专题训练(一)圆的切线中常见的辅助线类型

1、专题训练（一）圆的切线中常见的辅助线类型? 类型之一 遇到切线时，有交点,连半径，得垂直1.2019 包头如图1-ZT-1,BD是。O的直径,A是。O外一点，点C在。O上,AC与。O相切于点 C,/ CAB= 90°.若 BD= 6,AB=4,/ABC= /CBD则弦 BC 的长为.图 1-ZT-12.2018 德州如图1-ZT-2,AB是。O的直径直线CD与。O相切于点C,且与AB的延 长线交于点E,C是的中点.求证:AD LCD;（2）若/ CAD= 30 > O的半径为3,一只蚂蚁从点 B出发，沿着BE-EC-爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程（於3.14, =1.73，结果保

2、留一位小数）.图 1-ZT-23.如图1-ZT-3,在RtABC中，/ACB=90°,D是边AB上一点，以BD为直径的。与边AC 相切于点E,连接DE并延长，交BC的延长线于点F.求证：BD=BF ;(2)若 CF=1,cosB=-，求。O 的半径.图 1-ZT-3? 类型之二证明某一直线是圆的切线、有交点，连半径，证垂直4.2018 金华如图1-ZT-4,在RtABC中，点O在斜边 AB上，以点。为圆心，OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知/ CAD= / B.(1)求证:AD是。O的切线；(2)若 BC=8,tanB=-，求。O 的半径.图 1-ZT-4

3、5.2019 十堰如图1-ZT-5,在 ABC中,AB=AC,以AC为直径的。交BC于点D,E为AC延长线上一点，且/ CDE= -Z BAC.(1)求证:DE是。O的切线；(2)若 AB=3BD,CE=2,求。O 的半径.图 1-ZT-56.如图1-ZT-6,已知。的半径为1,DE是。的直径，AD是。的切线，C是AD的中点，AE交。于点B,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长.(2) BC是。O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.D图 1-ZT-6二、无交点，作垂直，证半径7 .2018 -安顺如图1-ZT-7,在 ABC中,AB=AC ,0为BC的中点，AC与半圆 O相

4、切于 点D.(1)求证:AB是半圆0所在圆的切线；(2)若cos/ABC=-,AB= 12,求半圆0所在圆的半径.图 1-ZT-78 .如图1-ZT-8,已知。是正方形 ABCD对角线AC上的一点，以点。为圆心、0A长为半径的圆与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.求证:CD是。0的切线.图 1-ZT-89.如图1-ZT-9,AB是。O的直径，AM,BN分别切。O 于点 A,B,CD分别交 AM,BN于点D,C,DO 平分/ ADC.求证:CD是。O的切线；(2)若 AD= 4,BC= 9,求。O 的半径 R.图 1-ZT-9教师详解详析【详解详析】1.2 2.解:(1)证明：连接

5、OC.二.直线CD与。O相切，.OCX CD.,. C 是 的中点，：/ DAC= / EAC.OA=OC , ： / OCA= / EAC,:/ DAC= / OCA, : OC / AD. . OCX CD, .,-ADXCD.(2)/ CAD= 30 °, ; / CAE= / CAD= 30 ;由圆周角定理，得/COE=60°,：OE= 2OC= 6,EC= OC= 3,= =兀BE= 3,:蚂蚁爬过的路程为 3+3 +介11.3.3.解:(1)证明：连接OE.AC与。O相切于点E,.-.OEXAC,.,. / OEA= 90°. / ACB= 90

6、76;,.,. Z OEA= / ACB,：OE/ BC,：/OED= ZF.,. OE=OD ,：/OED= Z ODE,F=/ODE,：BD=BF.(2) cosB=-,设 BC=3x,则 AB= 5x.又 CF= 1,.BF=3x+1.由(1)知 BD=BF,-BD= 3x+1.OE/ BF,O 是 BD 的中点,.OB=OE= -BF=,OA=AB-OB= 5x-=. OE / BF,： / AOE= / B,:cos/ AOE=-即=-,解得x=-o O的半径为 =-.4.解:(1)证明：如图，连接OD.,. OB=OD ,：/3=/B.B=/1,：/1=/3.在 RtAACD 中，

7、/ 1+ / 2=90°,:/ 4=180 -(7 2+ / 3)=90°, .-.ODXAD.点D在。O上，：AD为。O的切线.(2)设。O 的半径为 r.在 RtA ABC 中,AC=BC - tanB=4.根据勾股定理，得AB=40A= 4在 RtAACD 中,tan/ 1=tanB=-CD=AC - tanZ 1=2.根据勾股定理，得AD2=aC?+CD 2=16+4=20,在 RtAADO 中 QA2=od2+Ad2,即(4 -r )2=r 2+ 20,解得 r=.5.解:证明：如图，连接OD.AD.AC是直径.Z ADC= 90 ,.ADXBC. -. AB=A

8、C ,Z CAD= Z BAD=-ZBAC./ Z CDE= -Z BAC. Z CDE= Z CAD.OA=OD ,Z CAD= Z ADO Z ADO= Z CDE.Z ADO+ Z ODC= 90 ,Z ODC+ Z CDE= 90 ,/. Z ODE= 90 .又OD是。O的半径，：DE是。O的切线.(2) AB=AC ,AD ± BC, : BD=CD.,.AB= 3BD,：AC= 3DC.设 DC=x，则 AC= 3x,-AD= -=2 一x.Z CDE= / CAD,/ DEC= / AED, .CDEsDAE,一=一，即一=,- DE= 4 ",x= AC=

9、 3x=14,则。O的半径为7.6.解:(1)如图，连接BD.DE是。O的直径，:/ DBE= / DBA= 90°.V四边形BCOE是平行四边形，.BC / OE,BC=OE= 1.在RtAABD中,C为AD的中点，BC= -AD= 1,. . AD=2.2 2) BC是。O的切线.证明：如图，连接OB.由(1)得 BC / OE,且 BC=OE. OE=OD，：BC=OD ,：四边形BCDO是平行四边形.又AD是。O的切线，：OD，AD,：四边形BCDO是矩形,.-.OBXBC.点B在。上，：BC是。O的切线.7 .解:(1)证明：如图，过点。作OELAB于点E,连接OD,OA.

10、,. AB=AC ,0是BC的中点，：/ CAO= / BAO.AC与半圆 0相切于点 D,. .OD±AC.-.OE±AB,/.OD=OE.:AB过半圆O的半径的外端点，：AB是半圆O所在圆的切线.(2)如题图,. AB=AC ,O是BC的中点,.-.AOXBC.在 RtAOB 中,OB=AB cos/ ABC=12 y=8.根据勾股定理，得 OA=-=4 一.Sa aob= -AB OE=-OB OA,：OE=,即半圆O所在圆的半径为二.8 .解析此例未给出直线和圆的公共点，在这种，f#况下，应连接OM,并过点O作ONLCD于点N,然后证明ON=OM即可.为此只需证明

11、OMC0ONC即可.证明：如图，连接OM,过点O作ON LCD于点N.BC与。O相切于点M,：OM LBC,即/ OMC= 90°.：/ ONC= 90°.-.ONXCD,:/ ONC= / OMC= 90°.V四边形ABCD是正方形,AC为正方形ABCD的对角线，:/ OCM= ZOCN= 45°.在 OMC和 ONC中,.AOMCA ONC(AAS), . . OM=ON.ON LCD,： CD 是。O 的切线.9 .解:(1)证明：如图，过点O作OELCD于点E.A D MB C N. AM切。O于点A,.OAXAD.又DO 平分/ ADC,:OE=OA.：CD是。O的切线.(2)过点D作DF，BC于点F.VAM,BN分别切。O于点A,B,.-.AD±AB,AB