高等数学(大一)题库

1、.（一）函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) (B) (C) (D)2、 当时，函数f (x)=x sin x是( )（A）无穷大量 （B）无穷小量 （C）无界函数 （D）有界函数3、 当x1时，都是无穷小，则f(x)是的( )（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶无穷小 （D）等阶无穷小4、 x=0是函数的( )（A）可去间断点 （B）跳跃间断点； （C）振荡间断点 （D）无穷间断点5、 下列的正确结论是（ ）（A）若存在，则f (x)有界；（B）若在的某邻域内，有且都存在，则也 存在； （C）若f(x)在闭区间a, b上

2、连续，且f (a), f (b)<0则方程f (x)=0,在(a, b)内有唯一的实根;（D） 当时，都是无穷小，但与却不能比.二、填空题：1、 若且则f (x)的表达式为 ;2、 已知数列的极限是4, 对于满足n>N时，总有成立的最小N 应是 ;3、 (b为有限数) , 则a= , b= ;4、 设则x=a是f(x)的第 类 间断点;5、 且fg(x)在R上连续，则n= ；三、 计算题:1、计算下列各式极限：（1）； （2）；（3） （4）（5） （6）2、确定常数a, b，使函数在x=-1处连续.四、证明：设f (x)在闭区间a, b上连续，且a<f(x)<b, 证

3、明在(a, b)内至少有一点，使.（二）导数与微分一、填空题:1、 设存在，则= ;2、 则 ;3、 设, 则dy= ;4、 设则 ;5、 y=f(x)为方程xsin y + ye确定的隐函数, 则 .二、选择题:1、 则的值为( ) (A) lna (B) lna (C) (D) 2、 设曲线与直线相交于点, 曲线过点处的切线方程为( ) (A) 2x-y-2=0 (B) 2x+y+1=0 (C) 2x+y-3=0 (D) 2x-y+3=03、 设 处处可导，则( ) (A) a=b=1 (B) a=-2, b=-1 (C) a=0, b=1 (D) a=2, b=14、 若f(x)在点x可

4、微,则的值为( ) (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y=f(sin x), f(x)为可导函数，则dy的表达式为( ) (A) (B) (C) (D)三、计算题：1、 设对一切实数x有f(1+x)=2f (x),且,求2、 若g(x)=又f(x)在x=0处可导，求3、 求曲线在t=0处的切线方程4、 f(x)在x=a处连续,求5、 设, 求6、 设, 求.7、 计算的近似值.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f(x)=arctanx在0 ,1上使拉格朗日中值定理结论成立的= ;2、 若则a= , b= ;3、 设f(x)有连续导数，且则= ;4、 的极大

5、值为 ，极小值为 ;5、 的最大值为 ，最小值为 .二、选择题：1、 如果a,b是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，那么方程f(x)=0在(a,b)内（ ）（A）仅有一个根； （B）至少有一个根； （C）没有根； （D）以上结论都不对。2、 函数在区间-上（ ）（A）满足罗尔定理的条件，且 （B）满足罗尔定理的条件，但无法求（C）不满足罗尔定理的条件，但有能满足该定理的结论； （D）不满足罗尔定理的条件3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）（A）极大值一定是最大值； （B）极小值一定是最小值； （C）极大值一定比极小值大； （D）极在值

6、不一定是最大值，极小值不一定是最小值。4、 设f(x)在(a, b)内可导，则是f(x)在(a, b)内为减函数的（ ）（A）充分条件； （B）必要条件； （C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件。5、 若f(x)在(a, b)上两次可导，且（ ）, 则f(x)在(a, b)内单调增加且是上凹的。（A）； （B）；（C） ； （D）三、计算题：1、 求: 2、 求过曲线y=xe上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x=0的直线方程.四、应用题：1、 通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时

7、，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：,其中G（x）是接受能力的一种度量，x是提出概念所用的时间（单位：min）（a）、x是何值时，学生接受能力增强或降低？（b）、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？（c）、最难的概念应该在何时讲授？（d）、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？五、证明题： 证明不等式 （四）不定积分一、选择题：1、 设可微，则（ ）（A） （B） （C） （D）2、 若F（x）是的一个原函数，则cF（x）（ ）的原函数 （A）是 （B）不是 （C）不一定是3、 若则（ ） （A） （B） （C） （D）4、 设在a，b上连续，

8、则在（a，b）内必有（ ）（A） 导函数 （B） 原函数 （C） 极值 （D） 最大值或最大值5、 下列函数对中是同一函数的原函数的有（ ） 6、 在积分曲线族中，过点的曲线方程是（ ） 7、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）.8、已知一个函数的导数为，且x=1时y=2,这个函数是（ ） （A） （B） （C） （D）9、（） （A）; （B）; （C）； （D）.10、（ ） （A）； （B）； （C）； （D）.二、计算题:1、 2、 3、3、 5、 6、 7、三、求其中（五）定积分及其应用一、填空题：1、 设是连续函数，则F'(x)= ;2、

9、 设是连续函数，则 ；3、 ；4、设是连续函数，f(0)= -1,则 ；5、函数=在区间a，b上的平均值为 .二、单项选择题：1、 设存在，则在a，b上( ) (A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界2、 设是以T为周期的连续函数，则( ) （A） （B） （C） （D）3、 设存在，则I=( ) (A) (B) (C) (D) 0 4、 ,在( )（A）P<1 时收敛,P1时发散 （B）P1 时收敛,P1时发散（C）P>1 时收敛,P1时发散 （D）P1 时收敛,P<1时发散5、 曲线及y轴所围的图形面积为( ) (A) (B) (C) (D) 三、计算

10、下列定积分:1、 2、3、 4、四、求下列极限:1、 2、五、设可导函数y=y（x）由方程所决定，试讨论函数y=y（x）的极值.六、已知抛物线，求p和a的值，使得：（1） 抛物线与y=x+1相切；（2） 抛物线与0x轴围成的图形绕0x轴旋转有最大的体积.（六）向量代数 空间解析几何一、填空题：1、向量与x，y，z轴的夹角分别为，则 ， ， 。2、设，则= ，= ，= ，= 。3、以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为 。4、平面通过点（5，-7，4）且在x，y，z三轴上截距相等，则平面方程为 。5、把曲线绕x轴旋转一周，则旋转曲面的方程为 。二、选择题：1、平面与互相平行，则（ ）。 （A）充

11、要条件是 （B）充要条件是 （C）必要而不充分条件是 （D）必要而不充分条件是2、设与为非零向量，则是（ ） （A）的充要条件； （B）的充要条件； （C）=的充要条件； （D）的必要但不充分的条件；3、设直线，则该直线为（ ）。 （A）过原点且垂直于x轴 （B）过原点且平行于x轴 （C）不过原点但垂直于x轴 （D）不过原点但平行于x轴4、直线和平面的关系是（ ）。 （A）直线与平面垂直； （B）直线与平面平行，但直线不在平面上； （C）直线在平面上； （D）直线与平面相交，但不垂直。5、平面在轴的截距分别为，则（ ）。 （A） （B） （C） （D）6、方程表示（ ） （A）椭球面； （B）

12、椭圆柱面； （C）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线； （D）y=1平面上椭圆。7、方程表示（ ） （A）锥面； （B）单叶双曲面； （C）双叶双曲面； （D）椭圆抛物面。三、计算题：1、将直线方程 化成对称式方程。2、求两平行平面及之间的距离。3、设一直线通过点M（4，3，3），且垂直于由三点A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所确定的平面，求该直线方程。4、求过点和且与平面成角的平面方程。四、应用题：设有一质点开始时位于点P（1，2，-1）处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,而大小为100克的力作用于此质点，求当此质点自点P作直线

13、运动至点M（2，5，-1+3）时，力所作的功（长度单位为厘米）。（七）多元函数微分学一、填空题： 1、设，则f（x，y）= . 2、设，则= . 3、由方程所确定的函数在点（1，2，2）处的全微分dz= . 4、曲面在点处的切平面方程是 . 5、设，则该函数的定义域为 .二、选择题： 1.当，时，函数的极限（ ）（A）等于0； （B）等于； （C）等于； （D）不存在2.函数z = f（x，y）的偏导数，在点（x0，y0）连续是函数 z = f（x，y）在点（x0，y0）可微分的（ ） （A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分条件也非必要

14、条件；3.设z = f（u，v），而，其中f具有一阶连续偏导数，则等于（ ）（A）； （B）； （C）； （D）； 4.在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）（A）只有1条； （B）只有2条； （C）至少有3条； （D）不存在 5.设函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且=2则在点（0，0）处f（x，y）（ ） （A）不可微分； （B）可微分，且；（C）取得极大值； （D）取得极小值. 三、计算题： 1、设，求 2、设，求3、设,求4、设由方程所确定，求dz 5、设，求6、求函数的极值.四、求曲面上同时垂直平面与的切平面方程五、在旋转椭球面上求距平面为最近和最远的点.习题答案（

15、一）函数、极限、连续 答案一、1、（D） 2、（C） 3、（C） 4、（B） 5、（D）二、1、 2、N=10 3、4，10 4、一，跳跃 5、三、1、（1）（2）（3）（不存在） （4） （5） （6）2、解：f（-1-0）=0 f（-1）=b f（-1+0）=a+ 使f（x）在x=-1连续四、证明：令F（x）=f（x）-x 显然F（x）在a，b上连续 F（a）=f（a）-a 0 F（b）=f（b）-b 0 在（a，b）内至少有一点使F（）=0 即：使f（）=（二）导数与微分 答案一、1、 2、不存在 3、 4、 5、0二、1、（A） 2、（D） 3、（C） 4、（B） 5、（D）三、解：1

16、、 2、 而 3、解：对等式两边关于t求导 对等式两边关于t求导 当t=0时，得x=0，y=-1 曲线在t=0处的切线方程的斜率为 ，切线方程4、5、 6、 7、设,则（三）导数的应用 答案一、（1） （2）1，1； （3）1； （4） （5） 二、B；D；D；A；A三、解：1. (1)、原式= (2)、原式=2. ，驻点，令，得， 因为，所以为极大值点，所以为拐点所以极大值点与拐点的中点坐标为，所求直线为：四、1、解 ：G（x）单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低 （b）单调上升，学生的兴趣在增长。 时取极大值，所以

17、最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。 （d） 因为G（13）=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。2、解 ：设与的公路总长为，则，所以，令，得：（舍去）只有唯一的驻点，所以在处取得最小值五、证：1、令当x>0时，有，当x<0时，有故（四）不定积分 答案一、1、（C） 2、（B） 3、（C） 4、（B） 5、（A） 6、（A） 7、（D） 8、（B） 9、（D） 10、（C）二、1、原式= 2、原式=3、原式=4、原式=5、原式=6、原式= =7、原式=三、原式=（五）定积分及其应用 答案一、（1） （2）0； （3）ln2

18、 （4） （5）二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。三、解：1、原式= 2、原式= 3、原式= 4、原式=四、解：1、原式= 2、， 而又 ，由夹挤定理知，此外 由的任意性知五、两边求导得即令y'=0，得x=0， 且由于x<0时,y'<0; 知x=0是y=y(x)的极小点,代入方程得:；注意:即y=y(x)的极小值为0六、解：对两边关于x求导得，由题设切点处有：， 得，代入抛物线方程可得，另一方面，旋转体体积为：令，得从而这时，时，而时， ,故，V取极大值，也是最大值。（六）空间解析几何 答案一、1、 2、1， 3、 4、 5、二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B三、1、解：令，得到直线上一点，设 的方向向量为 故的对称式方程为 2、解：在上取一点；则两平行平面间的距离为 3、解：所求直线方向向量同时垂直于