2021届高三高考模拟专家卷数学(1)

1、2021届高三高考模拟专家卷数学(1) 2021年江苏高考数学模拟试题（一） 数学 必做题部分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位 置上 1已知集合a 0,1 ，集合b 1,0,x , 且a b，则实数x的值为 1答案：1，解析：依据子集的定义知x的值为1 2已知复数(1 i) (1 bi)为纯虚数，则实数b的值为 2答案：1，解析：(1 i) (1 bi) (1 b) (1 b)i ， (1 i) (1 bi)是纯虚数， 1 b 0，且1 b 0 ， b 1 3一个算法的流程图如下图所示，则输出s的结果为 3答案：11，解析：第一次循环后，y 3，

2、其次次循环后，y 5，第三次循环后，y 7， ，所以输出y 11 4如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分状况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是a,b，则a b 4答案：57.5，解析：由茎叶图知甲的中位数为a 32，乙的中位数为 a 25.5， a b 57.5 5一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，登记编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 5 ，解析：设“编号不相同”为大事b，则“编号相同”为其对立大事b，大事6 61 ，（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），p(b) b包含的基本领件为（1

3、，1） 366 155 所以 p(b) 1 p(b) 1 ，编号不同的概率为 666 5答案： 6在abc中，角a，b，c所对边分别为a，b，c，且1 为 6答案： tana2c ，则角a的大小 tanbb 2sin 3 ，解析：1 taanc2absinccos ，即 1 tanbbsinbcosasinb2sin sibn acosasbinccos ， sibnacosbsin sin(a b)2sinc1， cosa 0 a ，a sinbcosasinb32 7已知质点p在半径为10cm 10,0)为起始点，记点p在y轴上的射影为m，则10 是1rad/s，设a( 点m的速度是 cm

4、/s tin7答案：10，解析：运动ts后，p(10cots,10s则m的位s(t) 10sint， v s 10cost，则10 秒时点m的速度是10cm/s瞬时变化率就是 导数是解题的关键 x2y2 8如图，设椭圆2 2 1(a b 0)长轴为ab，短轴为cd，e是椭圆弧 ab ek el bd上的一点，ae交cd于k，ce交ab于l，则 的值 akcl 为 . 8答案：1，解析：利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比，将线段之比转化为坐标的肯定值之比，体现坐标法解决问题的思想.如图所示，设点e(x0,y0)，过点e分别向x、y轴引垂线，垂足分别为n、m，由mkeoka，故

5、2 2 22 ekmex0 ，同akaoa 2222 x0y0x0y0ely0 ek el 2 2，又点e(x0,y0)在椭圆上，故有2 2 1，理，则 abclbb ak cl a ek el 即 1. akcl 9各项均为正数的等比数列 22 an 满意a1a7 4,a 6 ，若函数8 f(x) a1x a2x2 a3x3 为 a10x10的导数为 f (x)，则 1f ()2 的值 55 ，解析： 由等比数列的性质知a42 a1a7 4，又由于各项均为正数，所以4 1 ，所以an 2n 3，又a4 2由于a6 8，所以q 2,a1 4 11n 19n 1 x nax n，其通项公式为，将

6、代入得f (x )1a 2a x 10axnaxn210n 24 1155 所以f () (1 2 10) 244 9答案： 10已知 abc的三边a,b,c满意1 c 3 b 4 a 9，则 abc的面积s最大值为 10答案：6，解析： s 时，等号取得， 即当a 5,b 4,c 3时， abc的面积s的最大值为6 11用x表示不超过x的最大整数已知f(x) x x的定义域为 1,1)，则函数f(x)的值域为 11答案： 2, 1)0,1)，解析：依据x的定义分类争论当x 1,0)时，y x 1， 11 bcsina 3 4 sin90 6，当b 4,c 3,a2 b2 c222 2 y 1

7、；0,1)当x 时，y x，0 y 1；所以函数f(x)的值域为 2, 1)0,1) 12已知点g、h分别为 abc的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若ac 4,ab 6，则hg bc的值为 12答案： 201 hg bc (ag ah) bc ag bc (ac ab) (ac ab) ，解析： 3322120 (ac ab) 另解：留意到题中的 abc外形不确定，因此可取特别情形33 acb 90，则点h即为点a，由此可快速得到答案 x2y213设x,y是正实数，且x y 1，则的最小值是 x 2y 1 13答案： 1 ，解析：设x 2 s，y 1 t，则s t 4

8、4 4141x2y2(s 2)2(t 1)2 (s 4 ) (t 2 ) (s t) ( ) 6 所以= stststx 2y 1414114114ts9 ( ) 2由于 ( )(s t) ( 5) ，等号当且stst4st4st4 214ts84x2y2 ,s t 4取得，s ,t ，即当且仅当x ,y 时，仅当的取 33st33x 2y 1 得最小值 1 4 14在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中，若点p是棱上一点，则满意pa pc1 2的点p的个数为 14解析：方法1：利用椭圆的定义一方面点p在以a,c1为焦点，长轴长为2的椭圆上；另一方面，p可能在ab，ad，aa1，c1b

9、1，c1d1，c1c上，或者在 bb1,dd1,cd,a1b1,bc,a1d1上 由于ba bc1 1 2，故点b在以a,c为焦点，长轴长为2的椭圆外，所以椭圆必与线段ab相交，同理在ad，aa1，c1b1，c1d1，c1c上各有一点满意条件 又若点p在bb 1上，则pa pc1 2 p故bb1上不存在满意条件的点p，同理dd1,cd,a 1b1,bc,a1d1上不存在满意条件的点 故满意题设条件的点p的个数为6 方法2：若p在ab上，设ap x， 有pa pc1 x 2,解得x 故ab上有一点p（ab的中点）满意条件 同理在ad，aa1，c1b1，c1d1，c1c上各有一点满意条件 又若点p

10、在bb 1上，则pa pc1 2 1 2 p故bb1上不存在满意条件的点p，同理dd1,cd,a 1b1,bc,a1d1上不存在满意条件的点 故满意题设条件的点p的个数为6 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） bc 3, 15（本小题满分14分）如图2，点p在 abc内，ab cp 2, p b ，记 b （1）试用 表示ap的长； （2）求四边形abcp的面积的最大值，并求出此时 的值 15解：（1）abc与apc中，由余弦定理得，ac2 22 32 2 2 3cos ， ac2 ap2 22 2 ap 2cos ， 由得ap2 4apcos 1

11、2cos 9 0， 0， ，解得ap 3 4cos ； 0， （2）s s abc s apc 1 2 3sin 1 2 apsin , 0，由（1）得s 4sin cos 2sin2 ， ，所以当 时，smax 2 4 16（本小题满分14分）已知pa 菱形abcd所在平面，点e、f分别为线段bc、pa的中点 （1）求证：bd pc； （2）求证：bf平面pde 16证明：（1） pa 平面abcd，bd 平面abcd， pa bd， 又 abcd是菱形， ac bd， 又pa,ac 平面pac，paac a， bd 平面pac， 又pc 平面pac， bd pc （2）取线段pd的中点g，

12、连结eg,fg， 则fgad，且fg 11 ad，又bead，且be ad， 22 fgbe，fg be， 四边形begf是平行四边形， bfeg， 又bf 平面pde，eg 平面pde， bf平面pde 17（ 本小题满分14分） 某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润 y2=cx，其中m,a,b,c都为常数如y1、y2万元，利润曲线分别为c1：y1=m ax b，c2： 图所示： （1）分别求函数y1、y2的解析式；高 考 资 源 网 （2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值 （可能要用的数ln2 0.7） 17解（1）由函数y1=m a

13、x b过点(0,0),(2, 525 ),(4,)可得 1616 m b 0 a 2 5x555 2 y 2 ， 可得，m a b b 1 48481648 255 4 m a b m 1648 777 x 由函数y2=cx过点(3,)可得c ， y2= 12412 （2）设该商场经销甲商品投入x万元，乙商品投入12 x万元，该商场所获利润为y万元 则y y1 y2 y 5x5757331 2 (12 x) 2x x 484812481248 5x757777 2ln2 2x 2x 48124810129612 令y 0可得x 3，（11分）y 在(0,3)单调递增， 当x (0,3),y 0

14、,y在(0,3)单调递减，当x (3, )，y 0,y在(3, )单调递增， 当x 3时，利润y有最小值 287 48287 48 2 2 答：该商场所获利润的最小值 18（本小题满分16分）已知圆c1:(x 1) y 1和圆c2:(x 4)2 y2 4 （1）过圆心c1作倾斜角为 的直线l交圆c2于a,b两点，且a为c1b的中点，求sin ； （2）过点p(m,1)引圆c2的两条割线l1和l2，直线l1和l2被圆c2截得的弦的中点分别为 m,n.试问过点p,m,n,c2的圆是否过定点（异于点c2）？若过定点，求出该定点；若 不过定点，说明理由； （3）过圆c2上任一点q(x0,y0)作圆c1

15、的两条切线，设两切线分别与y轴交于点s和t，求线段st长度的取值范围 18解：（1）设直线l的方程为y k(x 1)，则圆心c2到直线l 的距离d 设ab的中点为r ，则ar 12ab 13c1r 则d2 118，所以在rt ccrd1rc2中，sin 2c 1c2520 （2）依题意，过点p,m,n,c2的圆即为以pc2为直径的圆， 所以(x 4)(x m) (y 1)(y 0) 0，即x2 (m 4)x 4m y2 y 0 整理成关于实数m的等式(4 x)m x2 4x y2 y 0恒成立 则 4 x 0 x 4 x 4 x2 4x y2 y 0，所以 y 0或 y 1 即存在定点(4,1

16、). （3）设过q(x0,y0)的直线与圆c1切线， 则d 1，(k kx20 y0) 1 k2， 整理成关于k的方程(x20 2x20)k (2y0 2x0y0)k y20 1 0， （） 判别式 (2y20 2x0y0) 4(y20 1)(x20 2x0) 4x20 4y20 8x0， 所以k 00直线y y0 k(x x0)与y轴的交点为(0,y0 kx0)， 不妨设s(0,y0 k1x0)，t(0,y0 k2x0)，则st |k2 k1|x0 而k1,k2是（）方程的两根， 即 则st |k2 k1|x0 (x0 4)2 y02 4， 0 所以st 000 t(t ，则st 5t 2

17、16 tt t 考察关于t 的函数f(t) t 16t (t 2,，函数f(t)在区间 2.4 是单调递减，在区 间 4,上单调递增，所以(f(t)max 10，(f(t)min 8 所以st 4 19（本小题满分16分）数列 an 满意 a1 0,a2 2,an 2 (1 cos2 （1）求a3,a4,a5,a6； （2）设sk a1 a3 （3）设wk n n )an 4sin2,n 1,2,3, , 22 a2k 1，tk a2 a4 a2k，分别求sk,tk关于k的表达式； 2sk ，求使wk 1的全部k的值，并说明理由 2 tk 2 19解：（1）a1 0,a2 2，a3 (1 co

18、s 2 )a1 4sin2 2 4， 2 2 3 3 )a2 4sin2 4，a5 (1 cos2)a3 4sin2 8， 22224 4 a6 (1 cos2)a4 4sin2 8 22a4 (1 cos2 （2）当n 2k 1(k n)时， * a2k 1 (1 cos2 2k 12k 1 )a2k 1 4sin2 a2k 1 4， 22 a2k 1 是以0为首项，4为公差的等差数列，则a2k 1 4(k 1)， 当n 2k(k n)时， * a2k 2 (1 cos2 2k2k )a2k 4sin2 2a2k， 22 a2k 是以2为首项，2为公比的等比数列，则a2k 2k， 2(n 1

19、),n 2k 1(k n*) an 的通项公式为an n *2 2,n 2k(k n) sk a1 a3 a2k 1 0 4 4(k 1) 2k(k 1)， tk a2 a4 a2k 2 22 2k 2k 1 2， （3）wk 2sk4k(k 1)k(k 1)， 2 tk2k 12k 1 33515 ,w4 ,w5 ,w6 22416 于是w1 0,w2 1,w3 下面证明：当k 6时，wk 1 事实上，当k 6时，wk 1 wk (k 1)kk(k 1)k(3 k) 0，即wk 1 wk， kk 1k 222 又w6 1，当k 6时，wk 1 故满意wk 1的k的值为3,4,5 20（本题满

20、分16分）已知函数f(x) ax |x a|（a r） （1）是否存在实数a，使得函数f(x)在( ,0上单调递减，在0, )上单调递增？请说 明理由； （2）若0 a 1，求函数f(x)在 1,1上的最大值； （3）求证：对任意的实数a，存在x0，恒有f(x0) 0，并求出符合该特征的x0的取值范围 3 ax3 x a 20解：（1）当a 0时，f(x) 3 ax x a 3 (x a)(x a) ， 3 令g(x) ax x a（x a），h(x) ax x a（x a）， g (x) 3ax2 1，h (x) 3ax2 1， 无论a 0还是a 0均不符合要求； ax3 x a （2）若0

21、 a 1，f(x) 3 ax x a (x a)(x a) ， 当x a时，f (x) 3ax2 1，f (x) 3ax 1 0 x 当x a时，f (x) 3ax2 1， 2 1， 3a 当0 a 11 ， 1，此时f(x)在 1,a上单调减，在a,1上单调 33a 增，则在 1,1上f(x)max f( 1) f(1) 1； 当 1111 a ，此时 a，此时f(x)在 1, 上单调增， 333a3a 1 ,a上单调减，在a,1上单调增， 3a 1 ) f( 1) f(1)， 3a 121) a ； 3a33a 在 由于f( 则在 1,1上f(x)max f( 当111 a 1，此时 a，

22、则此时f(x)在 1, 上单调增， 33a3a111 ,上单调减，在 ,a上单调增，在a,1上单调增， 3a3a3a 121 ) a ； 3a33a 在 则在 1,1上f(x)max f( 综合有 当0 a 1 时，f(x)max 1； 3 当 2123a1 a 1时，f(x)max a a 333a9a （3） 当a 0时，f(x) |x|，方程f(x) |x| 0只有0根； 3 当a 0时，方程f(x) ax |x a| 0没有0根和正根， 3 当a 0，x 0时，f(x) ax x a， 3 由方程f(x) ax x a 0得a x ， 3 x 1 x 0 x则 x3 1 0，得x 1；

23、 a 3 0 x 1 当a 0时，方程f(x) ax3 |x a| 0没有0根和负根， 当a 0，x 0时，f(x) ax3 x a， 由方程f(x) ax3 x a 0得a x ， x3 1 x 0 x则 x3 1 0，得x 1； a 3 0 x 1 综上可知，对任意的实数a，存在x0 1,0) (0,1，恒有f(x0) 0 数学附加题 21【选做题】在a、b、c、d四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 a选修41：几何证明选讲 如图，pa切o于点a，d为pa的中点，过点d引 割线交o于b、c两点求证: dpb dcp

24、a证明：由于pa与圆相切于a， 所以da2 db dc， 由于d为pa中点，所以dp=da， 所以dp2=dbdc，即pd db dcpd 由于 bdp pdc， 所以 bdp pdc， 所以 dpb dcp b选修42：矩阵与变换 1 0 4 3 b 已知 4 1 , 求矩阵b. 1 2 b a b 1 0 a ,b b解：设b 则 1 2 a 2c b 2d ， c d a 4, a 4, b 3, b 3, 4 3 解得 故b 故 4 2 . a 2c 4,c 4, b 2d 1, d 2. p c选修44：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线c的极坐标方 x , 程为 2cos2 3 2sin2 3，直线l的参数方程为 ( t为参数，tr )试在曲线c y 1 t 上求一点m，使它到直线l的距离最大 x2 c解：曲线c的一般方程是 y2 1 3 直线l的一般方程是x 0 设点m的直角坐标是 ,sin )，则点m到直线l 的距离是 d 由于 )，所以 4 3 当sin( ) 1，即 2k (k z)，即 2k (k z)时，d 取得最大值 4424 综上，点m的极坐标为7 时，该点到直线l的距离)或点m的直角坐标为(6 最大 d选修45：不等式选讲 设函数f(x) （1）当a 5时，求函数f(x)的定义域； （2）若函数f(x