2021挑战中考数学压轴题2.1由比例线段产生的函数关系问题VIP

1、2021挑战中考数学压轴题2.1由比例线段产生的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2021年宁波市中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a的坐标为(0,4)，点b的坐标为(4,0)，点c的坐标为(4,0)，点p在射线ab上运动，连结cp与y轴交于点d，连结bd过p、d、b三点作 q，与y轴的另一个交点为e，延长dq交q于f，连结ef、bf （1）求直线ab的函数解析式； （2）当点p在线段ab（不包括a、b两点）上时 求证：bdeadp； 设dex，dfy，恳求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点p在运动过程中，是否存在以b、d、f为顶点的直

2、角三 角形，满意两条直角边之比为21？假如存在，求出此时点p的坐标；假如不存 在，请说明理由 动感体验 请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点p在射线ab上运动，可以体验到，def保持等腰直角三角形的外形，y是x的一次函数观看bdbf的度量值，可以体验到，bdbf可以等于2，也可以等于0.5 请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点p在射线ab上运动，可以体验到，def保持等腰直角三角形的外形观看bdbf的度量值，可以体验到，bdbf可以等于2，也可以等于0.5 答案 （1）直线ab的函数解析式为yx4 （2）如图2，bdecdeadp； 如图3，adpdepdpe，如图4，bded

3、bpa， 由于depdbp，所以dpea45 所以dfedpe45因此def 是等腰直角三角形于是得到y 图2 图3 图4 （3）如图5，当bdbf21时，p(2,2)思路如下： 由dmbbnf，知bn 1dm 2 2 2 3设od2m，fnm，由deef，可得2m24m解得m 因此d(0,)再由直线cd与直线ab求得交点p(2,2) 如图6，当bdbf12时，p(8,4)思路同上 43 图5 图6 例2 2021年上海市徐汇区中考模拟第25题 在rtabc中，c90，ac6，sinb 3，b的半径长为1，b交边cb于点p，点o是边ab上的动5 点 （1）如图1，将b绕点p旋转180得到m，请

4、推断m与直线ab的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当omp是等腰三角形时，求oa的长； （3）如图3，点n是边bc上的动点，假如以nb为半径的n和以oa为半径的o外切，设nby，oax，求y关于x的函数关系式及定义域 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点o在ab上运动，观看omp的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点o和点p可以落在对边的垂直平分线上，点m不能 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观看三个角度的大小，可得两种等腰的情形点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系 思路点拨 1b的三

5、角比反复用到，留意对应关系，防止错乱 2分三种状况探究等腰omp，各种状况都有各自特别的位置关系，用几何说理的方法比较简洁 3探求y关于x的函数关系式，作obn的边ob上的高，把obn分割为两个具有公共直角边的直角三角形 满分解答 （1） 在rtabc中，ac6，sinb 3， 5 所以ab10，bc8 过点m作mdab，垂足为d 在rtbmd中，bm2，sinb md 3，所以md 6 bm55 因此mdmp，m与直线ab相离 图4 （2）如图4，momdmp，因此不存在momp的状况 如图5，当pmpo时，又由于pbpo，因此bom是直角三角形 在rtbom中，bm2，cosb bo 4，

6、所以bo 8此时oa 42 bm555 如图6，当omop时，设底边mp对应的高为oe 在rtboe中，be3，cosb be 4，所以bo 15此时oa 65 2bo588 图5 图6 （3）如图7，过点n作nfab，垂足为f联结on 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以onxy 在rtbnf中，bny，sinb 3，cosb 4，所以nf 3y，bf 4y 5555 在rtonf中，of ab ao bf 10 x 4y，由勾股定理得on2of2nf2 5 于是得到(x y)2 (10 x 4y)2 (3y)2 55 整理，得y 250 50x定义域为0x5 x 40 图7 图8 考点伸展

7、 第（2）题也可以这样思索： 如图8，在rtbmf中，bm2，mf 6，bf 8 55 在rtomf中，of10 x 8 42 x，所以om2 (42 x)2 (6)2 5555 在rtbpq中，bp1，pq 3，bq 4 55 在rtopq中，of10 x 4 46 x，所以op2 (46 x)2 (3)2 5555 当momp1时，方程(42 x)2 (6)2 1没有实数根 55 当popm1时，解方程(46 x)2 (3)2 1，可得x oa 42 555 当omop时，解方程(42 x)2 (6)2 (46 x)2 (3)2，可得x oa 65 55558 例3 2021年连云港市中考

8、第26题 如图1，甲、乙两人分别从a、b两点同时动身，点o为坐标原点甲沿ao方向、乙沿bo方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达m点，乙到达n点 （1）请说明甲、乙两人到达点o前，mn与ab不行能平行； （2）当t为何值时，omnoba？ （3）甲、乙两人之间的距离为mn的长设smn2，求s与t之间的函数关系式，并 求甲、乙两人之间距离的最小 值 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点n在射线bo上运动，可以体验到，当m、n都在o右侧时，mn与ab不平行当点a落在mnb上时，mnobao，omnoba 请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点n在射线bo

9、上运动，可以体验到，当m、n都在o右侧时，mn与ab不平行当点a落在mnb上时，mnobao，omnobas与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米 答案 （1）当m、n都在o右侧时，om oa 所以 2 4ton6 4t2 1 2t， 1 t， 2ob63omon因此mn与ab不平行 oaob （2）如图2，当m、n都在o右侧时，omnb，不行能omnoba 如图3，当m在o左侧、n在o右侧时，monboa，不行能omnoba onoa如图4，当m、n都在o左侧时，假如omnoba，那么 omob 4t 62所以 解得t2 4t 26 图2 图3 图4 （3

10、）如图2，om 2 4t，oh 1 2t，mh 2t) nh on oh (6 4t) (1 2t) 5 2t 如图3，om 4t 2，oh 2t 1，mht 1) nh on oh (6 4t) (2t 1) 5 2t 如图4，om 4t 2，oh 2t 1，mht 1) nh oh on (2t 1) (4t 6) 5 2t 综合、，s mn2 mh2 nh2 (5 2t)2 16t2 32t 28 16(t 1)2 12 t 1) 所以当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米 2 例4 2021年上海市中考第25题 在rtabc中，acb90，bc30，ab50点p是ab边上任意一点，直

11、线peab，与边ac或bc相交于e点m在线段ap上，点n在线段bp上，emen，sin emp （1）如图1，当点e与点c重合时，求cm的长； （2）如图2，当点e在边ac上时，点e不与点a、c重合，设apx，bny，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若ameenb（ame的顶点a、m、e分别与enb的顶点e、n、b对应），求ap的长 12 13 图1 图2 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点p在ab上运动，从图象中可以看到，y是x的一次函数观看图形和角度的度量值，可以体验到，点e在ac和bc上，各存在一个时刻，ameenb 请打开超级画板文件名“

12、11上海25”，拖动点p在ab上运动，当点e与点c重合时， cm 26点e在边ac上时，y是x的一次函数当ap=42时，三角形相像，且满意顶点对应。 思路点拨 1本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐反复解直角三角形，留意对应关系 2备用图示意了第（3）题要分类争论，点e在bc上的图形画在备用图中 3第（3）题当e在bc上时，重新设bpm可以使得运算简便一些 满分解答 33（1）在rtabc中，bc30，ab50，所以ac40，sin a ，tan a 54 3在rtacp中，cp ac sin a 40 24 5 在rtcmp中，由于sin cmp cp121313 ，所以cm cp 24

13、26 cm131212 （2）在rtaep中，ep ap tan a 在rtemp中，由于sin emp 因此mp 3x 4ep12ep12 ，所以tan emp em13mp555351313313ep x x，em ep x x 12124161212416 5x 16 521于是y bn ab ap np 50 x x 50 x 1616已知emen，peab，所以mpnp 定义域为0x32 513xxamen （3）如图3，当e在ac上时，由，得 menb1321x50 x1616x 解得xap22 如图4，当e在bc上时，设bpm，那么ap50m 4在rtbep中，ep m 3 在rtemp中，mp 5545131313ep m m，em ep 4m m 121239