2010年高考新课标全国卷理科数学试题附答案

1、 2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 |2AxRx? ,|4BxZx?,则AB? (A)(0,2) (B)0,2 (C)0,2 (D)0,1,2 (2)已知复数23(13)izi?，z是z的共轭复数，则zz?= (A)14 (B)12 (C) 1 (D)2 (3)曲线2xyx?在点(1,1)?处的切线方程为 (A)21yx? (B)21yx? (C) 23yx? (D)22yx? (4)如

2、图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P?，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 td42O A B C D (5)已知命题 1p：函数22xxy?在R为增函数， 2p：函数22xxy?在R为减函数， 则在命题1q：12pp?，2q：12pp?，3q：?12pp?和4q：?12pp?中，真命题是 （A）1q，3q （B）2q，3q （C）1q，4q （D）2q，4q (6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 (A)100 （B）200 (C)300 （D

3、）400 (7)如果执行右面的框图，输入5N?，则输出的数等于 (A)54 （B ）45 (C)65 （D）56 (8)设偶函数()fx满足3()8(0)fxxx?， 则|(2)0xfx? (A) |24xxx?或 (B) |04xxx?或 (C) |06xxx?或 (D) |22xxx?或 (9)若4cos5?，? 是第三象限的角，则1tan21tan2? (A) 12? (B) 12 (C) 2 (D) 2? (10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a? (B) 273a? (C) 2113a? (D) 25a? (11) 已知函数

4、|lg|,010,()16,10.2xxfxxx?若,abc互不相等，且()()(),fafbfc?则abc 的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (12)已知双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(12,15)N?,则E的方程式为 (A) 22136xy? (B) 22145xy? (C) 22163xy? (D) 22154xy? S=S+1k(k+1)输入N否结束输出Sk=k+1k=1,S=0开始k<N是 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21

5、）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)设()yfx?为区间0,1上的连续函数，且恒有0()1fx?，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx?，先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数12,Nxxx和12,Nyyy，由此得到N个点(,)(1,2,)iixyiN?,，再数出其中满足()(1,2,)iiyfxiN?,的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx?的近似值为 。 (14)正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种） (15)过点(4,1)A的圆C与直线10xy

6、?相切于点(2,1)B，则圆C的方程为_ (16)在ABC中，D为边BC上一点，12BDDC?，?ADB=120°，AD=2，若ADC的面积为33?，则?BAC=_ 三，解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 （17）（本小题满分12分） 设数列?na满足21112,32nnnaaa? （1）求数列?na的通项公式； （2）令nnbna?，求数列的前n项和nS (18)（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥PABCD?的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD?，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点 （1）证明：PEBC? （2）若60APBADB?o，求直线PA与平面PEH

7、所成角的正弦值 (19)(本小题12分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿 男 女 需要 40 不需要 160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由 附：22()()()()()nadbcKabcdacbd? ? 2()PKk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82

8、8 （20）（本小题满分12分） 设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab?的左、右焦点，过1F斜率为1的直线l 与E相交于,AB两点，且22,AFABBF成等差数列。 （1）求E的离心率； （2） 设点(0,1)P?满足PAPB?，求E的方程 （21）（本小题满分12分） 设函数2()1xfxexax?。 （1）若0a?，求()fx的单调区间； （2）若当0x?时()0fx?，求a的取值范围 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 （22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧?ACBD?，过C点的圆的切线与BA的延

9、长线交于E点，证明： （）ACE?=BCD?； （）2BC=BE ×CD （23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知直线1C： 1cossinxtyt?(t为参数)，圆2Ccossinxy?（?为参数） （）当?=3 ?时，求 1C与2C的交点坐标： （）过坐标原点O做1C的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当?变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 设函数()fx=241x? （）画出函数()yfx?的图像： （）若不等式()fxax?的解集非空，求a的取值范围 2010年普通高等学校招生全国统一考试（新

10、课标全国卷） 理科数学答案 1【解析】|2,22AxRxxRx?， |4016BxZxxZx?，故0,1,2AB?应选D 2 【解析】2331311(3)(13)(3)284(13)22313iiiziiiiii? 111(3)(3)444zzii?应选A 另解：由222332122(13)13iizii?可得214zzz? 3 【解析】由2122xyxx? 可得122,2,12(1),21(2)xykyyxyxx? 应选A 4【解析】通过分析可知当0t?时，点P到x轴距离d 为2，于是可以排除答案A,D， 再根据当4t?时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0,排除答案B，应选C 5【解

11、析】：1p：函数22xxy?在R为增函数为真命题，而函数22xxy?为偶函数，则22xxy?在R不可能为减函数，2p：函数22xxy?在R为减函数为假命题，则1p?为假命题，2p?为真命题，然后根据复合命题的判断方法即可确定答案C 6【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数?服从二项分布，即(1000,0.1)B?,而2X?，则2210000.1200EXE?应选B 7【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和： 1111101223344556S? 111111111151122334455666?，应选D 8【解析】当0x?时，则0x?，由偶函数满()fx足3()8(0)fx

12、xx?可得， ()()fxfx?38x?，则()fx=338(0)8(0)xxxx?，(2)fx?33(2)8(2)(2)8(2)xxxx? 令(2)0fx?，可解得4,0xx?或应选B 另解：由偶函数满()fx足3()8(0)fxxx?可得3()()8fxfxx?， 则3(2)(2)28fxfxx?，要使(2)0fx?， 只需3280,22xx?，解得4,0xx?或应选B 9 【解析】由4cos5?，?是第三象限的角可得3sin5? 311tancossin1sin152224cos21tancossin2225?，应选A 另解：由4cos5?，?是第三象限的角可得3sin5? 3sinsi

13、n52tan3421coscos125? ，1tan13121321tan2? 10【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为 2227()()22sin6012aaRa?o ，球的表面积为222774123aRa?，应选B 11【解析】作出函数()fx的图象如右图， 不妨设abc?，则1lglg10 (0,1)2abc? 则(10,12)abcc?应选C 12【解析】由双曲线E的中心为原点，(3,0)P是的焦点可设双曲线的方程 2222221(9)xyabab?，设1122(,),(,)AxyBxy，即 2222112222221,1xyxyabab? 则221

14、21222121212015115312yyxxbbxxayya?，则22225,5,44bbaa?，20 y 故E 的方程式为22145xy?应选B 13【解析】 ：由题意可知101()1fxdxNN? 得110()NfxdxN?，故积分10()fxdx?的近似值 为1NN 14【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等 15【解析】设圆的方程为222()()xaybr?， 则2222221(4)(1),(2)(1),1,2babrabra? 解得3,0,2abr?，故所求圆的方程为22(3)2xy? 16【解析】由ADC 的面积为33?可得 13sin6033

15、22ADCSADDCDC?o 31(33)sin22ABCSABACBAC? 解得232DC?, 则31,333BDBC? 2222cos120ABADBDADBD? o24(31)2(31)6? ,6AB? 22222cos6044(31)4(31)24123ACADCDADCD?o 6(31)AC? 则222cos2BAACBCBACABAC? ?6241239(423)63612266(31)12(31)? 故60BAC?o 三、解答题 （17）【解析】（）由已知，当n1时， 111211()()()nnnnnaaaaaaaa?21233(222)2nn?L2(1)12n?。 而 12,

16、a? A B D C 所以数列na的通项公式为212nna?。 （）由212nnnbnan?知 35211222322nnSn?L 从而 22nS?=357211222322nn? -得 (212?)nS?=35212122222nnn?L 即 nS=211(31)229nn? （18）【解析】以 H为原点，,HAHBHP 分别为,xyz轴，线段HA的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)AB （）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)CmPnmn? 则(0,0)Dm,1(,0)22mE 可得 PEuuur=1(,)22mn?,BCuuur=(,1,0)m?

17、 因为0022mmPEBC?uuuruuur 所以 PE?BC （）由已知条件可得 33,1,33mnC?故 (,0,0) 33(0,0),(,0),(0,0,1)326DEP? 设 (,)xyx?n为平面PEH的法向量 则00HEHP?uuuruuurnn 即3060y? 因此可以取(1,3,0)?n， 由(1,0,1)PA?uuur， 可得|cos<,PAuuurn >|=24 所以直线PA与平面PEH 所成角的正弦值为24 （19）【解析】（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人 中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500? （2 ）

18、22500(4027030160)9.96720030070430K?。 由于9967>6635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 （20）【解析】（I）由椭圆定义知224AFBFABa?，又222ABAFBF?， 得43ABa? l的方程为yxc? ，其中22cab?。 设?11,Axy，?22,Bxy

19、，则A、B 两点坐标满足方程组22221yxcxyab? 化简的?222222220abxacxacb? 则? ?2222121222222,acbacxxxxabab? 因为直线AB斜率为1，所以AB ? ?2211212224xxxxxx? ? 得22244,3abaab?故222 ab? 所以 E 的离心率2222cabeaa? （II）设AB的中点为?00,Nxy，由（I）知 212022223xxacxcab? ，003cyxc?。 由PAPB?，得1PNk?， 即0011yx? 得3c? ，从而32,3ab? 故椭圆E 的方程为221189xy?。 （21）解：（1）0a?时，()1xfxex?，'()1xfxe? 当(,0)x?时，'()0fx?；当(0,)x?时，'()0fx?故()fx在(,0)?单调减少，在(0,)?单调增加 （II）'()12xfxeax? 由（I）知1xex?，当且仅当0x?时等号成立故 '()2(12)fxxaxax?， 从而当120a? ，即12a?时，'()0 (0)