2021年高考数学试题及答案(江苏卷)

1、2021年高考数学试题及答案(江苏卷) 2021年全国各地高考数学试题与解答 2021年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学试题 第卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1假如函数y ax2 bx a的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aob平面上的区 域（不包含边界）为 a b c d d8 247 （ ） 2抛物线y ax2的准线方程是y=2，则a的值为 a 18 （ ） 2 b ,0),cosx 45 18 c8 3已知x ( a 724 ,则tan2x 724 （ ） 247 b

2、c d 4设函数 2 x 1,x 0, f(x) 1若f(x0) 1,则 2 x 0. x, x0的取值范围是 （ ） a（1，1） c（，2） （0，+） b（1，+） d（，1）（1，+） （ ） 5o是平面上肯定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点p满意 op oa a外心 x 1x 1 0, ),则p的轨迹肯定通过abc的 b内心 c重心 d垂心 （ ） 6函数y ln,x (1, )的反函数为 2021年全国各地高考数学试题与解答 ay e 1e 1e 1e 1 xxx x ,x (0, ) by e 1e 1e 1e 1 xxx x ,x (0, ) cy ,x ( ,0)

3、dy ,x ( ,0) 7棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） a a 3 3 b a 3 4 c a 3 6 d a 3 12 8设a 0,f(x) ax2 bx c,曲线y f(x)在点p(x0,f(x0)处切线的倾斜角的取值范 围为0, 41a ，则p到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为 d0,| 1438 b 12a （ ） | a0, b0, 12a c0,| b2a | 9已知方程(x2 2x m)(x2 2x n) 0的四个根组成一个首项为 |mn|= a1 b 34 的等差数列，则 （ ） c 12 d 10已知双曲线中心在原点且一个

4、焦点为f（7，0）直线y=x1与其相交于m、n两点， mn中点的横坐标为 x 2 23 ，则此双曲线的方程是 x 2 y 2 （ ） x 2 a 3 y 2 4 1 b 4 y 2 3 1 c x 2 5 2 1 d 2 y 2 5 1 11已知长方形四个顶点a（0，0），b（2，0），c（2，1）和d（0，1）.一质点从ab的中 点p0沿与ab夹角为的方向射到bc上的点p1后，依次反射到cd、da和ab上的点p2、p3和p4（入射角等于反射角）.设p4的坐标为（x4，0）.若1 x42，则tan的取 值范围是 （ ） a(,1) 31 b(,) 33 12 c(,) 52 21 d(,) 5

5、3 22 12一个四周体的全部棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） a3 b4 c 33 d6 第卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 2021年全国各地高考数学试题与解答 13(x2 12x )绽开式中x的系数是 . 9 9 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的 产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆. 15某城市在中心广场建筑一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不

6、能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答） 16对于四周体abcd，给出下列四个命题 若ab=ac，bd=cd，则bcad. 若ab=cd，ac=bd，则bcad. 若abac，bdcd，则bcad. 若abcd，bdac，则bcad. 其中真命题的序号是 .（写出全部真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18（本小题满分12分） 已知函数f

7、(x) sin( x )( 0,0 )上r上的偶函数，其图象关于点m ( 3 4,0)对 2021年全国各地高考数学试题与解答 称，且在区间0, 2 上是单调函数，求 和的值. 19（本小题满分12分） 如图，直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb=90，侧棱aa1=2， d、e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是abd的垂心g. （）求a1b与平面abd所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 2021年全国各地高考数学试题与解答 （）求点a1到平面aed的距离. 20（本小题满分12分） 已知常数a 0，向量c (0,a),i (1,0).经过原点o以

8、c i为方向向量的直线与经 过定点a（0，a）以i 2 c为方向向量的直线相交于点p，其中 r.试问：是否存在 两个定点e、f，使得|pe|+|pf|为定值.若存在，求出e、f的坐标；若不存在，说明理由 . 2021年全国各地高考数学试题与解答 21（本小题满分12分） 已知a 0,n为正整数. （）设y (x a)n,证明y n(x a)n 1； 2021年全国各地高考数学试题与解答 （）设fn(x) xn (x a)n,对任意n a,证明fn 1 (n 1) (n 1)fn (n). 22（本小题满分14分） 设a 0,如图，已知直线l:y ax及曲线c：y x，c上的点q1的横坐标为a1

9、 （0 a1 a）.从c上的点q（作直线平行于x轴，交直线l于点pn 1，再从点pn 1nn1） 2 2021年全国各地高考数学试题与解答 作直线平行于y轴，交曲线c于点qn+1.qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数列 an . （）试求an 1与an的关系，并求 an 的通项公式； （）当a 1,a1 12 n 时，证明 (ak ak 1)ak 2 k 1 n 132 ； （）当a=1时，证明 (ak ak 1)ak 2 k 1 13 . 2021年一般高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题（江苏卷）答案 2021年全国各地高考数学试题与解答 一、选择题：本题考查基本学问和基本运算，每小

10、题5分，满分60分. 1c 2b 3d 4d 5b 6b 7c 8b 9c 10d 11c 12a 二、填空题：本题考查基本学问和基本运算，每小题4分，满分16分. 13 212 146,30,10 15120 16 三、解答题 17本小题要主考查相互独立大事概率的计算，运用数学学问解决问题的力量，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的大事分别为a、b和c. （）p(a) 0.90,p(b) p(c) 0.95， p(a) 0.10,p(b) p(c) 0.50. 由于大事a，b，c相互独立，恰有一件不合格的概率为 p(a b c) p(a b c) p(a b c) p(a)

11、 p(b) p(c) p(a) p(b) p(c) p(a) p(b) p(c) 2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95 0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 p(a b c) p(a b c) p(a b c) p(a b c) 0.90 0.052 2 0.10 0.05 0.95 0.10 0.052 0.012 解法二：三件产品都合格的概率为 p(a b c) p(a) p(b) p(c) 0.90 0.95 2 0.812 由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 1 p(a b c

12、) 0.176 1 (0.812 0.176) 0.012. 答：至少有两件不合的概率为0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本学问，以及分析问题和推理计算力量，满12分分。 解：由f(x)是偶函数,得f( x) f(x), 即sin( x ) sin( x ),所以 cos sin x cos sin x 对任意x都成立,且 0,所以得cos 0. 2021年全国各地高考数学试题与解答 依题设0 ,所以解得 由f(x)的图象关于点取x 0,得f( f( 3 4 3 4 2 .3 4 x) f(3 4 , 3 4 x), m对称,得f(3 42 ) sin( 2

13、 ) cos , ) sin( 3 4 ) cos3 4 3 4 cos 3 423 0,又 0,得 2 k ,k 1,2,3, , (2k 1),k 0,1,2, . 23 ,f(x) sin( 23x 当k 0时, 2 )在0, 2 上是减函数; 当k 1时, 2,f(x) sin(2x 当k 0时, 103 2 )在0, 2 上是减函数; ,f(x) sin( x 23 或 2. 2 )在0, 2 上不是单调函数; 所以,综合得 19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础学问，同时考查空 间想象力量和推理运算力量. 满分12分. 解法一：（）解：连结bg，则bg是be在面abd的射影，即e

14、bg是a1b与平面abd所成的角. 设f为ab中点，连结ef、fc， d,e分别是cc1,a1b的中点,又dc 平面abc, cdef为矩形连结de,g是 adb的重心, g df.在直角三角形ef 2 efd中 fg fd 13 fd, ef 1, fd 1 32 63. 2 . 于是ed 2,eg fc cd sin ebg 2, ab 22,a1b 2,eb egeb 63 13 23.23 . . a1b与平面abd所成的角是 arcsin （）连结a1d，有va1 aed vd aa1e ed ab,ed ef,又ef ab f, ed 平面a1ab, 设a1到平面aed的距离为h，

15、 则s aed h s a1ab ed 又s a1ae 12 s a1ab 14 a1a ab 2,s aed 12 ae ed 62. 2021年全国各地高考数学试题与解答 h 2 62 2 263 .即a1到平面aed的距离为 263 . 解法二：（）连结bg，则bg是be在面abd的射影，即a1bg是a1b与平abd所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为o，设ca=2a， 则a(2a,0,0),b(0,2a,0),d(0,0,1) a1(2a,0,2),e(a,a,1),g( ce ( 2a2a1 ,).333 ge bd 23a 2 aa2 ,),bd (0, 2a,1).333

16、23, 41,).33 14/323 1373. 23 0.解得a 1. ba1 (2, 2,2),bg ( cos a1bg 1 21 73 . a1b与平面abd所成角是arccos （）由（）有a(2,0,0)a1(2,0,2),e(1,1,1),d(0,0,1) ae ed ( 1,1,1) ( 1, 1,0) 0,aa1 ed (0,0,2) ( 1, 1,0) 0, ed 平面aa1e,又ed 平面aed. （）当a 2时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点e和f； 2 （）当0 a 22 22 时，方程表示椭圆，焦点e( 12 12 a, 2 a2 )和f( 12 12 2 a

17、, 2 a2 ) （）当a 定点. 时,方程也表示椭圆，焦点e(0,(a 2 1 a 2 12 )和f(0, 12 (a a 12 )为合乎题意的两个 （21）本小题主要考查导数、不等式证明等学问，考查综合运用所数学学问解决问题的力量，满分12分. n 证明：（）由于(x a) n c k 0 k n ( a) n k x， k n n kn 所以y kc k 0 ( a) n k x k 1 nc k 0 k 1n 1 ( a) n k x k 1 n(x a) n 1 . （）对函数fn(x) x n (x a)求导数: n 2021年全国各地高考数学试题与解答 fn(x) nx n 1

18、n(x a) n 1 , n 1n 1 所以fn(n) nn (n a). 当x a 0时,fn(x) 0. 当x a时,fn(x) x (x a)是关于x的增函数.因此,当n a时,(n 1) (n 1 a) n n n n n n n (n a) nnnn fn 1(n 1) (n 1)(n 1) (n 1 a) (n 1)(n (n a) (n 1)(n n(n a) n n 1 ) (n 1)fn(n). 即对任意n a,fn 1(n 1) (n 1)fn(n). 22本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础学问，综合运用数学学问分析问题和解决问题的力量， 满分14分. （）解：qn(an 1,an),pn 1( an 1 2 1a an,an),qn 1( 2 22 1a an, 2 1a1 2 an). 4 1a an, an 2 1a an 1 211221 22 ( an 2) ()an 2 aaa 211 2111 2 2223 22 ()( an 3) ()an 2 aaa n 2n 1n 1an 1an 111n 1 ()1 2 2a12 ()2 1a12 a(1)2， an a(1)2. aaaa （）证明：由a=1知an 1 an, a1 当k