函数与导数经典例题 高考压轴题含

1、实用文档 文案大全 函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数32()4361,fxxtxtxtxR?，其中tR? （）当1t?时，求曲线()yfx?在点(0,(0)f处的切线方程； （）当0t?时，求()fx的单调区间； （）证明：对任意的(0,),()tfx?在区间(0,1)内均存在零点 2. 已知函数21()32fxx? ，()hxx? （）设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的单调区间与极值； （）设a?R，解关于x的方程33lg(1)2lg()2lg(4)24fxhaxhx?； （）设*n?N，证明：1()()(1)(2)()6fnhnhhhn? ? 3. 设函数a

2、xxxaxf?22ln)(，0?a （）求)(xf的单调区间； （）求所有实数a，使2)(1exfe?对,1ex?恒成立 注：e为自然对数的底数 4. 设21)(axexfx?，其中a为正实数. （）当34?a时，求()fx的极值点；（）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围. 5. 已知a，b为常数，且a0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=271828是自然对数的底数）。 （I）求实数b的值； （II）求函数f（x）的单调区间； （III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线y=f（x）（x 1e，e）都有公共

3、点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。 6. 设函数32()2fxxaxbxa?，2()32gxxx?，其中xR?，a、b为常数，已知曲线()yfx?与()ygx?在点（2,0）处有相同的切线l。 （I） 求a、b的值，并写出切线l的方程； （II）若方程()()fxgxmx?有三个互不相同的实根0、x、x，其中12xx?，且对任意的?12,xxx?，()()(1)fxgxmx?恒成立，求实数m的取值范围。 实用文档 文案大全 函数与导数经典例题-高考压轴答案 1. 已知函数32()4361,fxxtxtxtxR?，其中tR? （）当1t?时，求曲线()yfx?在点(

4、0,(0)f处的切线方程； （）当0t?时，求()fx的单调区间； （）证明：对任意的(0,),()tfx?在区间(0,1)内均存在零点 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （）解：当1t?时，322()436,(0)0,()1266fxxxxffxxx? (0)6.f?所以曲线()yfx?在点(0,(0)f处的切线方程为6.yx? （）解：22()1266fxxtxt?，令()0fx?，解得.2txtx?或 因为0t?，以下分两种情况讨论： （1 ）若0,2tx

5、 ?,t? ,2tt? ,2t? ()fx? + - + ()fx ttx?则当变化时，(),()fxfx?的变化情况如下表： x ,2t? ,2tt? ?,t? ()fx? + - + ()fx 所以，()fx的单调递增区间是?,;()2ttfx?的单调递减区间是,2tt?。 （2）若0,2ttt?则，当x变化时，(),()fxfx?的变化情况如下表： 所以，()fx的单调递增区间是?,;()2ttfx?的单调递减区间是,.2tt? 实用文档 文案大全 （）证明：由（）可知，当0t?时，()fx在0,2t?内的单调递减，在,2t?内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22tt?即时，

6、()fx在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.ftftt? 所以对任意2,),()tfx?在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当01,022tt?即时，()fx在0,2t?内单调递减，在,12t?内单调递增，若33177(0,1,10.244tfttt? 2(1)643643230.fttttt? 所以(),12tfx?在内存在零点。 若?3377(1,2),110.244ttfttt? (0)10ft? 所以()0,2tfx?在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()tfx?在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意(0,),()tfx?在区间（0，1）内均

7、存在零点。 2. 已知函数21()32fxx? ，()hxx? （）设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的单调区间与极值； （）设a?R，解关于x的方程33lg(1)2lg()2lg(4)24fxhaxhx?； （）设*n?N，证明：1()()(1)(2)()6fnhnhhhn? ? 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力 解：（）223()18()()129(0)Fxfxxhxxxx?， 2()312Fxx? 实用文档 文案大全 令()0Fx?，得2x?（2x?舍去）

8、 当(0,2)x?时()0Fx?；当(2,)x?时，()0Fx?， 故当0,2)x?时，()Fx为增函数；当2,)x?时，()Fx为减函数 2x?为()Fx的极大值点，且(2)824925F? （）方法一：原方程可化为42233log(1)log()log(4)2 4fxhaxhx?， 即为4222log(1)loglog4log4axxa xxx?，且,14,xax? 当14a?时，1xa?，则14axx x? ?，即2640xxa?， 364(4)2040aa? ?，此时6204352ax a?，1xa?， 此时方程仅有一解35xa? 当4a?时，14x?，由14axxx?，得2 640x

9、xa?，364(4)204aa?， 若45a?，则0?，方程有两解35xa?； 若5a?时，则0?，方程有一解3 x?； 若 1a?或5 a?，原方程无解 方法二：原方程可化为422log(1)log(4)log()xhxhax?， 即2221log(1)log4log2xxax?，10,40,0,(1)(4).xxaxxxax? ?214,(3)5.xxaax? ? 当14a?时，原方程有一解35xa?； 当45a? ? 时，原方程有二解35x a?； 当5a?时，原方程有一解3x?； 当1a?或5 a?时，原方程无解 （）由已知得(1)(2)()12hhhnn?， 1431()()666n

10、fnhnn? 设数列na的前n项和为nS，且 1()()6 nSfnhn?（*n?N） 从而有111aS?，当2100k? 时，143 416kkkkkaSSkk? 又1(43)(41)16kakkkkk? ?221(4 3)(41)(1)6(43)(41)1kkkkkkkk? 1106(43)(41)1kkk k? ? 即对任意2k?时，有kak?，又因为 111a? ，所以 12naan? 则(1)(2)()nShhhn?，故原不等式成立 实用文档 文案大全 3. 设函数axxxaxf?22ln)(，0?a （）求)(xf的单调区间； （）求所有实数a，使2)(1exfe?对,1ex?恒成

11、立 注：e为自然对数的底数 【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （）解：因为22()ln.0fxaxxaxx?其中 所以2()(2)()2axaxafxxaxx? 由于0a?，所以()fx的增区间为(0,)a，减区间为(,)a? （）证明：由题意得，(1)11,facac?即 由（）知()1,fxe在内单调递增， 要使21()1,efxexe?对恒成立， 只要222(1)11,()faefeaeaee? 解得.ae? 4. 设21)(axexfx?，其中a为正实数. （）当34?a时，求()fx的极值点； （

12、）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围. 【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(xf 求导得.)1(1)(222axaxaxexfx? （I ）当34?a ，若.21,23,0384,0)(212?xxxxxf解得则 综合,可知 实用文档 文案大全 x )21,(? 21 )23,21( 23 ),23(? )(xf? + 0 0 + )(xf 极大值 极小值 所以,231?x是极小值点,212?x是极大值点. （II）若)(xf为R上的单调函数，

13、则)(xf?在R上不变号，结合与条件a>0，知0122?axax 在R上恒成立，因此,0)1(4442?aaaa由此并结合0?a，知.10?a 5. 已知a，b为常数，且a0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=271828是自然对数的底数）。 （I）求实数b的值； （II）求函数f（x）的单调区间； （III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线y=f（x）（x1e，e）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。 【解析】22本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象

14、概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。 解：（I）由()22,feb?得 （II）由（I）可得()2ln.fxaxaxx? 从而'()ln.fxax? 0a?因为，故： （1）当0,a?时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1; （2）当0,'()001,'()01.afxxfxx?时由得由得 综上，当0a?时，函数()fx的单调递增区间为(1,)?， 单调递减区间为（0，1）； 当0a?时，函数()fx的单调递增区间为（0，1）， 实用文档 文

15、案大全 单调递减区间为(1,)?。 （III）当a=1时，()2ln,'()ln.fxxxxfxx? 由（II）可得，当x在区间1(,)e e内变化时，'(),()fxfx的变化情况如下表： x 1e 1(,1)e 1 (1,)e e '()fx - 0 + ()fx 22e? 单调递减 极小值1 单调递增 2 又2122,'()(,)fxxeee?所以函数的值域为1，2。 据经可得，若1,2mM?，则对每一个,tmM?，直线y=t与曲线1()(,)yfxxee?都有公共点。 并且对每一个(,)(,)tmM?，直线yt?与曲线1()(,)yfxxee?都没有公共

16、点。 综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个,tmM?，直线y=t 与曲线1()(,)yfxxee?都有公共点。 6. 设函数32()2fxxaxbxa?，2()32gxxx?，其中xR?，a、b为常数，已知曲线()yfx?与()ygx?在点（2,0）处有相同的切线l。 （I） 求a、b的值，并写出切线l的方程； （II）若方程()()fxgxmx?有三个互不相同的实根0、x、x，其中12xx?，且对任意的?12,xxx?，()()(1)fxgxmx?恒成立，求实数m的取值范围。 【解析】20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分） 解：（）2()34,()23.fxxaxbgxx? 由于曲线()()yfxygx?与在点（2，0）处有相同的切线， 故有(2)(2)0,(2)(2)1.fgfg? 实用文档 文案大全 由此得8820,2,1281,5.abaaabb?解得 所以2,5ab?，切线l的方程为20xy? （）由（）得32()452fxxxx?，所以32()()32.fxgxxxx? 依题意，方程2(32)0xxxm?有三个互不相同的实数120,xx， 故12,xx是方程2320xxm?的两相异的实根。