2020-2021学年广东省高考数学三模试卷(文科)及答案解析

1、广东省高考数学三模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .已知集合 A=x|lgx> 0, B=x|xw 1,则（）A.人生？ B. AU B=R C. B? A D. A? B2 .若复数 z满足（1+2i） z= （1 - i）,则 |z|=（）A.二B.C.D.亚5553 . 一个总体中有100个个体，随机编号为 0, 1, 2, 3,，99,依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为1, 2, 3, 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第 1组随机抽取的号码为 m,那么在第k组中抽取的号码

2、个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6,则在第7组中抽取的号码是（）A. 66B.76C.63D. 734 .在函数 y=xcosx, y=ex+x2,尸虱”2，y=xsinx偶函数的个数是（）A. 3B.2C.1D. 022 5.直线l: x2y+2=0过椭圆三一打上木二1的一个顶点.则该椭圆的离心率为 （）5 b2A- 1B- I c 普 D罕）6 .已知数列 泄足a二1,an-an1=n（n>2）,则数列4的通项公式4二（）A. -|n（n+1）B. "（3n - 1） c. n2- n+1 D. n2- 2n+27 .如图是计算宁+-1+的值的一个程序框图，其中在

3、判断框中应填入的条件是（）A.8.3兀已知节，且为第二象限角，则皿口口口)=()A.195B.19C.3117D.1731(单位:cm),则该几何体的体积是(9. 一个几何体的三视图如图所示正就国A.2333 cmB.223cm3 C.4763 cm3D. 7cm停网i<10 B. i>10 C. i<20 D. i>2010.在 ABC中，四=3, BC=/13» 则边AC上的高为(A.二.：B 二- ：C.3D-3311.在球内有相距1cm的两个平行截面,截面面积分别是5兀cm2和8兀cm2,球心不在截面之间,则球面的面积是(A. 36 Ttcm2B. 2

4、7Ttcm2C. 20 Km22D. 12 71cm12.已知函数f (x)=满足条件，对于? X1 C R,存在唯一的旭6 R,使得f(X1)二f(X2).当 f (2a) =f (3b)成立时，则实数 a+b=()二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分支-4vBe - 313 .已知x, y满足不等式彳3肝5y<25 ,则函数z=2x+y取得最大值等于 .14 .在 ABC中，若不价=(2. -1),证E-1, -1),则cos/ BAC的值等于 12=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为一，一“，_一，_冗. 16 .已知函数f (x) =sin(3x+4) (0),右f (

5、x)的图象向左平移 工二个单位所得的图象与f(X)的图象向右平移专个单位所得的图象重合，则3的最小值为 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .已知等差数列4的前n项和Sn满足S3=6, Ss=15.(I )求an的通项公式;(n )设二工一，求数列bn的前n项和Tn.2 111至10夕3随机调阅了A、B两所78910963018 .某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：成绩(分)123456人数(个)00091221(I )计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.(n )从A校样本数据成

6、绩分别为 7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取 6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于 15的概率.12 3 TEG/S 9 10 分就A忸痒*蜕雷条第图19 .如图，ABCD是平行四边形，已知 卷二2BC=4, BD=2/3, BE=CE平面BCH平面ABCD.(I )证明：BD± CE;(n)若BE=CB=Via，求三棱锥B - ADE的高.20 .已知点Pi(-2,3),P2(0,1),圆C是以P1P2的中点为圆心，IP1P2I为半径的圆.(I )若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；(n)若P(x, y)是圆C外一点，从P

7、向圆C引切线PM,M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|, 求使|PM|最小的点P的坐标.21 .已知函数 f (x) = (a 之)x2+lnx, g (x) =f (x) 2ax (aC R).(1)当a=0时，求f (x)在区间 看，e上的最大值和最小值；(2)若对？ xC (1, +00), g (x) <0恒成立，求a的取值范围.选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图所示，AB为。的直径，BC、CD为。的切线，B、D为切点.(1)求证：AD/OC;(2)若。的半径为1 ,求AD?OC的值.选彳4-4 :坐标系与参数方程(t为参数)，以坐标原点为极点,23 .在直角坐标系

8、 xOy中，曲线Ci的参数方程为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 P2+2 pcos 0 - 4=0.(I )把Ci的参数方程化为极坐标方程;(n)求Ci与g交点的极坐标(0, 0。2兀).选彳4- 4-5 :不等式选讲24 .已知 a> 0, b>0,且 a+b=1.(I )求ab的最大值;(n )求证:参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .已知集合 A=x|lgx> 0, B=x|xw 1,则()A. ACB=?B. AU B=R C. B? A D. A? B【考点】集合的包含

9、关系判断及应用.【分析】由lgx>0,解得x>1,再利用集合运算性质即可得出.【解答】解：由lgx>0,解得x> 1.A=1 , +8).又 B=x|x< 1,，AnB=1w? , AU B=R,故选：B.2 .若复数 z满足(1+2i) z= (1 - i),则 |z|=()A.二 B.qc.誓 D. Vni555【考点】复数求模.1 - 1【分析】由(1+2i) z=(1-i),得巧 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求.【解答】解：由(1+2i) z= (1-i),1- i (1- 2i) - 1- 3i 13得艺二 二,、二二

10、一传 l+2i 。+2)(1-2口555则同“(-'产十(-亳)'故选：C.3. 一个总体中有100个个体，随机编号为 0, 1, 2, 3,，99,依编号顺序平均分成10个/组，组号依次为1, 2, 3, 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第组随机抽取的号码为 m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6,则在第7组中抽取的号码是()A. 66B. 76C. 63 D. 73【考点】系统抽样方法.【分析】根据总体的容量比上样本的容量求出间隔k的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第7组中抽取的号码是：m+60的值.【解答】解：

11、由题意知，间隔 ky-=10,在第1组随机抽取的号码为 m=6, 6+7=13, ，在第7组中抽取的号码 63.故选C.4. 在函数 y=xcosx, y=ex+x2, 产- 2, y=xsinx偶函数的个数是()A. 3B. 2C. 1 D. 0【考点】函数奇偶性的判断.【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可.【解答】解： f ( - x) =-xcos (- x) =-xcosx=-f (x),则y=xcosx是奇函数，不满足条件.当 x=1 时，f (1) =e+1,当 x=- 1 时，f ( - 1) -+1 wf (1),则 y=ex+x2,不是偶函数，不满 e足条件.由x22

12、>0得x>6或x< - V2,此时 f ( x) =igJ( - k)* - 2=igJ工2 - E,贝U y=ig/ J - Z,是偶函数，f ( x) = - xsin ( x) =xsinx=f (x),贝U y=xsinx 是偶函数，满足条件.故偶函数的个数为 2个，故选：B.225 .直线l：x2y+2=0过椭圆A-jy二l(KbVy)的一个顶点.则该椭圆的离心率为 ()A.B.D.【考点】椭圆的简单性质.【分析】求出直线在 y轴上的截距，可得 b=1,求得a和c,运用离心率公式计算即可得到所求值.【解答】解：直线l: x 2y+2=0过点(0, 1),由题意可得b

13、=1,则椭圆方程为工3+y2=1,即有 a=,二，b=1,故选：D.6 .已知数列an满足ai=1, %-%尸n (n>2),则数列an的通项公式an=()A.+1)B. rt(3n - D C. n2- n+1 D. n2- 2n+2【考点】数列递推式.【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可._ ，.一_ ，.一 、 、一 * 【解答】解：数列力并两足：ai=1, an - an i=n (n>2, nC N),可得a1二1a2 ai=2 a? - a2=3 a4一a3=4 an - an i=n以上各式相加可得：an=1+2+3+n=工 n (n+1),故选：A.7

14、.如图是计算 春启+%+嗡的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是()/ 摘 /A. i<10 B. i>10 C. i<20 D. i>20【考点】程序框图.【分析】根据算法的功能是计算 占+上巧+当的值，确定终止程序运行的i=11,由此可得判2 4 6201断框中应填入的条件.【解答】解：根据算法的功能是计算3二+上+4的值，z y o zu终止程序运行的i=11,，判断框中应填入的条件是：i>10或i>11.故选：B.3兀、8.已知min口二w，且“为第二象限角，则七田式2十一)=()A_19-c _31c_ ILA, B，B-L9 C 1DD

15、-司【考点】三角函数的化简求值.【分析】由题意和同角三角函数基本关系和二倍角公式可得tan2%再由两角和的正切公式代入计算可得.3【解答】解：: sinU 丁，且“为第二象限角，5 cos a=一tan我0 日casQ2tanCLtan2 o=1 - ta nz CL24二31，故选：D.9 . 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）A.2333 cmB.223cm3 C.476cm3 D. 7cm3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度,由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积.【解答】解：根据三

16、视图可知几何体是棱长为2的正方体截取三棱锥A - BCD）,其中B、D分别中点,贝U BC=CD=1,且 AC,平面 BCD,几何体的体积v=' 一二233(cm3),故选：A.10 .在 ABC中，BC=/13i AC=4,则边AC上的高为（）【考点】三角形中的几何计算.【分析】由点B向AC作垂线，交点为D,设AD=x，则CD=4- x,利用勾股定理可知二1- - 加进而解得x的值，再利用勾股定理求得 AD.【解答】解：由点 B向AC作垂线，交点为 D.设 AD=x,贝U CD=4- x,.,由小一”业3-式）L解得x=1j; BD=j9 J=.：、;；故选B球心不在截面之间,11.

17、在球内有相距 1cm的两个平行截面，截面面积分别是5 7tcm2和8 7tcm2,则球面的面积是（）A. 36 Ttcm2 B. 27Ttcm2 C. 20 Km2 D. 12 Km2【考点】球内接多面体.【分析】画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题.【解答】解：由题意画轴截面图，截面的面积为5兀，半径为截面的面积为8兀的圆的半径是2。1, 设球心到大截面圆的距离为d,球的半径为r,则5+ (d+1) 2=8+d：d=1,r=3,球面的面积是 4兀r2=36兀12.已知函数f (x)=满足条件，对于？ xi C R,存在唯一的X2C R,使得f (xi)二f(X2).当 f (2a)

18、=f (3b)成立时，则实数 a+b=(【考点】分段函数的应用.【分析】根据条件得到 f (x)在(-8, 0)和(0, +8)上单调，得到a, b的关系进行求解即 可.【解答】解：若对于？ xM R,存在口t一的xzC R,使得f 3) =f (x2).f (x)在(一0)和(0, +OO)上单调，则 b=3,且 a< 0,由 f (2a) =f (3b)得 f (2a) =f (9),即 2a2+3 :+3=3+3,即"用mtt Vs 门 贝U a+b=- . +3,故选：D.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分支- 313 .已知x, y满足不等式彳3肝5y<2

19、5 ,则函数z=2x+y取得最大值等于12【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可.【解答】解：由约束条件作出可行域如图, 由图可知，使目标函数 z=2x+y取得最大值时过点 B,联立z- 4尸-3r L ”，解得'3x+5y=25故z的最大值是：z=2 >5+2=12,14 .在 ABC中，若藤： 7),前- 1),则cos/ BAC的值等于 言 .5：-【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由已知向量的坐标求出 正的坐标，再求出 港？正，|S|,最|,代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：: 屈: 7),祝二(“1

20、，1),AOA&+BO (1, - 2),IS?AC=2>1+ (T) X (-2) =4,|彘|=也2+( - 1 ) 2=而,|正|二,124(-2) 2=祈,cos / BAC=-AC| AB | | AC | =V5 通营故答案为:2匚=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为12【考点】椭圆的标准方程.【分析】由题意设所求的椭圆方程为【解答】解：2y12=-1的标准方程为.该双曲线的焦点坐标为Fi (0, -4), F2 (0, 4),顶点坐标为 Ai (0, -2、巧)，A (0, 23),由题意设所求的椭圆方程为a=4- b2=42-i=4,.所求的椭圆的方程为故答

21、案为:a=42近,由此能求出所求的椭圆的方程.16.已知函数f(x)=sin(cox+4)(co> 0),若f(x)的图象向左平移7Ty个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移看个单位所得的图象重合，则3的最小值为【考点】函数y=Asin (取+4)的图象变换.【分析】由条件利用函数 y=Asin (球+小)的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得 小值.【解答】解：函数 f (x) =sin (取+ 4) (0),把f (x)的图象向左平移(n )设 bn-,求数列bn的前n项和Tn.个单位所得的图象、,一 ，m 3 元，、为 y=sin w (x+ j=sin ( wx+ j),JJ

22、，,，一TT 一，、一一r , 一,兀 兀 把f (x)的图象向右平移 一个单位所得的图象为y=sinco (x-丁)+(f)=sin (cox+(),666,5兀,一一兀,、，4一八根据题息可得，y=sin ( ox+-+4)和 y=sin (冰-+ 4)的图象重合，,CO K _3 兀1口，故-一+(f)=2k7t+4,求得 co=4k,故 的取小值为 4,36故答案为：4.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .已知等差数列4的前n项和Sn满足S3=6, Ss=15.(I )求an的通项公式;【考点】数列的求和；等差数列的通项公式.【分析】(I)利用等差数列的前 n项

23、和公式即可得出.(II)利用 错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解：(I)设等差数列4的公差为d, . S3=6, S5=15.3X22解得 a1=d=1.an=1+ (n - 1) =n.(II)：2n，an产二2 11百一1+2n1，数歹U bn的前n项和Tn=5+ 2n+1n+2r1至10分，随机调阅了 A B两所18 .某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为学校各60名学生的成绩，得到样本数据如表：B校样本数据统计表：100成绩（分）1234567人数（个）000912219（I ）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.（n ）从A校样本数

24、据成绩分别为 7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取 6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于 15的概率.1赚零1 2 3 J 6 * S ? IQ 分葩A阻博本蚊事由种图【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图.【分析】（I ）分别求出A校样本的平均成绩、方差和 B校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同，A校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中，（n ）根据分成抽样求出故抽取的 7分有4人即为A, B, C, D, 8分和9分的学生中各为1人, 记为a, b, 一列举所有的基本事件，再找到满足条件

25、的基本事件，根据概率公式计算即可.【解答】解：（I ）从A校样本数据的条形图知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人A校样本的平均成绩为：置上=r (4>6+5M5+6>21+7M2+8M+9>3) =6 (分)，c 60A校样本的方差为 Sa2=± 6 (4- 6) 2+15 (5 6) 2+21 (66) 2+12 (7 6) 2+3 (8-6) 2+3 (9 60-6) 2=1.5.从B校样本数据统计表知:B校样本的平均成绩为:=50(4>9+5M2+6>21+7>9+8>+

26、9X3=6 (分),B校样本的方差为SB2=T 9 (4-6) 2+12 (5-6) 2+21 (6-6) 2+9 (7-6) 2+6 (8-6) 2+3 (9 60、26) =1.8.两校学生的计算机成绩平均分相同,A校学生的计算机成绩比较稳定， 总体得分情况比较集中.(n ) A校样本数据成绩分别为 7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，由于7分、8分、9分的学生分别有12人，3人，3人,一，,12，故抽取的7分有61=4人即为JL 乙丁 3 4A, B,C, D, 8分和9分的学生中各为1人，记为a, b,故从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，共有AB, AC, AD,

27、BC, BD, CD, Aa, Ba,Ca, Da, Ab, Bb, Cb, Db, ab共有 15 种，其中2人成绩之和大于或等于 15的分的有 Aa, Ba, Ca, Da, Ab, Bb, Cb, Db, ab共9种，9 3故这2人成绩之和大于或等于 15的概率P=y= 19.如图，ABCD是平行四边形，已知 超二2BCF, BD=蓊，BE=CE平面BCH平面ABCD.(I )证明：BD± CE;(n )若BE=CE=7Ia,求三棱锥B ADE的高.【考点】平面与平面垂直的性质.【分析】(I)根据勾股定理的逆定理可证 BDLBC,由面面垂直的性质可得 BD，平面EBC,故BDX

28、CE;(II)取BC中点F,连接EF,DF,AF,则EH平面ABCD,利用勾股定理求出EF,AF,DF,AE,DE,得出 Ve-ABD, SAadee, 根据等体积法计算棱锥的高.【解答】证明：(I) 四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=4, BC=2, BD=2 , .BD2+BC2=CD2,BDXBC,又平面 BCE1平面 ABCD,平面 BCEM面 ABCD=BC BD?平面 ABCD, BD，平面 BCE, CE?平面 BCE,BDXCE.(II)取BC的中点F,连接EF, DF, AF.EB=EC .-.EF± BC, 平面 EBC平面 ABCD,平面 EBS平面

29、ABCD=BC .EFL平面 ABCD.-. be=ceV10, BC=2,-EF= :，DF= .|；, i '+'=.二,AF=.f'| +| | ： ' + .：'=.-, DE=7ef2+DF2W22, AE=/aF2+EF2=730.1XyX2X2V3X22430-412V2fcosAEDNx痘/疝-sin/AED7T-二 SzADE=AE*DEsin/AB匚4 为=-/- -Z£V165设B到平面ADE的高为h,则 Vb-adLSe，="q - h=2Z"§,31Jh=罕一三棱锥B ADE的高位20.已

30、知点Pi (-2, 3), P2 (0, 1),圆C是以P1P2的中点为圆心， IP1P2I为半径的圆.(I )若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；(II)若P(x, y)是圆C外一点，从P向圆C引切线PM,M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|, 求使|PM|最小的点P的坐标.【考点】直线和圆的方程的应用.【分析】(I )求出圆心与半径，可得圆C的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；(n)先确定P的轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.【解答】解：(I )点Pi( -2,3),P2(0, 1),圆C是以P1P2的中点为圆

31、心，|PiP2|为半径的圆C ( 1, 2), -|PiP2|=二圆 C 的方程为(x+1) 2+ (y-2) 2=2,当切线过原点时，设切线方程为y=kx,则白彳“，. k=2±/6,即切线方程为y= (2可因 x.| 1= 14 2 0 Q |当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a,则正啦,a=- 1 或 a=3,即切线方程为 x+y+1=0 或 x+y 3=0.综上知，切线方程为 y= (2大用)x或x+y+1=0或x+y- 3=0;(II)因为 |PO|2+产=|PC|；所以 x12+y；+2= (x+1) 2+ (y1 一2) 2,即 2x一4y+3=0.要使|PM|最小

32、，只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得 P点坐标(-1021 .已知函数f(x)=(a /) x2+lnx,g(x)=f(x) 2ax(aCR).(1)当a=0时，求f (x)在区间 看，e上的最大值和最小值；(2)若对？ xC (1, +8), g (x) <0恒成立，求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出f (x)的导数，通过讨论 b的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值;(2)求出g (x)的导数，通过讨论 a的范围，确定函数的

33、单调区间，从而求出a的范围.【解答】解：(1)函数=G-二)/十1中 的定义域为(0, +叼， Ui当a=0时，£ (耳)二一4工之十I 口工，F ：-ft1-二(工十。(篁一 D.；当2b华,有f (x) >0；当匕<三，有f (x) V0,f(x)在区间*1上是增函数，在1，e上为减函数,又晦)二-1-f( 1 )=-J2i工田8二，61-号，4祟、)5 1-(2)S(K)=f Cl) 23K=(a则g (x)的定义域为(0, +8),屋(x) = (2a- L)x- 2aB=侬_ x若近>E,令g' (x) =0,得极值点当x2>x1=1,即已时

34、，1) H2 - 2az+l (x 1) (2a- 1 x1f22-1，在(0, 1)上有 g' (x) >0,在(1,x2)上有 g' (x) < 0,在(x2, +°°)上有 g' (x) > 0,此时g (x)在区间(X2, +8)上是增函数，并且在该区间上有 g (x) (g(X2), +°°),不合题意；当X2< Xi=1,即a> 1时，同理可知，g (x)在区间(1, +°°)上，有g (x) C ( g (1), +°°),也不合题意；若则有2a- 1<0,此时在区间(1, +8)上恒有g' (x) <0,1.g (x)在(1, +°°)上是减函数；要使g(X)< 0在此区间上恒成立，只须满足 g(l) = -a-<O=a>-y, iui_11，a的范围是一 f二.，综合可知，当af1一二，时，对？ xC (1, +°°), g (x) v 0恒成立.选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图所示，AB为。的直径，BC、CD为。的切线，B、D为切点.(1)求证：AD/OC;(2)若