菱形证明专题训练

1、绝密启用前乐学教育菱形证明专题训练1. 已知:如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,E,F为对角线 AC上两点 ,且 AE=CF,DFBE,AC平分 BAD.求证:四边形 ABCD 为菱形.【答案】 ABCD, BAE= DCF.DF BE, BEF = DFE , AEB= CFD.又 AE=CF, AEB CFD,AB=CD.ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形 .AC平分 BAD, BAE= DAF.又 BAE=DCF , DAF =DCF ,AD=CD,四边形 ABCD 是菱形 .2. 如图，矩形 ABCD 中，点 O为AC的中点，过点 O的直线分别与 AB，CD 交于点 E，F

2、， 连接 BF 交 AC 于点 M，连接 DE，BO.若 COB=60°，FO=FC.求证 :(1) 四边形 EBFD 是菱形 ;【答案】 连接 OD.点 O 为矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， B,D, O 三点共线且 BD=DO=CO=AO.在矩形 ABCD 中， ABDC， AB=DC， FCO=EAO. 在 CFO 和 AEO 中， CFO AEO， FO=EO.又 BO=DO ，四边形 BEFD 是平行四边形 . BO=CO， COB =60 °， COB 是等边三角形 . OCB =60 °. FCO = DCB - OCB =30 °

3、;.FO=FC， FOC =FCO =30°. FOB=FOC+COB=90°. EF BD.平行四边形 EBFD 是菱形 .(2) MBOE=32.【答案】 BO=BC，点 B在线段 OC 的垂直平分线上 . FO =FC ，点 F 在线段 OC的垂直平分线上 .BF 是线段 OC的垂直平分线 . FMO =OMB =90 °. OBM =30 °.OF =BF . FOC =30 °， FM=OF.BM=BF-MF=2OF-OF=OF.即 FO=EO， BM OE=32.3. 如图,在ABC中,ABC=90°,BD为AC边上的中线

4、 ,过点C作CEBD于点E,过点 A作BD 的平行线 ,交 CE的延长线于点 F,在 AF的延长线上截取 FG =BD ,连接 BG,DF.求证:四边形 BGFD 是菱形 .【答案】 FGBD,BD=FG,四边形 BGFD 是平行四边形 .CFBD,AGBD,CFAG.又ABC=90°,点 D是 AC的中点 ,BD=DF=AC,平行四边形 BGFD 是菱形 .4. 如图,点O是菱形 ABCD对角线的交点 ,DEAC,CEBD,连接 OE.求证 :OE=BC.答案】 DEAC,CE BD, 四边形 OCED 是平行四边形 四边形 ABCD 是菱形 , ACBD,OB=OD, BOC=C

5、OD=90°, 四边形 OCED 是矩形 , ODE=90°,OB=OD, BOC= ODE =90 °, BC=,OE=, DE=OC.OE=BC.5. 2015 兰·州中考 ,25 (9 分)如图,四边形 ABCD 中,AB CD ,AB CD ,BD=AC.(1)求证 :AD=BC ;答案】 作 BM AC,BM交 DC的延长线于点 M,则 ACD= BMD.1分ABCD,BMAC,四边形 ABMC 为平行四边形 .2 分AC=BM. BD=AC ,BM=BD. BDM= BMD. BDC= ACD.在 BDC 和 ACD 中, BDC ACD.

6、4分BC=AD.5 分(2)若 E,F,G,H分别是 AB,CD,AC,BD 的中点.求证:线段 EF与线段 GH互相垂直平分【答案】 连接 EG,GF,FH,HE.6 分 E,H 为 AB,BD 的中点 , EH=AD.同理 FG=AD ,EG=BC ,FH=BC.BC=AD ,EG=FG=FH=EH.8 分四边形 EGFH 为菱形 ,EF 与 GH 互相垂直平分 .9 分6. 2015 ·长春中考 ,18 （7分）如图,CE是ABC外角 ACD的平分线 ,AFCD交CE于点 F,FGAC交 CD于点 G,求证:四边形 ACGF 是菱形 .【答案】 因为 AF CD,FG AC,

7、所以四边形 ACGF 是平行四边形 , 又因为 ACE= ECG, ECG= AFC, 所以 ACE= AFC,所以 AC=AF , 由得四边形 ACGF 是菱形 .7. 2010 上·海中考， 23已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABAD（如图所示 ）， BAD 的平分线（1）在图中，用尺规作 BAD 的平分线 AE（保留作图痕迹，不写作法 ），并证明四边形 ABED 是菱形；答案】 BAE DAE ，DAE BEA， BAE BEA，AB BEAD，AD BE，四边形 ABED 的平行四边形，又 ABAD ，四边形 ABED 为菱形（2）ABC 60°，EC2BE，求

8、证： EDDC.【答案】 过 D 作 DF AE，则 DFCF1， C30°，而 DEC 60°， EDC 90 °， EDDC.8. 2010 ·沈阳中考， 19如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD相交于 O，点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接 EF，OE，OF ，求证：四边形 AEOF 是菱形 .答案】 点 E， F 分别为 AB， AD 的中点 AE AB， AFAD（2 分 ）又四边形 ABCD 是菱形ABADAE AF（4 分）又菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O O为 BD的中点OE，OF 是ABD

9、的中位线 （6 分）OEAD，OFAB四边形 AEOF 是平行四边形 （8 分）AEAF四边形 AEOF 是菱形 （10 分）9. 2010 安·徽中考， 20如图， ADFE，点 B,C在AD上， 12，BFBC.(1)求证：四边形 BCEF 是菱形；【答案】 AD FE， FEB 2.12， FEB 1.BFEF BFBC， BCEF .四边形 BCEF 是平行四边形BFBC，四边形 BCEF 是菱形 (5 分 )(2)若 ABBCCD，求证： ACF BDE.【答案】 EFBC，ABBCCD ，ADFE，四边形 ABEF 、四边形 CDEF 均为平行四边形， AFBE，FCED

10、.(8 分) 又 AC2BCBD，(9 分) ACF BDE .(10 分)10. 2013 ·长沙中考， 24如图，在 ? ABCD 中， M， N分别是 AD，BC 的中点， AND 90 °， 连接 CM 交 DN 于点 O.(1)求证： ABN CDM ；【答案】 ABN CDM ，AB CD，BN BCADDM， ABN CDM (SAS).(2)过点 C作CEMN于点E，交 DN于点 P，若PE1， 1 2，求 AN的长.【答案】 M，O 分别为 AD，ND 的中点，AN MO 且 AN 2MO， MOD AND 90°，即平行四边形 CDMN 是菱形

11、，在 Rt MOD 与 RtNEC 中，12，MDNC， RtMODRtNEC，MONE.根据菱形的性质可知， MND CND， 1 CND ，所以 MND CND 230°， 所以在 RtENP 中 NE PE÷tan30 °，即 AN 2.11. 如图,在ABC中,A=90°,AHBC于点 H ,B的平分线交 AC于点 D,交AH于点 E,DFBC于点 F,求证:四边形 AEFD是菱形 .【答案】 ABD= FBD,BD=BD , BAD= DFB= 90°, ABD FBD , AD=DF ,AB=FB.又 ABE=FBE,BE=BE,

12、ABE FBE. BAE= BFE. 又 BAE= 90°- ABC= C, BFE= C, EF AD.DF BC,AHBC,AEDF. 四边形 AEFD 是平行四边形 . 又 AD=DF , 四边形 AEFD 是菱形 .12. 2012 ·南宁中考 ,25如图,已知矩形纸片 ABCD,AD2,AB4,将纸片折叠 ,使顶点 A 与边 CD 上的点 E重合,折痕 FG分别与 AB,CD交于点 G,F,AE与 FG交于点 O.图1图2(1)如图 1,求证： A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形；答案】 证法证明：在矩形 ABCD 中 ,CD AB 1 3（1 分）由折叠可知

13、： AGEG,1 2 2 3EFEG（2分）EFAG四边形 AGEF 是菱形 （3 分） 证法二：证明：连接 AF,由折叠可知OAOE,AGEG（1分） 在矩形 ABCD 中,AB CD AEF EAG AOG EOF AOG EOF（ASA）（2分） AGEF四边形 AGEF 是菱形 （3 分）（2）如图 2,当AED的外接圆与 BC相切于点 N时,求证,点 N是线段 BC的中点；答案】 证明：连接 ON,O 是 Rt ADE 外接圆圆心 . O与 BC 相切于点 N ON BC（4 分 ）在矩形 ABCD 中,DC BC,ABBC CDONAB （5 分 ）OAOE CN NB即 N 为

14、BC 的中点 （6 分 ）（3）如图 2,在第 2问的条件下 ,求折痕 FG的长 .【答案】 解法一：过点 O作OMAB于点 M,则四边形 OMBN 是矩形设 O 半径为 x,则 OAOE ONx（7 分） AB4,AD2 AM 4x由第 2 问得 ,NB OM 1222在 RtAOM 中 ,OA AM OM2 2 2 x （4 x） 1 x （8 分）AM 4 FEO OAM 又 FOE OMA 90° RtEFORtAOM （9 分 ）OF FG2OF（10 分） 解法二：延长 NO 交 AD 于点 M四边形 ABNM 是矩形AMBNAD1 O为 RtADE外接圆圆心 OAOEO

15、N 设 ON 为 x,则 OM 4 x（7 分）2 2 2 在 RtAMO 中 ,AM OM OA2 2 2 即 1 （4 x） x x（8 分）OM4FGAE,MNDC FEO MOA AMO EOF 90° EOF OMA （9 分 ）OF FG2OF（10 分）13. 2013 ·葫芦岛中考 ,20 (本小题满分 8分)如图,四边形 ABCD 中,ADBC,BAAD,BC=DC,BECD 于点 E.(1)求证 : ABD EBD ;答案】 如图 ,ADBC, 1= DBC.BC=DC ,2= DBC. 1=2. 2 分 又 BAD= BED= 90°,BD=

16、BD , ABD EBD.4 分(2)过点 E作EFDA,交BD于点F,连接 AF.求证:四边形 AFED是菱形.【答案】 由第 1问得,AD=ED ,1=2.EFDA,1=3, 2=3.EF=ED.5 分EF=AD.6 分四边形 AFED 是平行四边形 .又 AD=ED.四边形 AFED 是菱形 . 8 分14. 2013 ·贵阳中考， 20已知：如图，在菱形 ABCD中， F为BC上的任意一点，连接 AF交对角线 BD于点 E，连接EC.(1)求证： AE EC；【答案】证明：连接 AC. BD 是菱形 ABCD 的对角线， BD 垂直平分 AC.AEEC.(2)当 ABC 60

17、°， CEF60°时，点 F在线段 BC上的什么位置？说明理由 【答案】 点 F 是线段 BC 的中点 .理由：菱形 ABCD 中， ABBC ，又 ABC 60°. ABC 是等边三角形， BAC 60°.AE EC， CEF60°， EAC30°. AF 是 ABC 的角平分线 .AF 交 BC 于点 F，AF 是ABC 的 BC 边上的中线 . 点 F是线段 BC的中点 .15. 2012 上·海中考 ,23 已知：如图 ,在菱形 ABCD 中 ,点 E,F 分别在边 BC,CD(1)求证： BEDF ；【答案】 四边

18、形 ABCD 为菱形 ,ABADBCCD,ABD ADB CBD CDB , ABE ADF BAF DAE,且 BAF BAE EAF ,DAE DAF EAF BAE DAF. ABE ADF (ASA).BEDF.(2)当时 ,求证：四边形 BEFG 是平行四边形【答案】 在菱形 ABCD 中,ADBC , DAE BEA,ADB EBD . AGD EGB.又 ,BEDF,GF BE. DGF DBC. DBC CDB, DGF GDF, GFDF,BEGF.BEGF, 四边形 BEFG 是平行四边形16. 2013 ·乌鲁木齐中考 ,19如图,在ABC中,ACB90

19、6;,CDAB于 D,AE平分 BAC,分别 与 BC,CD 交于 E,F,EH AB 于 H,连接 FH.求证：四边形 CFHE 是菱形 .答案】 AE平分 BAC, CAE EAH ,而 ACB 90°,CD AB, CEA CAE AFD EAH 90°,又 APD CFE , CFE CEF,CF CE.又 AE 平分 BAC,ACB90°.EH AB, CEEH, CFEHCE,CDAB,EHAB,CFEH, 四边形 CFHE 是菱形 .17. 如图所示,在菱形 ABCD中,CEAB于点 E,CFAD于点 F,求证:AE=AF.如图所示 ,连接 AC,四

20、边形ABCD 是菱形 ,AC平分 BAD ,即 BAC= DAC. 在ACE 和ACF 中 , AEC=AFC=90°,BAC=DAC,AC=AC , ACE ACF(AAS), AE=AF. 证法 2：四边形 ABCD 是菱形 , BC=DC=AD=AB ,B= D. 又在BCE和DCF 中,BEC= DFC= 90°, BCE DCF(AAS), BE=DF ,AE=AF.18. 2013 南·宁中考， 23如图，在菱形 ABCD 中， AC是对角线，点 E，F 分别是边 BC，AD 的中点 .(1)求证： ABE CDF ；【答案】 在菱形 ABCD 中，

21、ABBCCDDA(或 AB CD，BCDA). BD.点 E， F 分别是边 BC， AD 的中点，BEDF. ABE CDF.(2)若 B60°，AB4，求线段 AE 的长. 【答案】 解法一： ABBC， B 60°， ABC 是等边三角形 .点 E是 BC边的中点 .AEBC.在 RtABE 中，sinB.AE AB·sinB 4× .解法二： AB BC ， B 60 °， ABC 是等边三角形 .点 E是 BC 边的中点， AEBC. BAE 30°.在 RtABE 中，BEAB2. AE .19. 2012 ·温

22、州中考 ,19(本题 8 分)如图,ABC中,B90°,AB6cm,BC8cm,将ABC 沿射线 BC方向平移 10cm,得到 DEF ,A,B,C的对应点分别是 D,E,F,连接 AD.求证：四边形 ACFD 是菱形 .答案】 法一： B90°,AB 6cm,BC8cm. AC 10cm.由平移变换的性质得 CFAD 10cm,DFAC, ADCFACDF,四边形 ACFD 是菱形 .法二：由平移变换的性质得 AD CF,AD CF 10cm,四边形 ACFD 是平行四边形 , B 90 °,AB 6cm,BC 8cm,AC 10cm,ACCF, ? ACFD

23、是菱形 .20. 2011?兰州中考， 27（本小题满分 12 分）已知：如图 17 所示的一张矩形纸片 ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点 AF 和 CE.A 与点 C 重合，（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；答案】 由题意可知 OA OC，EF AO.ADBC，AEO CFO， EAO FCO， AOE COF ， AECF ，又 AECF， 四边形 AECF 是平行四边形 （2 分） ACEF，四边形 AECF 是菱形 .（4分）2（2）若 AE10 cm， ABF 的面积为 24 cm2，求ABF 的周长；【答案】 四边形 AECF 是菱形， AFAE10 cm.

24、设 ABa，BF b，2, 2 2 ABF 的面积为 24 cm a b 100，ab48（6 分）2（ab） 196，ab14或 ab 14（不合题意，舍去 ）（7 分）ABF 的周长为 ab1024 cm（8 分）2（3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2AC AP？若存在，请说明点 P的位置，并予 以证明；若不存在，请说明理由 .答案】存在，过点 E作AD的垂线，交 AC于点 P，点P就是符合条件的点 （9分） 证明： AEP AOE90°， EAO EAP， AOE AEP，2AE2AO AP（11 分）四边形 AECF 是菱形，2AOAC，AE AC AP，2

25、,且2AE2AC AP.（12 分）21. 2013 ·营口中考 ,19如图 ,ABC中,AB=AC ,AD 是ABC一个外角的平分线(1)求证 : ABC CDA ;【答案】 AB=AC , B= ACB又 FAC 是 ABC 的一个外角 , FAC= B+ ACB FAC= 2ACB2 分又AD 是FAC 的角平分线 , FAC= 2CAD, ACB= CAD3 分又 AC=CA ,BAC= DCA ABC CDA4 分(2)若 ACB= 60°,求证:四边形 ABCD 是菱形.【答案】 BAC= ACDABCD5 分又 ACB= CAD, ADBC.四边形 ABCD 是平行四边形 . 6 分 AB=AC , ACB= 60°,等腰三角形