2020版高考复习第三章导数及其应用

1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算抓Ma自主学习I1、导数的概念导数，记作f ' (Xo)或 y, | X= °即 f ' (Xo) = Iim 0宝=Iimxf Xo+ X f Xox几何意义：函数f(x)在点Xo处的导数f(xo)的几何意义是曲线yf()在点(xo, f(xo)处的切线斜率.相应x 0地，切线方程为 y f(Xo)= f' (XO)(X X0).(1)函数y= f(x)在X= xo处的导数:定义：f xo+ < 一 f Xoy称函数 y= f(x)在X= Xo处的瞬时变化率Iim= Iim为函数y = f(x)在X= Xo处的x

2、x< o ogx2第1页(共16页)f X + x f X、“口 P 叫函数f(X)的导函数：称函数 f' (X)= IimX为f(X)的导函数.x o2、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) Cf'(x)0f(x) = xn(n Q*)f' (x) = n Xn 1f(x) = Sin Xf' (x) = cos_xf(x) = COS Xf' (x) = Sin-Xf(x) = axf ' (x) = axIn-a(a> 0)f(x)= ef ' (X) = exf(x)= Iogaxf (X) = Xln af(x

3、)= In X, 1 f ' (x)=；3、导数的运算法则(1) f(X) ±(X)' = f' (X) ± ' (X)；(2) f(x)g(x)'= f' (X)g(X)+ f(x)g' (x);fxgxf'XgX fxgX(g(x) o).阴考向题型觌I突破点一导数的运算例11、求下列函数的导数：(I)y= e"ln X；X(2)f(x) = 0(3)y = XCoS x Sin XX 11 X解(1)y' = ex ln X + X .(2)y' = ex(3) y'=X

4、S in X2、若 f(x)= XeX ,则 f =2e .3、已知函数f(x)的导函数为f' (X),且满足f(x) = 2xf' (1)+ In x,则f'=(C )A. eB. 1C. 1D . e 4、f(x) = x(2 018 + In x),若 f' (xo) = 2 019 ,贝U xo 等于(B )A . e2B . 1C. In 2D . e5、已知函数f(x)的导函数为f' (x),且满足关系式f(x)= X2+ 3xf' (2) + In X,则 f' (2)的值等于方法技巧导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式

5、先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幕的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f' (X0), a, b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导突破点二导数的几何意义例2 (求切线方程) “过点A的曲线的切线方程”与“在点 A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者 A 必为切点，前者未必是切点.曲线在某点处的切线， 若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条. 切 线与曲线的公共点不一定只有一个.1、 函数f(X) 2x InX

6、的图象在X 1处的切线方程为( A )A. x y 1 0 B. x y 10C. 2x y 1 0 D. 2x y 1032x y ;02、 曲线y+ Inx在点(IJ(I)J处的切线方程为 23、已知函数 f(x) = X3 4x2+ 5x 4.(1) 求曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；求经过点A(2, 2)的曲线f(x)的切线方程.解(1) . f' (X) = 3X2 8x+ 5, f'=1,又 f(2) = 2,曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y ( 2) = x 2,即卩x y 4= 0.第2页(共16页)(2) 设切点坐标为(X0,

7、x3 4x4、 若曲线y X 2ln X的一条切线的斜率是3,则切点的横坐标为 2.例4 (求参数的值)1、曲线y= (ax+ 1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则a = _-3.2、 已知函数f(x) = aln x+ bx2的图象在点P(1, 1)处的切线与直线X- y+ 1 = 0垂直，则a的值为(D )A. - 1B . 1C . 3D. - 33、 已知函数f(x) = (x2 + ax- 1)ex(其中e是自然对数的底数，a R),若f(x)在(0, f(0)处的切线与直线 X-y-1 = 0 平行，则 a = ( C )+ 5x0 4), V f'(X0)= 3

8、B- 8x0+ 5,切线方程为 y ( 2) = (3x2- 8x0+ 5)(x- 2),又切线过点(xo, X3- 4x3+ 5xo-4),x0-4xo+ 5xo- 2 = (3xo- 8x0+ 5)(xo- 2),整理得(xo-2)2(xo- 1)= 0,解得Xo= 2或X0= 1,经过点 A(2,- 2)的曲线f(x)的切线方程为X-y-4= 0或y+ 2= 0.4、 设函数f(x)= X3+ (a- 1)x2 + ax,若f(x)为奇函数，则曲线 y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D )A. y=- 2xB. y=- XC. y= 2xD. y= X5、 已知函数f(x)=

9、axln x+ b(a, b R),若f(x)的图象在X = 1处的切线方程为 2x- y= 0,贝U a+ b =4 6、已知函数f(x) = Xln X,若直线I过点(0,- 1),并且与曲线y= f(x)相切，则直线I的方程为_X- y- 1 =0_.7、已知f(x)= x3- 2x2+ X + 6,贝U f(x)在点P(- 1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(C )D.C. ¥方法技巧求切线方程问题的 2种类型及方法求“在”曲线y= f(x)上一点P(X0, yo)处的切线方程：点P(X0, yo)为切点，切线斜率为 k= f' (xo),有 唯一的一条切

10、线，对应的切线方程为y yo= f' (xo)(x- xo).(2)求“过”曲线y= f(x)上一点P(xo, yo)的切线方程：切线经过点P,点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即:设切点A(x1, y1),则以A为切点的切线方程为y y1 = f' (XI)(X-x1);y1 = f X1 ,根据题意知点P(X0, yo)在切线上，点A(1,y1)在曲线y= f(x)上，得到方程组，yo y1 = f' X1 xo x1 ,求出切点A(X1, y1),代入方程y- y1= f' (XI)(X- x

11、1),化简即得所求的切线方程.例3 (求切点坐标)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜 率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.1、 曲线f(x)= X3- x+ 3在点P处的切线平行于直线 y= 2x- 1 ,贝U P点的坐标为(C )A . (1,3)B . (- 1,3)C. (1,3)和(一1,3)D. (1 , - 3)2、 若曲线y= Xln X上点P处的切线平行于直线2x-y + 1 = 0,则点P的坐标是 (e, e).3、 设曲线y 1在点(1,1)处的切线与曲线 y ex 1在点P处的切线垂直，则点P的坐标为

12、 P(0,2)_.X第5页(共16页)C. 21 14、 已知直线y= 2x+ b与曲线y= 2x+ In X相切，则b的值为（B ）1A. 2B. 1C.- 2D. 15、 直线y= kx+ 1与曲线y= x3+ ax+ b相切于点A（1,3）,贝U 2a+ b的值等于 1.方法技巧利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.提醒（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.1、曲线y= ex- In X在点（1, e）处的切线方程为（CC .(1 - e)x

13、- y+ 1 = 0 B . (1 - e)x- y- 1 = 0(e- 1)x-y+ 1 = 0(e - 1)x-y- 1 = 0X曲线y=药在点（1, 1）处的切线方程为（1A . x-y-2=0B . x+y-2=0C . x+4y-5=0D . x-4y-5=0函数f (x)1在点（0, f（0）处的切线方程为（B.y x 2C. y 2xD . y 2x已知曲线y=x+ 1在点（3,2）处的切线与直线 ax+ y+ 1 = 0垂直,X- 1设f (x)是(,0) U (0,）上的偶函数，当X0 时，f (x)x2X ,则 f (X)在(1, f（ 1）处的切线方程为（D ）C.X设函

14、数g(x)5X3+ x2+ 3ln x+ b(b R),若曲线 y= g(x)在 X= 1 处的切线过点(0, - 5),贝U b= ( B )A.B.2c2若函数f(x)= ln X-f, (- 1)x2+ 3X-4f, (1) =8,8、已知 f(x)= 13-8x+ 2x2, f' (X0) = 4,贝U X0=3.曲线y= 2ln X在点（1,0）处的切线方程为y= 2x- 210、函数y= f(x)的图像在点 P(5, f(5)处的切线方程是 y= x+ 8 ,贝U f(5) + f' (5) =2第4页（共16页）7x 4y12= O则f(x)的解析式为f(x)11

15、、已知函数f(x)= ax3+ x+ 1的图像在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),贝U a = 112、设函数f(x)= axx,曲线y= f(x)在点(2 , f(2)处的切线方程为 X3=XX 13、若曲线y= ax2 In X在点(1, a)处的切线平行于X轴，则a=14、求下列函数的导数:(1)y= n + X；SinX(2)y=U;(4)y= x2eX 1解析：(l)y'1 , In x+ 一X=(In X)' + X '112.XX(2)y'SinX ,XSinX ' x SinX x'xcosx SinX(3)y'c

16、os Xexx2x2cos X ' ex cos X ex ' Sin x+ cos X ex 2ex(4). y = e 1x2ex, y' = e1(2X ex+ x2ex) = ex1(x2+ 2x).15、已知曲线'11 34y= 33+ 3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.解析：根据已知得点P(2,4)是切点且y' = x2,在点P(2,4)处的切线的斜率为y'|x= 2 = 4,曲线在点P(2,4)处的切线方程为y 4= 4(x 2),即 4x y 4= 0.1 4设曲线y= 3x3+

17、 3与过点P(2,4)的切线相切于点A xo,则切线的斜率为 y' x= xo = X2,切线方程为 y 3x3+ 3 = x2(x xo),即 y= X2 x 2x0+ 3.点 P(2,4)在切线上， 4= 2x0 3x3+ 4,即 Xo 3x2 + 4= 0, x0+ x0 4x2+ 4= 0, x2(x0+ 1) 4(X0+ 1)(X0 1) = 0,(x°+ 1)(x0 2)2= 0,解得 X0= 1 或 X0= 2,故所求的切线方程为x y+ 2= 0 或 4x y 4 = 0.3.2导数的应用抓基础自主学习卜U1、函数f(x)在某个区间(a, b)内的单调性与f&

18、#39; (x)的关系(1)若f' (x)>0,贝y f(x)在这个区间上是单调递增.若f' (x)<0,贝U f(x)在这个区间上是单调递减.若f, (X)= 0,贝y f(x)在这个区间内是常数.2、利用导数判断函数单调性的一般步骤1 确定函数f(x)的定义域；2 求 f, (x);3 在定义域内解不等式f' (x)>0,得单调递增区间；4 在定义域内解不等式f' (x)<0 ,得单调递减区间提醒(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持定义域优先”原则.(2) 有相同单调性的单调区间不止一个时，用“ ”

19、隔开或用 和”连接，不能用 "连接.(3) 若函数y= f(x)在区间(a, b)上单调递增，则f' (x) 0,且在(a, b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y= f(x)在区间(a, b)上单调递减，则f' (x) 0,且在(a, b)的任意子区间，等号不恒成立3、函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点X= a处的函数值f(a)比它在点X= a附近其他点的函数值都小，f' (a) = 0,而且在点X=a附近的左侧f' (x)v 0,右侧f' (x) >0,则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.4、函数的极大值与极大

20、值点若函数f(x)在点X= b处的函数值f(b)比它在点X= b附近其他点的函数值都大，f' (b) = 0,而且在点X=b附近的左侧f' (x)>0,右侧f' (X) V0,则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.提醒(1)极值点不是点，若函数f(x)在X1处取得极大值，则 X1为极大值点，极大值为f(Xl)；在X2处取得极小值，则X2为极小值点，极小值为f(X2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.f'x0)= 0是X0为f(x)的极值点的必要而非充分条件.例如，f(x) = x

21、3, f' (0)0,但X= 0不是极值点.5、函数的最值(1)函数f(x)在a, b上有最值的条件如果在区间a, b上函数y = f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.求y = f(x)在a, b上的最大(小)值的步骤 求函数y= f(x)在(a, b)内的极值； 将函数y= f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.提醒求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论.对于可导函数f(x), f' (X0)= 0是函数f(x)在X= X0处有极值的必要不充分条件.明考向题型埶；I

22、探柵方法；突破点一 利用导数研究函数的单调性例1 1、如图是函数y= f(x)的导函数y= f'(X)的图象，则下面判断正确的是 (C )第21页(共16页)A .在区间(一2,1)上f(x)是增函数C.在区间(4,5)上f(x)是增函数B .在区间(1,3)上f(x)是减函数D .当X= 2时，f(x)取到极小值2、(求单调区间)(1) f(x) = X3 6x2的单调递减区间为(A )A. (0,4)B . (0,2)C. (4, + )D . ( , 0)(2)函数y= x4 2x2+ 5的单调递减区间为(A )C . 1,1 D . ( , 1和1 , + )A . ( , 1

23、)和(0,1) B. 1,0和1, + )1(3) 函数y= 2X2 ln X的单调递增区间为(C )A . ( 1,1)B . (0,1)(4) 已知函数 f(x) = Xln X,贝U f(x)()A .在(0, + )上递增1C .在0, 1上递增eC . (1, + )D . (0,+ )B. 在(0, + )上递减1D.在0,-上递减e3、设f, (X)是函数f(x)的导函数，y= f, (X)的图象如图所示，贝Uy= f(x)的图象最有可能的是(C )4、若函数y= X3+ X2+ mx+ 1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(C )1 IA. 3, +1 1 1B 一CI +

24、D _,33, +, 35. 若函数f(x)= kx In X在区间(1, + )单调递增，则k的取值范围是(D )A. ( , 2C. 2 , + )D . 1 , + )46.若函数y= 3x3+ ax有三个单调区间，则a的取值范围是-(0,+ )突破点二利用导数研究函数的极值2例 2 1、设函数 f(x) = -+ In X,则(D) XA . X= 1为f(x)的极大值点为1 一 2=Xf(x)的极小值点C. X= 2为f(x)的极大值点D. X= 2为f(x)的极小值点2、已知a为函数f(x)= X3 12x的极小值点，贝Ua = ( D )C. 43、如图是f(x)的导函数f

25、9; (X)的图象，贝U f(x)的极小值点的个数为(A )IyAdkz33O I、.A. 1B. 2C. 3D. 44、 若函数f(x)= X3+ ax2+ 3x 9在x= 3时取得极值，则a的值为(D )A . 2B. 3C . 4D . 55、 (1)若函数f(x) = x(x a)2在X= 2处取得极小值，则a =2.(2)已知 f(x)= X3+ 3ax2 + bx+ a2,当 x= 1 时有极值 O ,贝U a + b 的值为11.6、 设X1, X2是函数f(x)= x3 2ax2+ a2的两个极值点，若1<2<2，则实数a的取值范围是 (2,6).7、 若x= 2是

26、函数f(x) = (x2 + ax 1)ex 例4 1、(2018全国卷I节选)已知函数f(x) = aex ln x 1.设X = 2是f(x)的极值点，求a,并求f(x)的单调区 间.1 1解f(x)的定义域为(0，+ )，f, (X) = aex X.由题设知，f, (2) = 0,所以a =石.1 1 12eex ln x 1，f' (x) = 2e2ex ；.当 0<x<2 时，f' (x)<0 ;当 x>2 时，f' (x)>0.所以f(x)在 (0,2)上单调递减，在(2，+ )上单调递增. 22、若函数f(x)=孑3+ X2

27、 §在区间(a， a+ 5)上存在最小值，则实数 a的取值范围是一 3,0).解析：由题意，得 f' (X)= X2+ 2x= x(x+ 2),故 f(x)在(一8， 2)，(0，+)上是增函数，在(一2,0) 上是减函数，作出其图象如图所示，的极值点，贝U f(x)的极小值为 -1.突破点三利用导数研究函数的最值例3 1、函数y= 2x3 2x2在区间1,2上的最大值是 8.2、函数f(x)= In x X在区间(0, e上的最大值为(B )A . 1 eB. 1C . eD . 03、 函数 f(x)= Xe X, x 0,4的最小值为 0.4、函数 f(x)= X4 4

28、x(x<1)( D )A .有最大值，无最小值B .有最大值，也有最小值C .无最大值，有最小值D .既无最大值，也无最小值5、 已知f(x) = X2+ mx+ 1在区间2， 1上的最大值就是函数f(x)的极大值，贝U m的取值范围是 (-4， 2)_ .从而f(x) =突破点四综合应用令 *+2-3 一 3 得，X= 0或X =- 3,则结合图象可知,3 a V0,解得 a 3,0).a + 5 > 0,3、设函数 f(x)= ax3 2x2 + x+ c(a0).(1) 当a= 1 ,且函数图象过点(0,1)时，求f(x)的极小值.若f(x)在(-,+ )上无极值点，求a的取

29、值范围.解f, (X)= 3ax2- 4x+ 1.(1)函数图象过点(0,1)时，有 f(0) = C= 1.当 a = 1 时，f' (x) = 3x2- 4x+ 1,令 f' (x) > 0,解得 XV1 或 x> 1;令 f' (X)V 0 ,解得-V XV 1.331所以函数f(x)在-, §和(1, + )上单调递增;A在 1，1上单调递减，极小值是f(1)= 13- 2× 12+ 1 + 1= 1.3若f(x)在(-,+)上无极值点，则f(x)在(-,+)上是单调函数，即f, (x)0或f, (x) 0恒 成立. 当a= 0时

30、，f' (X) = - 4x+ 1 ,显然不满足条件； 当a 0时，f' (X) 0或f' (X) 0恒成立的充要条件是= (- 4)2- 4 × 3a × 1 0,即16- 12a 0,解得a3.34综上，a的取值范围为3+ .4、已知函数 f(x) = (X- k)ex.(1)求f(x)的单调区间；求f(x)在区间0,1上的最小值.解(1)由 f(x) = (X- k)ex,得 f' (X)= (X- k+ 1)ex,令 f' (x) = 0 ,得 X= k- 1. f(x)与f' (X)的变化情况如下：X(-, k- 1

31、)k- 1(k- 1 ,+ )f' (X)0+f(x)-ek-1/所以，f(x)的单调递减区间是(一 , k- 1);单调递增区间是(k- 1,+ ).当k- 1 0, 即卩k 1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0) = - k,当0v k- 1 V 1, 即卩1 V kv 2时,由知f(x)在0, k 1)上单调递减，在(k 1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k 1) = ek 1.当k 1 1,即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1) = (1 k)e. 综上可知，当

32、k 1 时，f(x)min = k；当 1V kV 2 时，f(x)min = e* 1;当 k 2 时，f(x)min = (1 k)e.5、已知函数 f(x) = In x+ a(1 x).(1) 讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a 2时，求a的取值范围.1解(1)f(x)的定义域为(0，+)，f, (x) = - a.若 a 0,则 f' (x)>0，所以 f(x)在(0，+ )上单调递增.X11若 a>0，则当 x 0，1 时，f' (x)>0 ;当 x 1 '+ 时，f, (x)<0.aa11所以f(x)在

33、0,丄上单调递增，在 丄，+ 上单调递减.aa(2) 由(1)知，当a 0时，f(x)在(0，+ )上无最大值；1111当a>0时，f(x)在X= -处取得最大值，最大值为f： = In + a 1 = In a+ a 1.aaaa1因此 f 一 >2a 2 等价于 In a+ a 1<0. a令 g(a) = In a+ a 1，贝U g(a)在(0，+ )上单调递增，g(1) = 0.于是，当0<a<1时，g(a)<0 ;当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).6、已知函数 f(x) = In x ax(a R).(1)当a

34、 = 2时，求f(x)的极值；讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.11112 X解当 a= 2时，f(X) = In x 2x，函数的定义域为(0，+ )且 f' (X) = 2=2x，令f' (X)= 0 ,得X= 2,于是当X变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表.X(0,2)2(2,+ )f' (X)+0一f(x)/In 2 1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2) = In 2 1,无极小值.11ax(2)由(1)知，函数的定义域为(0, + ), f' (X) = X a =-(X> 0),当a 0时，f

35、9; (x)>0在(0,+ )上恒成立，即函数在(0, + )上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；11当 a>0 时，当 x 0-时，f' (X)> 0,当 x -,+ 时，f' (X)V 0,aa故函数在X= 1处有极大值.a综上所述，当a0时，函数在定义域上无极值点，当a>0时，函数有一个极大值点.1、 函数y= 12- In X的单调递减区间为(B )A. (-1,1)B. (0,1C. (1 , + )D. (0,2)2、函数f(x)的导函数f' (X)有下列信息：f' (x)>0 时，一1<x<2 :f&#

36、39; (x)<0 时，x<- 1 或 x>2 :f' (x) = 0 时，x=- 1 或 X= 2.贝U函数f(x)的大致图象是(C )y = f(x)的图象可能是(D )a的取值范围为(A.(1,B. 3 , + )+ )B)C. (-, 1D. (-, 35、已知ln X Mrr Zf(x)=,则(Df(2)>f(e)>f(3)B. f(3)>f(e)>f(2)C. f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)6、函数f(x)= ax3+ bx2+ cx+ d的图象如图，则函数y= ax2 + 3b

37、x+ C的单调递增区间是(-,- 2B. 1,+C. 2,3D. 9,+7、已知函数f(x) = x3 + ax2+ bx+ a2在X= 1处有极值10,则f(2)等于(C )A. 11或 18B . 11C. 18D . 17 或 188、已知f(x)= 2x3- 6x2+ m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值是(A )A. 37B. 29D.以上都不对19、 函数y= 2x 2的极大值是 -3.11710、 函数 f(x)= x3÷ X2 3x 4 在0,2上的最小值是 3.3311、 函数f(x)= In x x2÷X的单调增区间为 0,

38、1 ÷y .12、 直线y = a与函数f(x) = x3 3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是 ( 2,2)13、已知函数 f(x)= x3÷ x 16.(1) 求曲线y= f(x)在点(2 , 6)处的切线的方程；(2) 直线I为曲线y= f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；1(3) 如果曲线y= f(x)的某一切线与直线 y= 4x÷ 3垂直，求切点坐标与切线的方程.解：(1)可判定点(2, 6)在曲线y= f(x)上.因为f'x) = (x3÷ x 16) = 3x2÷ 1所以f(x)在点(2, 6)

39、处的切线 的斜率为k= f' (2= 13.所以切线的方程为y= 13(x 2)÷ ( 6),即y= 13x 32.设切点为(xo, yo),则直线I的斜率为f'x0)= 3x0÷ 1 ,所以直线I的方程为y= (3x0÷ 1)(x xo)÷x3÷xo 16, 又因为直线 I 过点(0, 0),所以 0 = (3x§ ÷ 1)( xo) ÷ x3÷ X0 16,整理得，x0= 8,所以 X0= 2,所以 y0= ( 2)3÷ ( 2) 16= 26, k= 3 × (

40、2)2÷ 1= 13.所以直线 I 的方程为 y= 13x,切点坐标为(一2,26).1(3) 因为切线与直线y= 4x÷ 3垂直，所以切线的斜率k= 4.设切点的坐标为(X0, y。)，X0= 1 ,X0= 1 ,则f'x6)= 3x2÷ 1= 4,所以X0=±.所以或即切点坐标为(1 , 14)或(1, 18),y0= 14y0= 18,切线方程为 y = 4(x 1) 14 或 y= 4(x÷ 1) 18.即 y= 4x 18 或 y= 4x 14.14、 已知函数f(x)= ax2 bln X在点A(1, f(1)处的切线方程为

41、 y= 1.(1) 求实数a, b的值；求函数f(x)的极值.解：(1)f(x)的定义域是(0, ÷ ), f'x)= 2axb, f(1)= a= 1, f' (=2a b = 0,X将a = 1代入2a b= 0,解得b= 2.2 2x2 2(2) 由(1)得 f(x)= X2 2In x(x>0),所以 FX) = 2x 一=,令 Fx)>0 ,解得 x>1 ,令 V x)<0 ,解得 0<x<1 ,X X所以f(x)在(0, 1)上递减，在(1, +)上递增，所以f(x)极小值=f(1) = 1,无极大值.15、已知函数f(

42、x)= ex- 3x+ 3a(e为自然对数的底数，a R).求f(x)的单调区间与极值。 解： 由 f(x) = ex-3x+ 3a, x R,知 f'x) = ex 3, x R 令 f'x) = 0,得 X= In 3, 于是当X变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表：X( , In 3)In 3(In 3 , +)f'x)0+f(x)决3(1 In 3 + a)L故f(x)的单调递减区间是(一, In 3,单调递增区间是In 3 , +),f(x)在X= In 3处取得极小值，极小值为f(ln 3) = eln 3 3ln 3 + 3a= 3(1 I

43、n 3 + a) 无极大值.16、设函数f(x) = x2+ ax+ In x(a R). (1)当a=- 1时，求函数f(x)的单调区间；解：(1)函数f(x)的定义域为(0, +),当a= 1 时，f' (x)=-2x 1 +=2宀x+ 1 XX1 1令f, (X)= 0 ,得X= 1(负值舍去)，当0<x<1时,1f' (x)>0 ;当 x>2时，f' (x)<0.f(x)的单调递增区间为0, 2 ,单调递减区间为(2, + ).17、已知函数f(x)= In X- a(x+ 1), a R在(1, f(1)处的切线与X轴平行.(1)

44、求f(x)的单调区间;1解：(1)由已知可得 f(x)的定义域为(0, + ). f' (X)= 一一 a, f' (1) = 1 a= 0, a = 1,X11 一 X f' (X) = - 1 =.令 f' (X)>0 ,得 0<X<1 ； 令 f' (x)<0 ,得 x>1.XXf(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, +).1 a18、设函数f(x) = 3X3 2x2+ bx+ C ,曲线y= f(x)在点(0 , f(0)处的切线方程为(1)求b , C的值;若a> 0,求函数f(x)的单调

45、区间.解析：(1)f' (x) = X2 ax+ b,由题意得f'0 = 0 ,C = 1, b = 0.(2) 由 (1)得,f' (X)= X2 ax= X(X- a)(a > 0),当 x ( , 0)时，f (x)>0;当 x (0 , a)时，f (X)V 0;当 X (a , + )时，f' (x) >0.所以函数f(x)的单调递增区间为(一, 0) , (a , + ),单调递减区间为(0 , a).19、已知a为实数，函数f(x)= aln x+ x2- 4x.(1)若 X= 3是函数f(x)的一个极值点，求实数 a的取值;a2

46、x2 4x+ a解：(1)函数 f(x)的定义域为(0 , + ) , f' (X) = a+ 2x 4 =.XX X= 3是函数f(x)的一个极值点， f' (3) = 0,解得a=- 6.经检验a =- 6时，X= 3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意， a= 6.1in X20、已知函数f(x)=2求函数f(x)的零点及单调区间；X33解：函数f(x)的零点为e.函数f(x)的单调递增区间为2亠 ,单调递减区间为2 (已知函数f(x)e ，十0, ea=In x+ , a R.X21、已知函数f(x)= ex(ax+ b) x2_ 4x,曲线y= f(x)在点(0,

47、f(0)处的切线方程为 y= 4x+ 4.(1) 求a, b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解析：(1)f' (X)= ex(ax+ a+ b) 2x 4.由已知得 f(0) = 4, f' (0) = 4, 故 b = 4, a+ b = 8. 从而 a = 4, b= 4.1(2) 由(1)知 f(x) = 4ex(x+ 1) X2_ 4X, f' (X)= 4ex(+ 2) 2x-4 = 4(x+ 2) ex .令 f' (X)= 0 ,得 x= In 2 或 X = 2.从而当 x (, 2) U ( In 2 , +)时，f&#

48、39; (x) > 0;当 x ( 2, In 2)时，f' (X)V 0.故f(x)在(, 2), ( In 2 , +)上单调递增，在(2, In 2)上单调递减.当x= 2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f( 2) = 4(1 e 2).1 222、已知函数 f(x)= a 2 X2+ In x, g(x)= f(x) 2ax.(a R)1(1)当a = 0时，求f(x)在区间-，e上的最小值； (2)若 x (1, + ), g(x) V0恒成立，求a的取值范围.当a = 0时,1f(x) = 11x2+ In X,则 f'(x) = x+ -=XX2+ 1X

49、x+ 1x 1Xe1当 x 一，1 时，f' (x)>0; 当 x 1 , e时，f' (X)V 0, e1 f(x)在区间一，1上是增函数，在区间1, e上为减函数, e11e2e2又 f； = 1 22，f(e)= 1 2， f(x)min = f(e)= 1 .123、已知 f(x) = x2 a2In x, a>0.(1)若 f(x) 0 ,求 a 的取值范围;解：(1)f' (X)= X-a = X+ 罗a (x>0).当 x (0, a)时，f' (x)<0, f(x)单调递减；当 x (a,+)时，f' (x)>

50、;0 , f(x)单调递增.当 X= a 时，f(x)取最小值 f(a)= a2 a2n a.令TJa2 a2In a 0,解得 0<a<讥.故a的取值范围是(0, e.1 224、已知函数 f(x)= aln x+ qx2+ (a+ 1)x+ 3.(1) 当a=- 1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若函数f(x)在区间(0,+ )上是增函数，求实数 a的取值范围.1 12 1解：当 a=- 1 时，f(x)=- In x+ -x2+ 3，定义域为(0, + )，贝U F(X)= + X= 一.2 XXf' X V 0,由得O V XV 1所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1).x> 0,a(2)法一：因为函数f(x)在(0, + )上是增函数，所以f '(X) = X + x+ a+ 1 0在(0, + )上恒成立， 所以 X2+ (a+