三角形的重心定理及其证明_第1页
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1、三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好ABC已知：（如图）设VABC中，L、M、N分 别是BC、CA、AB的中点.求证：AL、BM、CN相交于一点G,且AG： GL= BG： GM= CG GN=2： 1.证明1 （平面几何法）：（如图1）假设中线AL与BM交于G,而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.现在，延长 GL,并在延长线上取点 D，使GL=LD 。 因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以 BDCG是平行 四边形.从而，BG/ DC

2、即GM/ DC.但M是AC的中点，因此， G是AD的中点.另一方面，GC/ BD 即NG/ BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.另外，G是AD的中点，因此 AG： GL=2： 1.同理可证:BG： GM=2： 1, CG : GN=2： 1.这个点G被叫做VABC的重心.证明2 （向量法）：（如图2）在VABC中，设AB边上的中1线为CN , AC边上的中线为BM，其交点为G,边BC的中点为L,连接AG和GL,因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点， 所以向量BGuuuBG所以，uuiu/ BM ,所以，uuuuur1BM，即 AG uuu uuuu AG 1AMuuu1AC同理，因

3、为以存在实数所以又因为所以因为1 uuu=(_AB31 uuu=AB(1(1存在实数1uuu uuuuAB 1(AMuur1)ABuuu1)ABC、G、N使得uuu1AC (1uuuAB、，使得uuuAB)L图2三点共线，uur uuuAG 2AN=12uuu1)ABuuuAC不共线，(1uuu 2AB所以2，所以Auu3BC的中点且N是AB的中点.所uur2)ACuuu2)AC(1uuu2AB(1uuu2)AC12121 uuu AC) 31 uuu AC， 61 uuu AC .3uur uur 所以GL GA1 uuu 2uuru 131 uuuAB3uuu uur AC CL uuu

4、uuru AB 二AC 二(AB AC)332uiur 1 uuu AC -CB = 2uuirurn即AG 2GL ,所以A、G、L三点共线.故 AL、BM、CN 相交于一点 G，且 AG： GL= BG： GM= CGGN=2： 13证明3 （向量法）（如图3）在VABC中，uuu i uuu uuurBC的中点L对应于OL -（OB OC）, 2中线AL上的任意一点G,有5#luOA1L ouuuOA1 uuuOB2uurOC.同理，AB的中线CN上的任意点uuuu,OGuuu 1 uulOCOA2uuu OB ,求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个uuirOGuuuuOG .因此，我们令解之#1luir3.所以OGulluOG1 uuu 1 uuu 1 uur-OA -OB -OC.由

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