2002年全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案

1、1 / 12 2002年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)?exxdx2ln= _. (2)已知2e610yxyx?,则(0)y?=_. (3)02?yyy 满足初始条件1(0)1,(0)2yy?的特解是_. (4)已知实二次型323121232221321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf?经正交变换可化为标准型216yf?,则a=_. (5)设随机变量),(2?NX,且二次方程042?Xyy无实根的概率为0.5,则?=_. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选

2、项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数),(yxf的四条性质: ),(yxf在点),(00yx处连续, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续, ),(yxf在点),(00yx处可微, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在. 则有: (A)? (B)? (C)? (D)? (2)设0?nu, 且1lim?nnun, 则级数)11()1(11?nnnuu为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(xf在?R上有界且可导,则 (A)当0)(lim?xfx时,必有0)(lim?xfx (B)

3、当)(limxfx?存在时,必有0)(lim?xfx (C) 当0)(lim0?xfx时,必有0)(lim0?xfx (D) 当)(lim0xfx?存在时,必有0)(lim0?xfx. 2 / 12 (4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa?(3,2,1?i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY,分布函数分别为)(xFX和)(yFY,则 (A)(xfX)(yfY必为密度函数 (B) )(xfX)(yfY必为密度函数 (C)(xFX)(yFY必为某一随

4、机变量的分布函数 (D) )(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数. 四、(本题满分7分) 已知两曲线)(xfy?与2arctan0extydt?在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并 求极限)2(limnnfn?. 五、(本题满分7分) 计算二重积分22max,exyDdxdy?,其中10,10|),(?yxyxD. 六、(本题满分8分) 设函数)(xf在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(ba,),终点为(dc,). 记dyxyfyyxdxxyfyyI1)()(11222?, (1)证明曲线积分I与路径L无关. (2)当cdab?时

5、,求I的值. 七、(本题满分7分) (1) 验证函数?03)!3()(nnnxxy(?x)满足微分方程exyyy?. 3 / 12 (2) 求幂级数?03)!3()(nnnxxy的和函数. 八、(本题满分7分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为75|),(22?xyyxyxD,小山的高度函数为),(yxhxyyx?2275. (1)设),(00yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00yxg,写出),(00yxg的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点

6、.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(yxg达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 九、(本题满分6分) 已知四阶方阵1234(,)?A, 1234,均为四维列向量,其中234,线性无关,1232?.若1234?,求线性方程组x?A的通解. 十、(本题满分8分) 设,AB为同阶方阵, (1)若,AB相似,证明,AB的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,AB为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为()fx ? 1cos0220 xxx?其它 对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于3?的次

7、数,求2Y的数学期望. 十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 / 12 2 ? )1(2? 2? ?21? 其中?(102?)是未知参数,利用总体X的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3. 求?的矩估计和最大似然估计值. 2002年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式2ln11.lnlneedxxx? (2)【分析】 方程两边对x两次求导得 '6'620,yeyxyyx? 2'''6''12'20.yyeyeyxyy? 以0x?代入原方程得0y?,以0x y ? ?代入得

8、'0,y?,再以'0xyy?代入得 ''(0)2.y? (3)【 分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令'()yPy?(以y为自变量),则'''.dydPdPyPdxdxdy? ? 代入方程得 20dPyPPdy?,即0dPyPdy?(或 0P?,但其不满足初始条件01'2xy?). 分离变量得 0,dPdyPy? 积分得 lnln',Py C?即1CPy?(0P?对应10C?); 由0x?时11,',2yPy?得11.2C?于是 1',2,2yPydydxy?积分得22yxC?. 5 / 12 又

9、由01xy?得21,C? 所求特解为1.yx? (4)【分析】 因为二次型TxAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值,所以6,0,0是A的特征值. 又因iiia?,故600,2.aaaa? (5)【分析】 设事件A表示“二次方程042?Xyy无实根”,则1640AXX? 4.依题意,有 1()4.2PAPX? 而 44141(),PXPX? 即 414141(),(),0.4.22? 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数(,)fxy的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)fxy的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)fxy可

10、微则必连续,故选(A). (2)【分析】 由1lim101nnunn?充分大时即,NnN? 时10nu?, 且1lim0,nnu?不妨认为,0,nnu?因而所考虑级数是交错级数, 但不能保证1nu的单调性. 按定义考察部分和 111111111111(1)()(1)(1)nnnkkknkkkkkkkSuuuu? 1111111(1)11(1)1(1)(),knnnlklklnnuuuuu? 6 / 12 ?原级数收敛. 再考察取绝对值后的级数1111()nnnuu?. 注意111112,11nnnnuunnnuunn? 11nn?发散 ?1111()nnnuu?发散.因此选(C). (3)【分

11、析】 证明(B)对:反证法.假设lim()0xfxa?,则由拉格朗日中值定理, (2)()'()()fxfxfxx? (当x?时,?,因为2xx?);但这 与(2)()(2)()2fxfxfxfxM? 矛盾().fxM? (4)【分析】 因为()()23rArA?,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是()()3.rArA? (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2rA?和 ()3rA?,且A中任两个平行向量都线性无关. 类似地,(D)中有两个平面平行,故()2rA? ,()

12、3rA?,且A中有两个平行向量共线. (5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因 121212()()()()21,()()1121.fxfxdxfxdxfxdxFF? 对于选项(B),若121,21,1,01,()()0,0,xxfxfx?其他，其他，则对任何(,),x? 7 / 12 12()()0fxfx?,12()()01,fxfxdx?因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). 进一步分析可知,若令12max(,)XXX?,而(),1,2,iiXfxi?则X的分布函数()Fx恰是12()().FxFx 1212()max(,),FxPXXxPXxXx? 1212()(

13、).PXxPXxFxFx? 三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知 0lim()(2)(0)(1)(0).hafhbfhfabf?由于(0)0f?,故必有10.ab? 又由洛必达法则 00()(2)(0)'()2'(2)limlim1hhafhbfhfafhbfhh? (2)'(0)0,abf? 及(0)0f?,则有20ab?. 综上,得2,1.ab? 四、【解】 由已知条件得 (0)0,f ?22arctanarctan0020'(0)()'1,1xxtxxxefedtx? 故所求切线方程为yx?.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 02()(0

14、)2()(0)lim()2lim2lim2'(0)2.2nnxfffxfnnffnxn? 五、【分析与求解】 D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示 2222,max,(,),xxyxyxyDyxy? 于是要用分块积分法,用yx?将D分成两块: 1212,.DDDDDyxDDyx?UII 8 / 12 ? I222212max,max,xyxyDDedxdyedxdy? 2221212xyxDDDedxdyedxdyedxdy?(D关于yx?对称) 21002xxdxedy?(选择积分顺序)22110021.xxxedxee? 六、【分析与求解】 (1)易知PdxQdy?原函数,

15、 2211()()()()()xPdxQdydxyfxydxxfxydydyydxxdyfxyydxxdyyyy? 0()()()().xyxxdfxydxydftdtyy? ?在0y?上PdxQdy?原函数, 即0(,)()xyxuxyftdty?. ?积分I在0y?与路径无关. (2)因找到了原函数, 立即可得(,)(,)(,).cdabcaIuxydb? 七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数 3693()13!6!9!(3)!nxxxxyxn?LL 的收敛域是()x?,因而可在()x?上逐项求导数,得 25831'()2!5!8!(31)!nx

16、xxxyxn?LL, 4732''()4!7!(32)!nxxxyxxn?LL, 所以 2'''12!nxxxyyyxen?LL()x?. (2)与'''xyyye?相应的齐次微分方程为'''0yyy?, 其特征方程为210?, 特征根为1,21322i?. 9 / 12 因此齐次微分方程的通解为21233(cossin)22xYeCxCx?. 设非齐次微分方程的特解为xyAe?,将y?代入方程'''xyyye?可得 13A?,即有13xye?. 于是, 方程通解为212331(co

17、ssin)223xxyYyeCxCxe?. 当0x?时, 有112121(0)1,23,0.3131'(0)0.223yCCCyCC? 于是幂级数30(3)!nnxn? 的和函数为2231()cos323xxyxexe?()x? 八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数),(yxh在点M处沿该点的梯度方向 0000(,)(,)0000(,),2,2xyxyhhhxyxyyxxy?grad 方向导数取最大值即00(,)(,)xyhxygrad的模 ,22000000(,)(2)(2).gxyyxxy? (2)按题意,即求(,)gxy求在条件22750xyxy?下的最大值点?

18、22222(,)(2)(2)558gxyyxxyxyxy? 在条件22750xyxy?下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数 2222(,)558(75),Lxyxyxyxyxy? 10 / 12 则有 22108(2)0,108(2)0,750.LxyxyxLyxyxyLxyxy? 解此方程组:将式与式相加得()(2)0.xyxy?或2.? 若yx?,则由式得2375x?即5,5.xy?m若2,?由或均得yx?,代入式得275x? 即53,53.xy?于是得可能的条件极值点 1234(5,5),(5,5),(53,53),(53,53).MMMM? 现比较22

19、2(,)(,)558fxygxyxyxy?在这些点的函数值: 1234()()450,()()150.fMfMfMfM? 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,MMMM中取到.因此2(,)gxy在12,MM取到在D的边界上的最大值,即12,MM可作为攀登的起点. 九、【解】 由432,?线性无关及3212?知,向量组的秩1234(,)3r?,即矩阵A的秩为3.因此0Ax?的基础解系中只包含一个向量.那么由 123412312(,)2010? 知,0Ax?的基础解系是(1,2,1,0).T? 再由123412341111(,)1111A?知,(1,1,1,1)T是?Ax的11 / 12 一个特解.故?Ax的通解是1121,1101k?其中k为任意常数. 十、【解】 (1)若,AB相似,那么存在可逆矩阵P,使1,PAPB?故 111EBEPAPPE