第7讲基本不等式(知识点串讲)(解析版)

1、第7讲基本不等式第7讲基本不等式考点一、通过配凑法求最值考点二、通过常数代换法利用基本（均值）不等式求最值考点三、通过消元法利用基本（均值）不等式求最值考点四、基本不等式的实际应用【知识梳理】1. 重要不等式"2+夕2加饥“，bWR）（当且仅当a=b时等号成立）.2. 基本不等式认正W （1）基本不等式成立的条件：">0, b>0：（3）其中（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立； 叫做正数g 的算术平均数，倾叫做正数心方的几何平均数.3. 利用基本不等式求最大、最小值问题（1）如果上 ye（O, +oo）,且xy=P（）tL值），那么当尤=y时，x+y

2、有最小值2仲（简记：“积左和最小“）.（2）如果上）唱（0, 4-00）,且x+y=S（泄值），那么当x=y时，小有最大值孕（简记：“和定积最大“）.4. 常用的几个重要不等式(1 )a + /心2yab(a>0, h>0).肋WZ?GR).（4）#+学22（“，b 同号）.以上不等式等号成立的条件均为a=b.5、利用基本不等式求最值问题的解题策略利用基本（均值）不等式解题一定要注意应用的前提广一正必二定皿三相等二所谓“一正,堤指正数广二 定“是指应用基本(均值)不等式求置值时，和或积为定值，“三相等"是指满足等号成立的条件.(2) 在利用基本(均值)不等式求最值时，要根

3、据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后 再利用基本(均值)不等式.(3) “当且仅当心b时等号成立“的含义是是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往 会导致解题错误.(4) 要多次运用基本不等式才能求岀最后结果的题目切记等号成立的条件要一致.(5) 注意基本不等式成立的条件是</>0, b>0,若“<0, /xO,应先转化为一">0, b>0,再运用基本不 等式求解.【考点精炼】考点一、通过配凑法求最值例1、若函数.心)=x+占(x>2)在乂=“处取得最小值，则“等于( )A. 1+述B. 1+羽C. 3D. 4【答案】

4、C Va>2,一2>0,/(x)=x+±=(x-2)+±+2N2TF5+2=2+2 =4,当且仅当2=±,即(x2)2 =1时等号成立，解得x=l或3.又TQ2,*=3,即“等于3时，函数夬x)在x=3处取得最小值.练习、(2019-山东济宁月考)已知0<v<l,则x(3 30取得最大值时x的值为()A. jB.*c 3r2C- 4D-3厂-|2y + |y J*【答案】B V0<y<1, .a(3-3a) = 3,v(1-.v) W3 匸二 一?当且仅当 x=-x9 即兀=空时厂="2成立.练习、(201&湖

5、北荆州期末)已知则.心)=铁一2+頁丄号的最大值为.【答案】1 因为 xj,所以 5-4a>0,则几v)=4x-2+頁±=(5铁+了±；|+3W-2 + 3=l.当且仅当5牡=彳土，即”=1时，等号成立.故.心)=铁一2+屛匕的最大值为1.考点二、通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值例2、（2019-山东聊城检测）已知">0, b>0,且加+b=4,则2的最小值为（）1 -44B.C. 2D. 2【答案】C .SO, b>0, .4=2a+bP2换k .cX2,；.韦詁，等号在“=l, b=2时成立.练习' 已知"&

6、gt;o, b>0, “+b=l,贝1-+的最小值为.1一【答案】 4 SO, Q0,卄*1,茫+訐字+字=2+许夕工2+2 小值为4,当且仅当a=b=时等号成立.考点三、通过消元法利用基本（均值）不等式求最值例3、已知正实数x, y满足xv+2r+y=4,则x+y的最小值为.【答案】2&3 因为 xy+2x+y=4,所以三.由¥=、+（）,得一2<y<4,又）>0,则 0<$<4,41 v 66所以兀+）=亍试+>=予+©+2）一3鼻2心一3,当且仅当2=y+2（0<y<4）,即y=心一2时取等号A2练习、（2

7、019广东梅州月考）设6 c均为正数，满足a-2b+3c=0.则齐的最小值是 t"+3c b2 a29c2+6ac6</c4-6t/c r _ . r【答案】3 V：a-2h3c=O. :.b=-9 :一乔一2 % 7 当且仅当 “=3r 时 取 “="【知识梳理】6、用基本不等式求实际应用题的三个注意点（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.（3）在求函数的最值时，一定要在定艾域（使实际问题有意艾的自变董的取值范围）内求解.【考点精炼】考点四、基本不等式的实际应用例4、（201

8、9-山东聊城月考）某化工企业2018年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备 每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一左的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化， 以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y（单位：万元).用x表示y：(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要 重新更换新的污水处理设备.(1)由题意得，=100+0.5x4-2+4+6+2xx即 y=x+l5(xGN')I(2)由基本不等式得：=卄芋+1.522、/x晋+1.5=21.5,1 AA当且仅当X=即x=10时取等号.故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.练习、(2018-四川成都期末)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建适一间 室内面积为900 n*的矩形温室，在温室内划岀三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之 间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 n】宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内 墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为班单位：m),三块种植植物的矩形区域的总而积为S(单 位：m2).求S关于x的函数关系式;(2)求S的最大