； )(lim0sGKkspq当输入为 时单位阶跃函数ssR1)( 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的才干。pKpKssrepK 3.6.2 稳态误差分析单位阶跃函数输入时的稳态误差q 当输入为 时单位斜坡函数21)(ssRvsksksssrKsGsksGssGssRe1)(lim1)(lim1)(1)(lim01000式中： 称为静态速度误差

18、系数； )(lim0sGsKksvssrsvesskGK, 0)(lim000，时当kekskGKssrsv1,)(lim100，时当0,)(lim200ssrsvesGskK，时当 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪斜坡输入的才干。vKssrevKvK根据 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的误差。vK 3.6.2 稳态误差分析单位斜坡函数输入时的稳态误差q 当输入为 时单位加速度函数31)(ssRasksksssrKsGsksGssGssRe1)(lim1)(lim1)(1)(lim020200式中： 称为静态加速度误差系数； )(l

19、im20sGsKksassrsaeskGsK, 0)(lim1 , 00)2, 1(0，时当kekskGKssrsa1,)(lim200，时当0,)(lim300ssrsaesGskK，时当 的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪抛物线输入的才干。aKssreaKaK根据 计算的稳态误差是系统在跟踪加速度阶跃输入时位置上的误差。aK 3.6.2 稳态误差分析单位加速度函数输入时的稳态误差p 当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即2)(2CtBtAtravpssrKCKBKAe1有：3.6.2 稳态误差分析单位阶跃、速度和加速度函数共同输入时

20、的稳态误差例 知控制系统的开环传送函数为 试求:系统的静态误差系数kp,kv,ka 输入信号r(t)=1+2t时系统的稳态误差.10(21)( )(1)(2)sGss ssk典型输入作用下的稳态误差上表中，k为开环放大系数开环传送函数写成时间常数方式时的开环增益 3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差总结给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统参与不同的输入，稳态误差不同。与时间常数方式的开环增益k有关；对有差系统，k，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。所以型及型以上的系统几乎不用。 由此

21、可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是相矛盾的。 3.6.2 稳态误差分析典型输入作用下的稳态误差总结KKeKssGKvssrksv11,)(lim20斜坡输入时011,)(lim110pssrkspKesGK，阶跃输入时，assrksaKesGsK1,0)(lim320，抛物线输入时典型一阶系统的稳态误差sKsGk)()(sY-sK)(sE)(sR开环传送函数为： 3.6.2 稳态误差分析典型一阶系统的稳态误差典型二阶系统的稳态误差：)2()(2nnksssG)2(2nnss-)(sR)(sY)(sEnvssrnksvKessGK21,2)(lim20斜坡输入时011,)(

22、lim110pssrkspKesGK，阶跃输入时，assrksaKesGsK1,0)(lim320，抛物线输入时 3.6.2 稳态误差分析典型二阶系统的稳态误差二阶系统引入速度反响控制时的稳态误差：)2(2nnsss-)(sR( )Y s)2(22nnnss-)(sR( )Y s)(sE)(sE011,)(lim110pssrkspKesGK，阶跃输入时，assrksaKesGsK1,0)(lim320，抛物线输入时)2()(22nnnksssGnvssrnnnksvKessGK21,2)(lim2220斜坡输入时3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入速度反响控制时的稳态误差二阶系统引入比例微分

23、控制时的稳态误差：)2(2nnsss1-)(sR( )Y s)2()1 ()(2nnkssssG)(sEnvssrnksvKessGK21,2)(lim20斜坡输入时011,)(lim110pssrkspKesGK，阶跃输入时，assrksaKesGsK1,0)(lim320，抛物线输入时3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入比例微分控制时的稳态误差二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差： sR sY)(sE)2(2nnss-ski1)2()()(22ninksskssG01,)(lim20vssrksvKessGK斜坡输入时011,)(lim210pssrkspKesGK，阶跃输入时，inass

24、rinksakKeksGsK21,2)(lim320，抛物线输入时3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入比例积分控制时的稳态误差 稳态误差比较：典型二阶系统引入速度反响环节后，跟踪阶跃信号和加速度信号时与原系统有一样的稳态误差，而跟踪斜坡信号时的稳态误差比原系统要大。典型二阶系统引入比例微分环节后不改动原系统的稳态误差。引入比例积分环节后将减小原系统的稳态误差。 inassrvssrpssrkKeKeKe2101011assrnvssrpssrKeKeKe121011assrnvssrpssrKeKeKe121011assrnvssrpssrKeKeKe121011原二阶系统 速度反响 比例微分

25、 比例积分3.6.2 稳态误差分析二阶系统引入各种控制时的稳态误差总结 通常，给定输入作用产生的误差称为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。0)(, 0)(sNsR 时产生的 称为扰动误差。如以下图 ( )( )Y s H s)(sR)(sN( )Y s)(2sG)(1sG-+)(sE)(sH)(b( )2( )11 2Y sGN sG G H( )2( )11 2G N sY sG G H2( )( )( )( )11 2G HE sY s H sN sG G H )(1lim)(lim)(lim21200sNHGGHGsssEteesstssnssne可见， 不仅与 有关，还与

26、有关扰动点到输出点之间的那部分前向通道传送函数。 )(),(sNsGk)(2sG 3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析例子：思索下面两个系统。-)(sR)(sN( )Y s+1ksk213Tsk)(a图a和图b的开环传送函数是一样的。) 1()(321TsskkksGk-)(sR)(sN( )Y s+1ksk213Tsk)(b但对于扰动作用，由于扰动点不同，扰动前向通道不同，其扰动误差是不一样的。对于给定输入，其稳态误差是一样的假设输入为阶跃信号。0)(lim11110sGKekspssr3.6.2 稳态误差分析扰动作用下系统的误差分析扰动误差与积分环节的关系0)(1)(lim)(

27、0)(1)(30sGsGseasRssNksssn得：，由图，设13201)()(1)()(lim)(ksNsGsGsGsebksssn得：由图 假设在扰动作用点和偏向点之间添加一个积分环节，可减小或消除稳态误差。 对于给定输入和扰动作用同时存在的系统，系统的总稳态误差等于给定误差和扰动误差的迭加误差点定义在同一点。-)(sR)(sN)(sC+1ksk213Tsk)(a-)(sR)(sN)(sC+1ksk213Tsk)(b例3速度控制系统的构造图如以下图所示。给定输入和扰动作用均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。-+)(sR)(sE)(sN)(sN)(sC1k) 1(2Tssk1sTknn)(

28、sR)(sE) 1(21Tsskk解：，、21)(,)(0)(ssRttrtn即先令1,)()()(2122kksTssTssRsEsE221221)()()(skksTssTssRssEE212120011lim)(limkkkksTsTsssEessssr 3.6.2 稳态误差分析例子2( )1 2TssE sTs s k k )(1)(2122sNsTkkksTssTssNnn3、总的稳态误差为：21212111kkkkkkkkennss2( )121 2( )11 2(1)E sTssk kN sTss k ks Ts 21)(, 0)(ssNsR再令2、-+)(sR)(sE)(sN)

29、(sN)(sC1k) 1(2Tssk1sTknn21lim( )lim2211 2001 2TsskknnesE ssT sk kssnnTss k ksss n 为了减少给定误差，可以添加串联在前向通道中积分环节的个数即添加系统的型别或增大系统的开环放大系数。n 为了减小扰动误差，可以添加误差点到扰动作用点之间积分环节个数或放大系数。n 这两种方法都将影响系统的稳定性，降低系统的瞬态性能。n 放大系数不能恣意增大，积分环节也不能太多普通少于2个，否那么系统将会不稳定。 3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施 比例积分控制器的时域表达式为tipdttektektu0)()()(skk

30、sEsUip)()( 工程上最常用的方法是将比例积分控制器串联在系统的前向通道上。积分系数越大，积分作用越强。积分控制造用可以消除系统的稳态误差；但积分作用太大，会使系统的稳定性下降。3.6.2 稳态误差分析减小或消除稳态误差的措施比例积分PI控制以典型二阶系统为例，讨论系统引入比例积分控制后稳态误差的变化情况 先讨论给定误差。令N(s)=0，为突出讨论积分的作用，可假设比例系数Kp=1。系统的开环传送函数为)2()()(22ninksskssG该系统为型系统，系统的闭环传送函数为 2()( )32222s knissssknnni由劳斯稳定性判据知，当0ki0，K20， 0时系统稳定对不对？

31、由此可见当用 时，才干在保证稳定的前提下使系统在阶跃扰动作用下的稳态误差为零。ssKG) 1(11ssKG) 1(11这个环节称为比例+积分环节或比例+积分控制器(PI控制器)。)1(1sKsKK11例例5 5 对于图示系统，试求r(t)=t，n(t)=1(t)时系统的稳态误差。 1KR(s)E(s)C(s)-N(s) 1(2TssK解：解： 系统的开环传送函数为 ) 1()(21TssKKsG为1型二阶系统，系统是稳定的,在r(t)=t，稳态误差 21111KKKevss在扰动信号作用下的误差表达式为： )() 1()() 1(1) 1()(212212sNKKTssKsNTssKKTssK

32、sEnn(t)=1(t)时，稳态误差为： 1021)(limKssEensss系统总的稳态误差为 1212111KKKeeessssss用动态误差系数表示系统的稳态误差 前面讨论了控制系统的静态误差系数静态位置、速度和加速度误差系数以及运用这些系数如何计算给定稳态误差，它们分别是针对阶跃、斜坡和抛物线输入信号而言的。用静态误差系数求出的稳态误差是一个数值，或为有限值，或为无穷大，它不能表示稳态误差随时间变化的规律。 下面引见的动态误差系数法，利用动态误差系数法，可以研讨输入信号为恣意时间函数时系统的稳态误差随时间变化的规律 3.6.2 稳态误差分析用动态误差系数表示系统的稳态误差其误差传送函数

33、为: )()(11)()()(sHsGsRsEsE思索到t时的情况，也就是s0的情况。将误差传送函数在s=0的邻域内展开成泰勒级数2.)0(! 21)0()0()(sssEEEE误差信号可表示为 )()0(!1)()0(! 21)()0()()0()()(2.sRsisRsssRsRsEiiEEEE 3.6.2 稳态误差分析用动态误差系数表示系统的稳态误差假设令，210)0(!1)(iiCiEi稳态误差的时域表达式可以改写为： 0)()()(iiisstrCte)()0(!1)()0(! 21)()0()()0()()(2.sRsisRsssRsRsEiiEEEECi(i=0,1,2,)称为动

34、态误差系数。可见，稳态误差函数表达式既与动态误差系数有关，又与输入信号及其各阶导数有关。习惯上称C0为动态位置误差系数，C1为动态速度误差系数，C2为动态加速度误差系数。 稳态误差的时域表达式)()0(!1)()0(! 21)()0()()0()()()(.tritrtrtrteiiEEEEss 这里所谓“动态两字的含义是指这种方法可以完好描画系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量ets(t)随时间变化的情况，即不应包含的误差信号中随时间趋于零的分量。此外上面给出的误差级数仅在t时成立，因此假设输入信号r(t)中包含有随时间趋于零的分量，那么这些分量不应包含在稳态误差级数表达式中的输入函数及其各阶导数之内。 动态误差系数法特别适用于输入信号和扰动信号是时间t的有限项幂级数的情况。此时稳态误差函数的幂级数也只需取有限几项就足够了。 将误差传送函数写成s有理分式方式升幂方式，利用长除法得到各动态误差系数。nnmmksasasasbsbsbsKsHsGsG22122111)()()(误差传送函数可写为 ) 1.() 1.() 1.()(111111111sbsbsbKsasasassasasassmmmmnnnnnnnnE332210)(sCsCsCCsE分母多项式除分子