2021年北京大学自主招生数学试题

1、2021年北京大学自主招生数学试题 x 2 - 2bx + b 2 a 2 + b 2 + = 2 北京高校 2021 年自主招生数学试题 1. 若 a ,b r + 范围. + 的 x 的取值 2. 复数 z 1 、 z 2 满意| z 1 - 3i |= 2 ， | z 2 - 8 |= 1 ，则由复数 z 1 - z 2 围成的面积是（ ） a. 4 b. 8 c. 10 d. 以上全错 3. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中取出 4 个不同的数，分别记为 a ，b ， c ， d ，求 a + b 和c + d 奇偶性相同的概率. 4. 正方形 abcd ，k 为 bcd 内

2、一点，满意 kdb = kbc = 10? ，则kad =（ ） a. 45 b. 60 c. 70 d. 以上全错 5. 设 x , y z ，若(x 2 + x +1)2 + ( y 2 + y +1)2 为完全平方数，则数对(x , y ) 有（ ）组 a. 0 b. 1 c. 无穷多 d. 以上全错 6. 方程sin x = x 13 根的个数为（ ） a. 3 个 b. 7 个 c. 1 个 d. 以上全错 2 7. 设 p 为椭圆 x y 1上一点， f 、 f 为椭圆的左右焦点， o 为 pf f 的内心，若 1 2 1 2 25 16 内切圆半径为 1，求op 的长度. 8.

3、已知数列a n 满意： a k +1 + a k = 4k + 3（ k = 1, 2,? ? ?），求 a 2 + a 2021 . x 2 - 2ax + a 2 x 2 - 2ax + a 2 x 2 - 2bx + b 2 (x - 2 a )2 + (0 - 2 a )2 2 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 2ab ? a 9 参考答案 1. p = + = + 上式的几何意义为：平面直角坐标系 xoy 中， x 轴上一动点到两个动点 a ( 2 a , 2 a ) 、 2 2 b ( 2 b , 2 b ) 的距离之和，设 b 关于 x 轴的对称点为 b ，则 p ，

4、2 2 而 p ，此时 x 为直线 b a 与 x 轴交点的横坐标， 则l : y = b + a (x - 2 b ) + 2 b ，令 y = 0 ，解得： x = . b a b - a 2 2 a + b 2. 设 z = x + y i ， z = x + y i ，由题意可知： x 2 + ( y - 3)2 = 4 ， (x - 8)2 + y 2 = 1 ， 1 1 1 ?x 1 = 2cos 2 2 2 1 1 2 2 ?x 2 = cos + 8 ?x = x 1 - x 2 令 ? y ， = 2sin + 3 y = sin ， ? y = y - y ， ? 1 ?

5、2 ? 1 2 则(x + 8)2 + ( y - 3)2 = 5 - 4cos(- ) ， 复数 z 1 - z 2 围成得面积为一个圆环的面积 s = (9 -1)= 8，选 b. a 4 + 2a 2 a 2 + a 4 + 4c 1c 1c 1c 1 11 3. p = 4 4 5 5 5 4 4 3 = . 4 21 4. 设正方形边长为 1， 在 bkd 中，由正弦定理可知： dk = sin 35? 2 sin135? ，则 dk = 2sin 35?， 在 adk 中，由余弦定理可知： ak 2 = 1+ 4sin 2 35? - 4sin 35?cos 55? = 1 ， 则

6、 dak 为等腰三角形， kad = 70? ，选 c. 5. 令 a = x 2 + x + 1， b = y 2 + y + 1， 情形一：当 x 为奇数时，则 a 为奇数， 情形二：当 x 为偶数时，则 a 也为奇数， 同理可得： b 也为奇数，而两个奇数的平方和肯定不会是完全平方数， 综上：选 a. (x - 2 b )2 + (0 - 2 b )2 2 2 5 5 6. 令 f (x ) = sin x ， g (x ) = x 的图像可知，只有 7 个根，选 b. 13 7. 设内切圆半径为 r ， pf f 的面积为 s ，f pf = ， r = 2s ，解得： s = 8 ， 1 2 1 2 2a + 2c 又 s = b 2 tan ，解得： tan = 1 ，则sin = ， ip = r = . 2 2 2 2 5 sin 2 8. a k +1 + a k = 4k + 3，则 a n +2 - a n = 4， 情形一：当 n 为偶数时，则 a n = a 2 + 4( n - 1) = 2n + a 2 2 n + 1 - 4 ， 情形二：当 n 为奇数时，