




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、简单介绍编辑卷积是分析数学中一种重要的运算。设:(©是赋上的两个可积函数,作积分:一 r) dr可以证明,关于几乎所有的 忑W (一8,8),上述积分是存在的。这样,随着 忑的不 同取值,这个积分就定义了一个新函数 血),称为函数f与9的卷积,记为 野)=仃末eg我们可以轻易验证:3门),并且 (f察g)(丁)仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,厂(孑)空间是 个代数,甚至是巴拿赫代数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的 傅里叶变换,禾悯此一性质,能简化傅里叶分析中的许多问题。由卷积得到的函数f * g般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧
2、支集的光滑函数,f为 局部可积时,它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数f, 都可以简单地构造出一列逼近于 /的光滑函数列人,这种方法称为函数的光滑化或正则 化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。定义编辑函数f与g的卷积记作f * g,它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的 积分,是一个对平移量的函数。fdr积分区间取决于f与g的定义域。对于定义在离散域的函数,卷积定义为(f = E /nkm -n图解卷积1. 首先将两个函数都用厂来表示。2. 对其中一个函数做水平翻转:3. 加上一个时间偏移量, 让火- 了 i能沿着厂轴滑动。4. 让t从
3、-*滑动到+8。 两函数交会时,计算 交会范围中两函数乘 积的积分值。换句话 说,我们是在计算一 个滑动的的加权平均 值。也就是使用9(=) 当做加权函数,来对 取加权平均值。最后得到的波形(未包 含在此图中)就是f和 g的卷积。如果f( t)是一个单位脉 冲,我们得到的乘积就是 g (t)本身,称为冲激响 应。计算卷积的方法编辑当f "1为有限长度n, g陀为有限长度m的信号,计算卷积门川*有三种主要的方法,分别为1.直接计算(Direct Method) 2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积(sectionedcon volution )。方法1是直接利用定义来计算卷积,而
4、方法2和3都是用到了 FFT来快速计算卷积。也有不需要用到 FFT的作法,如使用数论转换。方法1直接计算编辑 作法:利用卷积的定义M-1讥血= K f加一?n=0 若九陀和g囲皆为实数信号,则需要 mn个乘法。 若fl”.和皆为更一般性的复数信号,不使用复数乘法的快速算法,会需要UN个乘法;但若使用复数乘法的快速算法,则可简化至 3AZN个乘法。因此,使用定义直接计算卷积的复杂度为)。方法2快速傅里叶转换(FFT )编辑 概念:由于两个离散信号在时域(time domain )做卷积相当于这两个信号的离散傅 里叶转换在频域(freque ncy domai n )做相乘:vWI =+y/J =
5、,可以看出在频域的计算较简单。 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域:Ff= DFTPUnGf = DFTP(gn),于是Yf = DFTP(fn)DFTPgii),最后再将频域信号转回时域,就完成了卷积的计算:yn = IDFTpDFTp (f H DFTP总共做了 2次DFT和1次IDFT。Section 1:办忸=川叭乳=03 匸一 1Secti on 2:ftn = /n + L,n = 0,1,., L-lSecti on r: An =/n + (r = l)L,n = 0,= 1Secti on S:/sra = /n+(S-l)L,n=0,lL = 1,卜亠为各个sec
6、tion的和fn = £ An - fr- 1)L; 。因此,y 二 JH *9H = 12 52 frn =(厂-1)丄mgm|S M-1M+L-l屈=IDFTt £刀尸厲(人忸一1)-啊)0尸7>加)2t=1 m=0总共只需要做厂点FFT二X +次,因为只需要做一次FFT。为一般性的复数信号,并使用复数乘法假设P点DFT的乘法量为a, f 兀和皿71的快速算法,则共需要-'1 -个乘法。N运算量:三 y+m1)卩隅2(1+a?1)+1运算复杂度: Z' ,和呈线性,较方法2小。性质编辑1各种卷积算子都满足下列性质:交换律/*p=p*/结合律/ *=
7、 (/* ft.分配律f *(#+© = (/§)+ (/*A)数乘结合律*9)= (af) *3= f * M其中a为任意实数 (或复数)。微分定理Q(f *g) = T)f*g = fVg其中Df表示f的微分,如果在离散域中则是指 差分算子,包括前向差分与后向差分两种:前向差分:冗)=f 血 + 1) - f (时后向差分: Vf(n) = fn) =卷积定理编辑卷积定理 指出,函数卷积的 傅里叶变换 是函数傅里叶变换的乘积。 即,一个域中的卷积相当 于另一个域中的乘积,例如 时域中的卷积就对应于 频域中的乘积。尸")=尸7®)其中 巩打表示 f的傅
8、里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见 Mellin in version theorem )等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析 中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为-的序列,按照卷积的定义进行计算,需要做-组对位乘法,其 计算复杂度 八; 而利用 傅里叶变换 将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法 之后,总的计算复杂度为' r O这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。在群上的卷积编辑若G是有某m测度的群(例如豪斯多夫空间 上哈尔测度下局部紧致的拓扑群),对于G上 m-勒贝格可积 的实数或复数函数f和g,可定义它们的卷积:f f(必(讪对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质,但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的 彼得-外尔定理。应用编辑卷积在工程和数学上都有很多应用:*统计学中,加权的滑动平均是一种卷积。« 概率论中,两个统计独立变量 X与Y的和的概率密度函数
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 课件青铜葵花
- 中国家用除臭剂项目投资计划书
- 2025年中国水溶性肥料项目创业计划书
- 2025年广西安全员C证模拟试题及答案
- 2025年中国镍钴冶炼项目创业计划书
- 水产养殖学考试题及答案
- 中国水溶肥产品项目商业计划书
- 2025年全球海洋污染的治理与生态修复
- 保洁清洁技术考试题及答案
- 初中数学高效课堂构建策略
- 天气现象科学课件
- 肿瘤科工作流程及年终总结
- 测绘安全生产安全培训课件
- 中药饮片入库管理流程与规范
- Unit 3 Same or Different- SectionA(1a-Pronunciation)公开课一等奖创新教学设计-人教版英语八年级上册
- 安全培训仓库管理员课件
- 国家局、省局信息化数据填报管理规定
- 混凝土修复砂浆施工方案(3篇)
- 2025-2026学年高一上学期《学习榜样精神+做新时代好少年》主题班会课件
- 2025年产业园区投资经理面试指南与模拟题解析
- 沪粤版2024九年级物理上册新教材解读课件
评论
0/150
提交评论