三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

1、3三角函数的图像和性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：正弦函数y=sinx , x 0 , 2 n 的图象中，五个关键点是：(0,0) (- ,1) (,0)( 吕，-1)(2 ,0)3余弦函数y=cosx x 0,2 的图像中，五个关键点是：(0,1) (,0) (,-1) (- ,0) (2,1)2 22、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性丿和数J sin xy cosxy tanx图 象IyLj t .i y 1 yj卩加0寻vyx0r丄/s疋义域RRx x k , k2值 域1,11,1R最值当x 2k时，2ymax 1 ；当 x 2k2时，min1 当x 2

2、k时，ymax 1 ；当 x 2k时，min1 既无最大值也无最小值周 期 性22奇 偶 性奇函数偶函数奇函数单 调 性在 2k,2k2 2上是增函数；3在 2k-,2k2 2上是减函数.在2k,2k 上是增函数；在2k ,2 k上是减函数.在 k , k2 2上是增函数.对 称 性对称中心k ,0对称轴x k2对称中心k,02对称轴x kk对称中心,02无对称轴1例5求函数y sin(2x的单调区间例作下列函数的简图(1) y=|sinx| , x 0 , 2 刃,y=-cosx , x 0 , 2 刃# -例5求函数y sin(2x的单调区间# -例5求函数y sin(2x的单调区间例利用

3、正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合:1(1)si nx -21(2) cosx 一23、周期函数定义：对于函数y f(x)，如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有：f(x T) f (x)，那么函数y f (x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。注意：周期T往往是多值的(如 y sinx 2 ,4 ,-2,-4,都是周期)周期 T中最小的正数叫做y f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y sinx, y cosx的最小正周期为2(般称为周期)2正弦函数、余弦函数：T。正切函数：一例求下列三角函数的周期：x1 y=s in(x

4、+ )2y=cos2x 3y=3si n(+ )4 y=ta n3x32 5例求下列函数的定义域和值域:(3) y lgcos x(1) y 2 sin x( 2) y 、3sin x例不求值，比较大小+(1)si n()、sin();(2)cos(一)、cos(-)18105423 、233解：* V -V V.(2)cos(一)=coscos2 '10182555且函数y= sin x, x- ?是增函数，cos(17-)=cos17一cos-22444 si n()V sin()/ 0v V 3V n101845即 sin()si n(一)> 0且函数y= cosx,x 0

5、,n是减函数18103 cos V cos 543即 cos cos V 054 cos(23 、/17544、函数ysin x0,的图像:(1)函数sin x0,0的有关概念:振幅:周期:频率：f -;相位：x ;初相:2(2) 振幅变换y=Asinx ,x R(A>0且A 1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的+它的值域-A, A 最大值是A,最小值是-A若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅，这一变换称为振幅变换(3) 周期变换函数y=sin 3 x, x R ( 3

6、 >0且3 1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(3 >1)或伸长(0< 3 <1)到原来的-倍(纵坐标不变)若3 <0则可用诱导公式将符号“提出”再作图3决定了函数的周期，这一变换称为周期变换相位变换3 -例5求函数y sin(2x的单调区间一般地，函数y= sin( x+ ) , x R(其中 丰0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 >0时)或向右(当 v0时=平行移动丨丨个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“加左” “减右”)y = sin( x + )与y = sin x的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变

7、换称为相位变换”5、小结平移法过程(步骤)作y=sinx (长度为 2 的某闭区间)沿x轴平+移| © |个单位得 y=sin(x+| 牲横坐标伸 J 长或缩短得 y=sin( sx+ ©)纵坐标伸长或缩短横坐标*伸长或缩短得 y=sin sx沿x轴平移| 一 |个单位V得 y=sin( sx+ ©)纵坐标伸”长或缩短5 -例5求函数y sin(2x的单调区间# -例5求函数y sin(2x的单调区间得y=Asin( sx+ ©)的图象，先在一# -例5求函数y sin(2x的单调区间# -例5求函数y sin(2x的单调区间6、函数 y sin xYm

8、in ；当xX2时，取得最大值为Ymax ,贝U Vmax2ymin1x ,二 y maxymin ,二2 2x2x1 为例如图e,是f(x)=Asin ( s x+ © ), A>0,|© |v 的2-段图象,，当x &时，取得最小值为则f ( X)的表达式为,1尸JL图ep2# -例5求函数y sin(2x的单调区间例 如图b是函数y = Asin(sx+ ©)+ 2的图象的一部分，它的振幅、周期、4AA= 3, T= 1， 64B”A= 1, T =32C+A= 1, T =3D+A= 1, T= , © =361尸2LV 百O2L5

9、*50-初相各是()# -例画出函数y = 3sin(2 x +) , x R的简图，32解：(五点法)由T= ，得T= n 列表:2x612§712562x+ 3o2n322 n3sin(2 x+)3o30-30例求函数ytan3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3解：由3xk-得x 532318所求定义域为x | xkR,且 x 一-5 ,k z318值域为R,周期T-，是非奇非偶函数”3在区间k18'k5 kz上是增函数*3318例已知函数y=sin2x+3 cos2x-2.(1) 用“五点法”作出函数在一个周期内的图象.(2) 求这个函数的周期和单调区

10、间”(3) 求函数图象的对称轴方程. 说明图象是由y=si nx的图象经过怎样的变换得到的解：y=sin2 x+、3 cos2x-2=2sin(2 x+ )-2 3(1)列表x6123712562x -302J22y 2si n(2x )23-20-2-4-2其图象如图示 T =n2由-+2k nW 2x+ < +2k n，知函数的单调增区间为2325r- n +k n , +k n , k Z"12 12由一 +2k n w 2x+ wn +2k n，知函数的单调减区间为232+k n , n +k n ,k Z12 12k(3)由 2x+=+kn得 x=一+n +3212 2k函数图象的对称轴方程为X=+n ,( k Zl12 2 把函数y1=sinx的图象上所有点向左平移一个单位，得到函数 y2=si n(x+ )的