五年级数学思维拓展约数与倍数第四讲

1、4 / 4【五年级数学思维拓展】趣味入门一勇闯智慧岛（一）约数与倍数（4）学习目标了解约数与倍数1、认识什么是约数，什么是倍数2、会利用公式和技巧解题本节例题1 .已知两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,求这两个自然数。2 .大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长 54厘米，爸爸每步长 72厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下 60个脚印。求圆形花圃的周长？3 .加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成1

2、5个零件。要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？（假设这三道工序可以同时进行）（即是该课程的课后测试）1 .在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成 15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？2 .已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？3 . a>b>c是3个整数。a, b, c的最大公约数是15; a, b的最大公约数是 75; a, b的 最小公倍数是450; b, c的最小公倍数是1050。那么c是多少？4 .有

3、两个自然数，它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693,这两个自然数的差是？5. 10个不同的非零自然数的和是 1001,则它们的最大公约数的最大值是多少？参考答案,1 .从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大1;而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次。所以本题的关键在于计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置。把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用求公倍数的个数的方法计算出重合的刻度线的条数。2 0,12,1560

4、,先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种占5个单位，第三种占4个单位，分点共有 9 11 14 34 (个)。3 ,630,故在30单位处二种刻度重合 1次；4,520 ,故在20、40单位处二种刻度重合2次；4,612 ,故在12、24、36、48单位处二种刻度重合 4次；4,5,660,所以没有三种刻度线重叠在一起的位置.所以共有不重合刻度34 1 2 4 27个。从而分成28段。4 .答案：设 a b ,有 a b 120,又设(a, b) d , a pd , b qd , (p,q) 1 ,且 p q , 则a,b pqd ,有 pqd

5、105d ,所以 pq 105 3 5 7。因为 a b (p q)d 120 ,所以 (p q)是120的约数。若p 105 , q 1 ,则p q 104 ,不符合；若p35, q3,则pq32 ,不符合；若p21 , q5,则pq16 ,不符合；若p 15, q 7 ,则p q 8 ,符合条件。由（p q）d 8d 120,得 d 15,从而 a、b 中较大的数 a pd 15 15 225。a 450 八5 .由（a, b） =75=3 x 5 , a , b=450= 3 x 2X 5 =75X3X2,又 a > b 所以或b 75a 2252b , c=1050=2 X 3X

6、 52 x 7。当b 150a 450b 75时有为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，a 225 .Xc=15X 1050,得c=210,但是c>b,不满足；当时，有b 150a则c=105, c< b,满足，即 bc225150为满足条件的唯一解。那么105450,75, c 75,c15,因b,c 75,c 1050所以（75, c） X75 , c=75225150, c 75,c15b,c 150,c1050c是 105。6 .两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公约数与最小公倍数的和的约数，也就是297

7、和693的公约数，也就是297,69399的约数。99的约数共有6个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐。设这两个数分别为 ad和bd,其中a,b 1, a b, d是它们的最大公约数.那么a b d 297, d abd ab 1 d 693,相比得ab_J 693 7 ,所以 3ab 3 7a 7b,即 9ab 21a 21b 9 0,可得a b 297 33a 7 3b 740 o由于3a 7和3b 7都是40的约数且除以3余2,只能为3a723a7 5a3a4或者，可得 或 。3b7203b7 8b9b5 a 3 a4由于a b d 297 ,所以a b是297的约数，不符合，所以只能为，b 9b 5此时d 2974 533 ,这两个数的差为 bd ad b a d 33。7 .设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那