工程力学弯曲变形教学ppt课件

1、第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形12-1 12-1 引言引言 研讨弯曲变形的目的：研讨弯曲变形的目的：1.1.建立梁的刚度条件；建立梁的刚度条件；2.2.求解静不定梁；求解静不定梁；3.3.利用弯曲变形利用弯曲变形挠曲轴线：梁弯曲变形后的轴线。挠曲轴线：梁弯曲变形后的轴线。度量弯曲变形有两个量：挠度和转角度量弯曲变形有两个量：挠度和转角一、挠度一、挠度w：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移线位移mm) 。挠曲轴方程：挠曲轴方程：( )w wx向上的挠度向上的挠度向下的挠度向下的挠度00ww二、转角二、转角 ：横截面的角位移，也等于挠曲轴在

2、该截面处的：横截面的角位移，也等于挠曲轴在该截面处的切线与切线与x 轴的夹角轴的夹角rad)。转角方程：转角方程：( ) x 逆转逆转顺转顺转00挠曲轴是挠度方程的函数曲线挠曲轴是挠度方程的函数曲线 三、挠度与转角的关系三、挠度与转角的关系ddtan,arctan()ddwwxx在小变形下在小变形下dtan( )dww xx12-2 12-2 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 纯弯曲：纯弯曲：1MEI非纯弯曲：非纯弯曲：1( )( )M xxEI略去剪力对梁变形的影响略去剪力对梁变形的影响由高数知识可知，平面曲线由高数知识可知，平面曲线 上任一点的曲率为上任一点的曲率为 ( )w wx22

3、3/22d1d( )d1 ()dwxxwx 223/22d( )dd1 ()dwM xxEIwx 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程在小变形下在小变形下 远小于远小于1 1，挠曲轴方程简化为，挠曲轴方程简化为2d()dwx22d( )dwM xxEI 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程22d( )dwM xxEI 近似微分方程适用近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平于弹性范围内小挠度平面弯曲。面弯曲。 12-3 12-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形22d( )dwM xxEId( )ddwM xxCxEI( )d dM xwx xCxDEIC C、D D 为积分常数，由以下两类条件确定：为积

4、分常数，由以下两类条件确定：1.1.边境条件：梁截面的知位移条件或位移约束条件。如：边境条件：梁截面的知位移条件或位移约束条件。如： 固定端截面固定端截面铰支座截面铰支座截面弯曲变形对称截面弯曲变形对称截面2.2.光滑延续条件：挠曲轴是一条光滑延续的曲线，任一截面光滑延续条件：挠曲轴是一条光滑延续的曲线，任一截面的挠度和转角只需一个确定的值。的挠度和转角只需一个确定的值。转角方程转角方程挠曲轴方程挠曲轴方程0,0w0w 0 例：图示为一悬臂梁，例：图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自在端受一集中力常数，在其自在端受一集中力F 的作用，试的作用，试求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最

5、大转角。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 解：解：(1)(1)选取坐标系如下图，选取坐标系如下图，梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 ( )()M xF lx 22d()dwEIF lxx 232( )2( )62FEIxxFlxCFFlEIw xxxCxD 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 232(0)002(0)00062FEIFlCFFlEIwCD在固定端在固定端A A，转角和挠度均应等于零，即，转角和挠度均应等于零，即 0,00,0AAxxw0,0CD 确定积分常数确定积分常数 2321( )()2( )(3)6Fxxlx

6、EIFw xxlxEI4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为梁的挠曲轴方程和转角方程分别为23maxmax,23BBFlFlwwEIEI 梁的最大挠度和最大转角均在梁的自在端截面梁的最大挠度和最大转角均在梁的自在端截面B 处处 确定最大挠度和最大转角确定最大挠度和最大转角 例：简支梁例：简支梁ABAB如下图图中如下图图中a ba b，接受集中载荷，接受集中载荷F F作作用，梁的弯曲刚度为用，梁的弯曲刚度为EIEI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。并确定挠度的最大值。 解：解： 列弯矩方程，建立如图坐标系列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段段0 xaC

7、B段段a xl 1( )bFMxxl2( )()bFMxxF xal积分积分转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 3111( )6bFEIwxxC xDl33222( )()66bFFEIwxxxaC xDl AC段段0 xaCB段段a xl 212ddwbFEIxxl222d()dwbFEIxF xaxl挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 211( )2bFEIxxCl 2222( )()22bFFEIxxxaCl 1( )bFMxxl2( )()bFMxxF xal弯矩方程弯矩方程 确定积分常数确定积分常数 3111(0)0006bFEIwCDl 33222( )()066bFFEIw

8、 lllaC lDl 2221212( )( )11()()222bFbFFaCaaaCEIlEIlaa 333112212( )( )11()()666bFbFFaC aDaaaC aDEIlEIwlaw a 解得：解得： 2212()6FbCCbll 120DD挠曲轴方程挠曲轴方程 AC AC段段0 xa0 xaCB段段a xl 22211( )()26bFFbxxblEIll 222221( )()()226bFFFbxxxablEIll 32211( )() 66bFFbwxxblxEIll 332221( )()() 666bFFFbwxxxablxEIll 转角方程转角方程 挠曲轴

9、方程挠曲轴方程 转角方程转角方程 确定最大挠度确定最大挠度A0 222C1()()0263zbFFbFabablabEIllEI l 所以转角为零的点在所以转角为零的点在AC AC 段段 22211( )()026bFFbxxblEIll 223lbx 22322max3()()327zFblblbwwEI l 12-4 12-4 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时，积分法就

10、显得过于累赘；另外，当梁上的普遍方程时，积分法就显得过于累赘；另外，当梁上 同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。 叠加法：梁在假设干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下叠加法：梁在假设干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。的弯曲变形之叠加。 运用前提：运用前提：1 1线弹性范围内的小变形；线弹性范围内的小变形； 2 2内力、应力和变形与载荷成线性关系。内力、应力和变形与载荷成线性关系。 工工 具：附录具：附录D D 注注 意：意： 1 1当载荷方向与表中载荷方向相反时，那么变形要变号；当载荷方向与表中载

11、荷方向相反时，那么变形要变号； 2 2转角函数可由挠度函数微分一次得到。转角函数可由挠度函数微分一次得到。例：图示简支梁，同时接受均布载荷例：图示简支梁，同时接受均布载荷q和集中载荷和集中载荷F作用，试用作用，试用叠加法计算截面叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。为常值。解：查附录解：查附录D，均布载荷，均布载荷q单独作用时单独作用时45384CqqlwEI 集中载荷集中载荷F单独作用时单独作用时348CFFlwEI 截面截面C的挠度：的挠度：43538448CCqCFqlFlwwwEIEI 逐段刚化叠加逐段刚化叠加例：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度例

12、：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度EI知。试求截面知。试求截面C的挠度。的挠度。解：将该梁看作是由简支梁解：将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面和固定在截面B的悬臂梁的悬臂梁BC组成。组成。1. 将将BC刚化，分析简支梁刚化，分析简支梁AB的变形，将分布载荷的变形，将分布载荷q平移到平移到B截面，截面，B截面的转角为截面的转角为22236Bqalqa lEIEI C截面相应的挠度为截面相应的挠度为316Bqa lwaEI 2.将将AB刚化，分析悬臂梁刚化，分析悬臂梁BC的变形。的变形。C截面相应的挠度为截面相应的挠度为428qawEI C截面的总挠度为截面的总挠度为34312(43 )68

13、24Cqa lqaqawwwlaEIEIEI 例：悬臂梁在例：悬臂梁在BCBC段作用集度为段作用集度为q q 的均布载荷，设弯曲刚度的均布载荷，设弯曲刚度EIEI为常数。试用叠加法求自在端为常数。试用叠加法求自在端C C 的挠度和转角。的挠度和转角。 CC1C2( )( )wwqwqCC1C2( )( )qq B22( )( )2Blwqq C1( )q C1( )wq43( )( )22826llqqlEIEI4()8qlEI 44138qlEI 3()6qlEI B2( )q 3( )26lqEI 3748qlEI 解：解：12-5 12-5 简单静不定梁简单静不定梁静不定梁超静定梁静不定

14、梁超静定梁 梁的约束力的个数超越了静力平衡方程数目，即成为静不定梁。梁的约束力的个数超越了静力平衡方程数目，即成为静不定梁。 多余约束和多余约束力多余约束和多余约束力 在静不定梁中，凡是多于维持平衡所必需的约束称为多余约在静不定梁中，凡是多于维持平衡所必需的约束称为多余约束，与其相应的约束力称为多余约束力。多余约束力的数目就是束，与其相应的约束力称为多余约束力。多余约束力的数目就是静不定的度数。静不定的度数。 相当系统相当系统 将多余约束用相应的多余约束力替代，得到的受力与原静不将多余约束用相应的多余约束力替代，得到的受力与原静不定梁一样的梁，称为原静不定梁的相当系统。定梁一样的梁，称为原静不

15、定梁的相当系统。 求解静不定梁的步骤：求解静不定梁的步骤：画出原静不定梁的相当系统画出原静不定梁的相当系统列出相当系统的变形协调条件列出相当系统的变形协调条件求出多余约束力求出多余约束力计算梁的内力、应力和变形等计算梁的内力、应力和变形等相当系统相当系统图示一度静不定梁，去掉图示一度静不定梁，去掉B处可动铰链约束，得其相当系统处可动铰链约束，得其相当系统相当系统的变形协调条件为相当系统的变形协调条件为0Bw 34038ByByBBFBqF lqlwwwEIEI由叠加法由叠加法38ByqlFByF求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形，求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形，

16、并可校核其强度和刚度。并可校核其强度和刚度。建立静力平衡方程建立静力平衡方程 0:yF AB0yyFFql ()0:AMF BA02ylFlqlM 解得：解得： A58yqlF 2A8qlM B38yqlF 求出多余约束力后，就可像静定梁一样进展内力、应力求出多余约束力后，就可像静定梁一样进展内力、应力和变形等计算。和变形等计算。留意：多余约束的选择并不是独一的，上面讨论的静不定梁，留意：多余约束的选择并不是独一的，上面讨论的静不定梁，也可用解除固定端对截面转动约束的方法求解，那么其变形协调也可用解除固定端对截面转动约束的方法求解，那么其变形协调条件为条件为 0A3AA120243M lqlE

17、IEI解得：解得： 2A8qlM 建立静力平衡方程建立静力平衡方程 0:yF AB0yyFFql ()0:AMF BA02ylFlqlM 解得：解得： A58yqlF B38yqlF 求解静不定梁的关键是正确列出其相当系统的变形协调条件求解静不定梁的关键是正确列出其相当系统的变形协调条件 例：悬臂梁接受集中载荷例：悬臂梁接受集中载荷F F 作用，因其刚度不够，用杆作用，因其刚度不够，用杆CB CB 加固。试计算梁加固。试计算梁AB AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l l ，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EIE

18、I与与EAEA，且，且A = 3I/l2A = 3I/l2。 解：将加固梁解：将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力处的约束解除，用相应的约束力FR 替代替代变形协调条件变形协调条件 33RRR()33FFlF lF lEIEAEI 33FlwEI 解得：解得： R2FF 加固梁的最大挠度加固梁的最大挠度 33R()36FFlFlwEIEI 12ww 未加固梁的最大挠度未加固梁的最大挠度 33RRR()33FFlF lF lEIEAEI 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 式中式中 和和为规定的许用挠度和转角。为规定的许用挠度和转角。 maxmax w12-6 12-6 梁的刚度条件及合理刚度

19、设计梁的刚度条件及合理刚度设计 例：如图，假设例：如图，假设F1=20kN，F2=10kN，a=1m，l=2m，E=200GPa，梁梁B处的许用转角处的许用转角= ，试根据刚度条件确定该外伸梁的，试根据刚度条件确定该外伸梁的直径直径d。 解：解：1. 根据叠加法求得梁根据叠加法求得梁B处的转角处的转角 212316BFalF lEIEI 0.52. 2. 根据刚度条件根据刚度条件 B得得 1805 . 0163221EIlFEIalFrad1805 . 0Pa1020016m2N1010Pa102003m2m1N1020922393II4646.21 10 m64dI 所以所以 106mmm106. 0m1021. 664446d 例：简支梁跨中接受集中载荷例：简支梁跨中接受集中载荷F = 35kNF = 35kN。知跨度。知跨度l = 4ml = 4m，许，许用应力用应力=160MPa=160MPa，许用挠度，许用挠度=l /500=l /500，弹性模量，弹性模量E = E = 200GPa200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。解：解： 按强度条件选择工字钢型号按强度条件选择工字钢型号 maxmaxzMW 343max635 104