第五节 可降阶的高阶微分方程

1、第五节 可降阶的高阶微分方程 第五节 可降阶的高阶微分方程y( n) f ( x ) 型的方程 y f ( x, y ) 型的方程y f ( y, y ) 型的方程 小结1 一、 y ( n) f ( x ) 型的方程 特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是自变量x的一个已知函数, 且不含未知函数 y 及其 导数 y . 两边积分 再积分y ( n 1) f ( x )dx c1 y ( n 2 ) f ( x )dx c1 dx c 2 接连积分n次, 得到含有n个任意常数的通解. 3x y e cos x 例 求解方程 解 将方程积分三次, 得 1 3x y e sin x c1

2、 3 1 3x y e cos x c1 x c 2 9 1 3x y e sin x c1 x 2 c 2 x c 3 27 最终得到的就是方程的通解.3 二、 y f ( x, y ) 型的方程dp p . 将p作为新的 解法 设 y p, y dx 则方程变为 p f ( x , p ) 未知函数，假如其通解为 p p( x, c1 ),则由 y p( x, c1 ) 再积分一次, 可求出原方程的通解 特点 方程缺y. y p( x , c1 )dx c 24 3 x 2 y y 1 x 3 例 解方程 解 因方程中不含未知函数y, 令 y p, y p , y x 0 1, y x 0

3、 4 p 1 x p c1 (1 x 3 ) 由初始条件 y x 0 43 y 4 ( 1 x ) 知c1=4, 所以 3 x2 p 代入原方程, 得 p 3 1 x dp 3 x2 3 d x ln p ln( 1 x ) ln c1 3 3 x 2 y y 1 x 3 y x 0 1, y x 0 44 dy 4(1 x 3 )dx y x 4 x c2 再由初始条件 y x 0 1, 知c2 = 1 故所求解为 y x 4x 14 三、y f ( y, y ) 型的方程特点 方程缺自变量x dy p p( y ) p( y( x ) p 解法 设 y dx 2 d p dp d y d

4、p d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p). dy 设它的通解为 y p ( y, c1 ). 分别变量并积分, dy x c2 得通解为 ( y , c1 )7 属y f ( y, y )型 1 y 2 例 求方程 y 的通解. 2y 解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程 dy 2 dp 1 p p 可分别变量方程 dy 2y 2 pdp dy 2 ln( 1 p ) ln y ln c1 2 y 1 p 1 p2 c1 y p c1 y 1dy 即 c1 y 1 dx 可分别变量方程 dy dy dx c1 y

5、1 c1 y 1 dx 2 c1 y 1 x c 2 c1 属y f ( y, y )型例 求方程 yy y 2 0 的通解. d p 解 设 y p, 则 y p , 代入原方程 dy dp y p p 2 0, 即 p( y dp p) 0 dy dy dp dy 由 y p 0, 可得 p c1 y, c1 y dy dx 原方程通解为 y c 2e c1 x 2021年考研数学一, 3分 微分方程 yy y 2 0 满意条件 y x 0 1, 1 2 或 y x 1 y x 1 y x 0 的特解是 2 解 d ( yy ) 0 故 有 yy c1 dx 1 1 1 y y 由y x

6、0 1, y x 0 c1 即 2 2 2 2 y x 可分别变量方程 c2 2 2 1 由y x 0 1 c 2 y 2 x 1 211 四、小结三种类型的可降阶的高阶微分方程解法: 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 思索题 1996年考研数学一, 7分 对x 0, 过曲线 y f ( x )上点 ( x, f ( x )处 1 x 的切线在 y轴上的截距等于 f ( t )dt , x 0 求f ( x )的一般表达式 .解 过曲线 y = f (x)上点( x, f (x)处的切线方程为y f ( x ) f ( x )( x x ) 令x 0, 得切线在 y轴上的截距 1 x y f ( x ) xf ( x ) f ( t )dt x 0 x f (t )dt x f ( x ) xf ( x ) 积分方程013 0 x f ( t )dt x f ( x ) xf ( x ) 积分方程 两边对x求导, 即 xf ( x ) f ( x ) 0 属于y f ( x, y )型可降阶的方程令f ( x ) p( x )且f ( x ) p ( x )代入上式,得 xp ( x ) p( x ) 0 可分别变量方程 xp ( x ) p( x ) 0 可分别变量方程 1 1 分别变量并积分 dp dx p x c1 得 ln p ln x lnc1 ln x c1 c1