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文档简介

1、简单介绍编辑卷积是分析数学中一种重要的运算。设:(©是赋上的两个可积函数,作积分:一 r) dr可以证明,关于几乎所有的 忑W (一8,8),上述积分是存在的。这样,随着 忑的不 同取值,这个积分就定义了一个新函数 血),称为函数f与9的卷积,记为 野)=仃末eg我们可以轻易验证:3门),并且 (f察g)(丁)仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,厂(孑)空间是 个代数,甚至是巴拿赫代数。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的 傅里叶变换,禾悯此一性质,能简化傅里叶分析中的许多问题。由卷积得到的函数f * g般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧

2、支集的光滑函数,f为 局部可积时,它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数f, 都可以简单地构造出一列逼近于 /的光滑函数列人,这种方法称为函数的光滑化或正则 化。卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。定义编辑函数f与g的卷积记作f * g,它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的 积分,是一个对平移量的函数。fdr积分区间取决于f与g的定义域。对于定义在离散域的函数,卷积定义为(f = E /nkm -n图解卷积1. 首先将两个函数都用厂来表示。2. 对其中一个函数做水平翻转:3. 加上一个时间偏移量, 让火- 了 i能沿着厂轴滑动。4. 让t从

3、-*滑动到+8。 两函数交会时,计算 交会范围中两函数乘 积的积分值。换句话 说,我们是在计算一 个滑动的的加权平均 值。也就是使用9(=) 当做加权函数,来对 取加权平均值。最后得到的波形(未包 含在此图中)就是f和 g的卷积。如果f( t)是一个单位脉 冲,我们得到的乘积就是 g (t)本身,称为冲激响 应。计算卷积的方法编辑当f "1为有限长度n, g陀为有限长度m的信号,计算卷积门川*有三种主要的方法,分别为1.直接计算(Direct Method) 2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积(sectionedcon volution )。方法1是直接利用定义来计算卷积,而

4、方法2和3都是用到了 FFT来快速计算卷积。也有不需要用到 FFT的作法,如使用数论转换。方法1直接计算编辑 作法:利用卷积的定义M-1讥血= K f加一?n=0 若九陀和g囲皆为实数信号,则需要 mn个乘法。 若fl”.和皆为更一般性的复数信号,不使用复数乘法的快速算法,会需要UN个乘法;但若使用复数乘法的快速算法,则可简化至 3AZN个乘法。因此,使用定义直接计算卷积的复杂度为)。方法2快速傅里叶转换(FFT )编辑 概念:由于两个离散信号在时域(time domain )做卷积相当于这两个信号的离散傅 里叶转换在频域(freque ncy domai n )做相乘:vWI =+y/J =

5、,可以看出在频域的计算较简单。 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域:Ff= DFTPUnGf = DFTP(gn),于是Yf = DFTP(fn)DFTPgii),最后再将频域信号转回时域,就完成了卷积的计算:yn = IDFTpDFTp (f H DFTP总共做了 2次DFT和1次IDFT。Section 1:办忸=川叭乳=03 匸一 1Secti on 2:ftn = /n + L,n = 0,1,., L-lSecti on r: An =/n + (r = l)L,n = 0,= 1Secti on S:/sra = /n+(S-l)L,n=0,lL = 1,卜亠为各个sec

6、tion的和fn = £ An - fr- 1)L; 。因此,y 二 JH *9H = 12 52 frn =(厂-1)丄mgm|S M-1M+L-l屈=IDFTt £刀尸厲(人忸一1)-啊)0尸7>加)2t=1 m=0总共只需要做厂点FFT二X +次,因为只需要做一次FFT。为一般性的复数信号,并使用复数乘法假设P点DFT的乘法量为a, f 兀和皿71的快速算法,则共需要-'1 -个乘法。N运算量:三 y+m1)卩隅2(1+a?1)+1运算复杂度: Z' ,和呈线性,较方法2小。性质编辑1各种卷积算子都满足下列性质:交换律/*p=p*/结合律/ *=

7、 (/* ft.分配律f *(#+© = (/§)+ (/*A)数乘结合律*9)= (af) *3= f * M其中a为任意实数 (或复数)。微分定理Q(f *g) = T)f*g = fVg其中Df表示f的微分,如果在离散域中则是指 差分算子,包括前向差分与后向差分两种:前向差分:冗)=f 血 + 1) - f (时后向差分: Vf(n) = fn) =卷积定理编辑卷积定理 指出,函数卷积的 傅里叶变换 是函数傅里叶变换的乘积。 即,一个域中的卷积相当 于另一个域中的乘积,例如 时域中的卷积就对应于 频域中的乘积。尸")=尸7®)其中 巩打表示 f的傅

8、里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见 Mellin in version theorem )等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析 中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为-的序列,按照卷积的定义进行计算,需要做-组对位乘法,其 计算复杂度 八; 而利用 傅里叶变换 将序列变换到频域上后,只需要一组对位乘法,利用傅里叶变换的快速算法 之后,总的计算复杂度为' r O这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。在群上的卷积编辑若G是有某m测度的群(例如豪斯多夫空间 上哈尔测度下局部紧致的拓扑群),对于G上 m-勒贝格可积 的实数或复数函数f和g,可定义它们的卷积:f f(必(讪对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质,但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的 彼得-外尔定理。应用编辑卷积在工程和数学上都有很多应用:*统计学中,加权的滑动平均是一种卷积。« 概率论中,两个统计独立变量 X与Y的和的概率密度函数

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