平面向量、函数图象、方程曲线专题复习要点解读

1、1平面向量、函数图象、方程曲线专题复习要点赵春祥河北省特级教师由于平面向量的坐标表示与代数联系十分紧密，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系 多项内容的媒介，因而它经常与函数、 三角函数、解析几何综合在一起命题， 这既考查了平面向量 的有关知识，也考查了其它内容，体现了考试大纲中强调的“在知识交汇处命题”的原则.函数图象是函数的直观体现，图象中有非常多的信息量，比如定义域、值域、最值、奇偶性、 单调性、周期性等.图象信息选择题可以全面地考查考生的综合素质和能力，这样的题目解法灵活，是拉开分数档次的一种重要题型，也是近几年高考命题的一个热点.以基础层次或中档难度的试题 考查函数图象，特别是图象

2、的平移、 对称及伸缩变换，通过对图象的识别来考查函数的性质，在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态一一即函数的单调性、奇偶性、 周期性和函数图象的对称性等，近几年，以组合形式一题多角度考查函数的图象与性质的高考题正 成为新的热点；“曲线”与“方程”是同一对象点的轨迹） 的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式， 方程是轨 迹的代数形式它们在表现和研究轨迹的性质时， 各有所长几何形式具有直观形象的优点， 代数 形式具有便于运算的优点，因而具有操作程序化的长处.具体解题时最好将二者结合起来， 这就是“数形结合”思想所考查的数学思想方法除数形结合外，函数与方程、等件转化、分类讨论

3、等数学思想；向量法、参数法、消元法、配方法、待定系数法、换元法等数学方法；以及利用韦达定理、 判别式、曲线系方程、坐标法等技巧在考卷中都充分得到体现.例 i（2007 年全国高考陕西卷理科试题）如图，平面内有三个向量 OA，OB，OC，其中 OA 与OB 的夹角为120, OA 与 OC 的夹角为30，且|OA| = |解一（坐标法 1）:由题意，建立以OC为 x 轴、OB为 y 轴的平面直角坐标系,|OA| = |OB | = 1，|OC| = 2、3，JR）,则 +的值为OB | = 1, |OC | = 2、3 .若OAOC = OA + 5(,22又 vOCOA=(22OB= (0,=

4、OA + 9B1), OC = (2,3 , 0),2.3,12-0 二亠2二4,2.解二（坐标法 2）:由题意，建立以OA为 x 轴的平面直角坐标系,|OA| = |OB| = 1, |OC| =2.3 ,/OA=(1,0),OB=(COS120,sin120) =(-1, 2 2),OC= (2 一3COS30, 2、3sin30 ) = (3, 3),又 vOC=OA + 忌，.(33) =-(1, 0)+(-，山2 23=,3 于，=4,2I j),C解三 （代数法T TT T1）：VOA 与 OB 的夹角为120, OA 与 OC 的夹角为30,OC 与 OB 的夹角为 90 ,OC

5、 OB = 0, 即卩 OBOA +9B) = 0,21OB OA +JOB = 0,二一一 +=0,即=2.2又山总=貉OAJOA+POB)九+POAOB&_2卩卩运2託= =2亦亦= =22、31-J=3.234由、解得，二 4,=2,. +=6.解四（代数法2）：VOA与 OB 的夹角为120,OA 与 OC 的夹角为30,OC与 OB 的夹角为90，又|OA| = |OB| = 1,OA| |OB|cos120二一占二一占, ,QB OC由OC= OA+ OB 两边平方得：12 = 2+2，由OC OB= OA 两边平方得：12+2= 2，解五（几何法）:如左图，过 C 点作两

6、条直线与直线OA、OB平行，分别交OA、OB的延长线于 A、B 两点，则四边形 OACB!为平行四边形，且 OC=OA + OB = 7QA + POB , OA = OA ,OR=OB .由题意知，COB =90，在 RtCOAi中，|CA|=2、3tan30 = 2,1OA|= |OB| = 1,.QA=4OA， OB=2OB，即人=4，卩=2 或或人人二二一 4，卩二二一 2 （不合题意，舍去），评析：解法一和解法二展示的是，通过建立平面直角坐标系，将平面向量的夹角问题转化为平 面向量数量积的坐标问题，这也是将形化数的典型实例.解法三和解法四告诉我们，两向量的数量积是高考的核心内容， 即

7、为高考的一个命题点，填空 题、选择题重点考查数量积的概念、运算律等问题，向量的数量积运算常用来解决有关角度、 摸长 等相关问题.在解法五中，通过深入挖掘平面向量的几何意义，化数为形，数形结合，也就是将抽象的数学 语言与直观的图形结合起来，对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路.例 2 （2007 年全国高考福建卷理科试题）如图，已知点F（1,0）,=|OB| |OC |cos90= 0,OA OB = |、联立求得 = 4，=2,. +=6.|OA|= 4,5直线I :x二-1,P为平面上的动点，过P作直线I的垂线，垂足为点Q，且QP求动点P的轨

8、迹C的方程;过点F的直线交轨迹C于A, B两点，交直线I于点M,MA = AF,解：由 QP QFP FQ 得：FQ (PQ PF0 ,T T T(PQ - PF) (PQ PF) =0，即 PQ所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x .由已知 MA 二iAF , MB 二-2BF，得12 1,函数f(x)= logax 在区间a, 2a上的最大值与1最小值之差为，则 a 等于().A. ,2B. 2C. 2 2D. 4解：由 a 1,则f (x)= logax 在区间a, 2a上单调递增，所以函数的最大值为 loga2a，最小值为 logaa= 1,1因此有 loga2

9、a 仁，解得 a = 4,故选 D.评析：在解题时，一定要注意不同的底，对数函数有不同的单调性.函数最值是函数的主要内容，它在数学各个分支及实际问题中有着广泛的应用，特别是基本初等函数(二次函数、指数函数、对数函数) 的最值问题，多年来一直是常考不衰的热点内容之一. 解此类考题要以数形结合为切入点， 化难为易，让抽象的问题转化得直观明白.例 5. (2007 年全国高考北京卷文科试题)如图，矩形ABCD的 两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x -3y -6 =0点T(-1,1)在AD边所在直线上.求AD边所在直线的方程；求矩形ABCD外接圆的方程；若动圆P过点N(-2,0)

10、，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.解：因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为又因为点T(-1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1 = -3(x)，即3 y 2 0由!x-3y-6-0,解得点A的坐标为(。厂 2),3x + y+2=0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M (2,0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.8又AM =p（2 -0）2+（0+2）2=2血.从而矩形ABCD外接圆的方程为（x 一 2）2 y2=8.因为动圆P过点N，所以 P 叫是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以 PM|= PN +2.J2，即 PM PN|=2血.故点P的轨迹是以M, N为