三角函数两角和与差,以及万能公式的推导

1、向量法: 取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A取一点B，连接0B，与X轴的夹角为B0A与0B的夹角即为A-BA ( cosA,sinA),B(cosB,sinB)OA=(cosA,si nA)OB=(cosB,s in B)OA*OB=|OA|OB|cos(A-B)=cosAcosB+si nAsi nB|0A|=|0B|=1cos(A-B)=cosAcosB+si nAsi nB在直角坐标系xoy中，作单位圆 O,并作角a, 3, -3,使角a的始边为Ox交O O于P1 , 终边交O O于P2 ;角3的始边为OP2，终边交O O于P3 ;角-3的始边为OP1，终边交O

2、O于P4.依三角函数的定义， 得P1、P2、P3、P4的坐标分别为 P1 (1,0) , P2 (cos a ,sin )a、P3 (cos( a +3 ),sin( a +3 ),P4-cos(sin(- 3 )连接 P1P3 , P2P4.则I P1P3 I = I P2P4 I .依两点间距离公式，得I P1P3|2= cos( a + 3-12+ sin( a +302,I P2P4|2= cos(- 3 )os a2+sin(- 3 )in a 2 cos( a +312+sin2( a + 3 )= cos(- 3)cos a2+sin(- 3 -s in a 2展开整理，得 2-

3、2cos( a + 3 )=22(cos a cos 3sin a sin 3) cos( a + 3 )=cos a CO&gin a Sin 3 Ca 该公式对任意角a, 3 均成立在公式Ca + 3中，用-3替代3-cos( a 3 )=cos a +(3=cos a cos(- 3 -sin a sin(3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3-cos( a- 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3 -£该公式对任意角a, 3均成立.XX普高教材 <<数学4>>(必修)125_126页有 两角差的余弦公式推导.

4、照抄给你.O的交点分别为A,如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆0,以Ox为始边作角a ,它们的终边与单位圆B,则向量 OA=(cosa ,sin a向量 OB=(cosB ,sin 3),由向量数量积的坐标表示，有向量 0A* 向量 OB=(cosa ,sin a )*(cos 3 ,sin 3)=cos a cos 3 +sin a sin 3(1) 如果a-3 0, n那公向量OA与向量OB的夹角就是a 3由向量数量积的定义，有向量 OA* 向量 OB= | 向量 OA | * | 向量 OB | cos( a 3)=cos(-a)于是 cos( a 3 )=cos a cos 3 +

5、sin a sin 3(2) 当a 3不 0, n设向量OA与向量OB的夹角为B则向量 OA* 向量 OB= | 向量 OA | * | 向量 OB | cos 9 =cos 9 =cos a cos 3 +sin a sin 3另一方面.由图可知 a=2kn+3+9gkZ,所以cos( a3 )=cos 9也有 cos( a 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3所以，对于任意角a ,有cos( a3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3两角差的余弦公式 cos( (- 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3由两角差的余弦公式 cos( a

6、 3 )=cos a cos 3 +sin a得n 3,两角和的余弦 cos( a +3 )=cosH-3 )=cos a c©3 )+sin a s-3 )=cos a cossjln a sin得3,X两角和的余弦公式cos( a + p )=cos a-sins a sin p ,两角差的正弦公式推导，则可由余弦公式及诱导公式很快得岀sin( -p )=cos /n( - p )=cos( n -Z2 )+ p )=cos( - n)/2)s-sjin( n-/2 )sin p=sin a coscOs a sin p两角和的正弦公式推导sin( a + p )=sin- p

7、)=sin a c©s)os a 13(- p ) sin a cos p +cos a sin pX作单位圆，做向量 a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),俩向量夹角cos(a-b)=(cosacosb+sibasinb)/|ar|b|=cosacosb+sibasinb.由 梯 形 面 积， 得 1/2*1*1*sin(a+b)+1/2*(sina+sinb)*(cosa+cosb),sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,将 b 换成-b,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb*sina*cosa+1/2sinbcosb=1/2万能公式的推导: 0 证明；tan = z鈕"2咼化/792sm cos 2 26.0+ cos' 2 2Si