圆锥曲线与方程知识点复习及例题

1、学习必备欢迎下载第二章圆锥曲线与方程§ 2.1 椭圆知识梳理1、椭圆及其标准方程（1） . 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1 、 F2 的距离的和大于 | F1 F2 |这个条件不可忽视 . 若这个距离之和小于|F1 F2 | ，则这样的点不存在；若距离之和等于| F1 F2 | ，则动点的轨迹是线段F1F2 .（2） . 椭圆的标准方程：x 2y 21y2x21 （ a b 0）a 2b 2a 2b2（3） . 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x 2 项的分母大于 y 2 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在 y 轴上 .2、

2、椭圆的简单几何性质（a b 0） .（ 1）椭圆的几何性质：设椭圆方程x 2y 21 ,线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长a 2b 2轴和短轴 . 它们的长分别等于2a 和 2b，(2). 离心率：ec1b20 e 1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于 0aa2时，椭圆就越接近于圆 .(3) 椭圆的焦半径：MF1aex ， MF2 aex. a 2 =b2 + c2(4). 椭圆的的内外部点x2y21(a b 0) 的内部x02y021P(x0 , y0 ) 在椭圆b2a2b2a2(5). 焦点三角形PF1F2 经常利用余弦定理、三角形面积公式 将有关线段PF

3、1、 PF2 、2c，有关角 FPF12 结合起来，建立PF1 PF2、 PF1PF2 等关系§ 椭圆及其标准方程典例剖析题型一 椭圆的定义应用例 1题型二椭圆标准方程的求法例 2 已知椭圆的两个焦点为（-2 ， 0），（2,0 ）且过点 ( 5 ,3 ) ，求椭圆的标准方程22学习必备欢迎下载§ 椭圆的简单的几何性质典例剖析题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等例 1 已知椭圆x2( m3) y2m(m0) 的离心率 e3 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短2轴的长、焦点坐标、顶点坐标例 2 设椭圆的两个焦点分别为1、 2，过2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若1

4、2为F、FFPF PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A221 22D21B2C2例 3已知椭圆 C 的焦点 F1（2 2 ，0）和 F2（ 22， 0），长轴长6，设直线 yx 2 交椭圆 C 于 A、 B 两点，求线段AB的中点坐标§ 2.2 双曲线知识梳理1、双曲线及其标准方程（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于| F1 F2 | ）的动点 M 的轨迹叫做双曲线 . 在这个定义中，要注意条件2a | F1F2 | ，这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解 . 若 2a=| F1 F2| ，则动点的轨迹是

5、两条射线；若 2a | F1 F2 | ，则无轨迹 . 若 MF1 MF 2时，动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支， 又若 MF1 MF2 时，轨迹为双曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值” .（2）. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x 2 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果 y 2项的系数是正数，则焦点在y 轴上 . 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）. 双曲线 x 2y 2a 2b 2大，开口越大 .（2）. 双曲线 x 2y 2a 2b 2的 渐 近

6、线 方 程 是 yc21 实轴长为2a，虚轴长为1b 离心率 e 越2b，离心率 eaa 21的渐近线方程为 yb x 或表示为x2y20 . 若已知双曲线aa2b2m x ， 即 mx ny0，那么双曲线的方程具有以下形式：nm 2 x 2n2 y 2k ，其中 k 是一个不为零的常数.学习必备欢迎下载（3）焦半径公式PF1|e(xa2)|， PF2|e(a2x)|.cc（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线方程为x2y21x2y20yba 2b2渐近线方程：b2x ；若渐近线方a2a程为 yb xxy0双曲线可设为x2y2；若双曲线与 x2y 21 有aa ba2b 2a2b 2公共

7、渐近线，可设为x2y2（0 ，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上） . a2b 2双曲线 x2y21(a,b0) 焦点三角形面积：S FPFb2 cotb 2cot，高 h2。a2b2122c§ 双曲线的定义与标准方程典例剖析题型一 双曲线标准方程的判断题型二求双曲线标准方程例 2 已知双曲线过 M (1,1),N ( 2,5) 两点，求双曲线的标准方程例 3§ 双曲线的简单的几何性质典例剖析题型一 双曲线的性质例 1 已知双曲线与椭圆x 2y 21共焦点，它们的离心率之和为14 ，求双曲线方程 .9255学习必备欢迎下载题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法例 2 求

8、与双曲线 x2y21有共同的渐近线，并且经过点( 3, 4) 的双曲线方程932例 3 设双曲线x2y1上两点 A、 B， AB中点 M（ 1， 2） , 求直线 AB方程；2例 4k 代表实数，讨论方程kx22 y280 所表示的曲线 .题型三直线与双曲线的位置关系例 已知不论 b 取何实数，直线 y=kx+b 与双曲线 x22y2=1 总有公共点，试求实数 k 的取值范围 .§ 2.3 抛物线知识梳理1抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线( 定点 F 不在定直线 l上) 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线方程y 22

9、px p 0 叫做抛物线的标准方程注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是p2x；22抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 22 px ， x 22 py ， x22 py . 这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)l yyyllFxoFxFoox图形p 的几何意义：是焦点到准线的距离学习必备欢迎下载焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p)(0,p )2222准线方程pxppypx2y222范围x 0x0y 0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e1e 1e1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调§ 抛物线及其标准方程题型一 求抛物线的标准方程例 1 已知抛物线的焦点在x线的标准方程和m的值 .轴上，抛物线上的点M（