函数值域求法例题

1、页眉 1 / 9 函数值域求法（例题） 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函 数x1y?的值域。 解：0x? 0x1? 显然函数的值域是：

2、),0()0,(? 例2. 求函 数x3y?的值域。 解： 0x? 3x3,0x? 故函数的值域是：3,? 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数2,1x,5x2xy2?的值域。 解：将函数配方得：4)1x(y2? 2,1x? 由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin?，当1x?时，8ymax? 故函数的值域是：4，8 3. 判别式法 例4. 求函 数22x1xx1y?的值域。 解：原函数化为关于x的一元二次方程 0x)1y(x)1y(2? （1）当1y?时，Rx? 0)1y)(1y(4)1(2? 解得 ：23y21? 页眉 2 / 9 （2）当y=1时，0

3、x?，而?23,211 故函数的值域 为?23,21 例5. 求函 数)x2(xxy?的值域。 解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222?（1） Rx? 0y8)1y(42? 解得 ：21y21? 但此时的函数的定义域由0)x2(x?，得2x0? 由0?，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222?在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 0?求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域 为?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 2x0? 0)x2(xxy? 21y,0ymin?代入方程（1） 解得 ：2,022222x

4、41? 即 当22222x41?时， 原函数的值域为 ：21,0? 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函 数6x54x3?值域。 解：由原函数式可得 ：3y5y64x? 则其反函数为 ：3x5y64y?，其定义域为：53x? 故所求函数的值域为 ：?53, 5. 函数有界性法 页眉 3 / 9 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函 数1e1eyxx?的值域。 解：由原函数式

5、可得 ：1y1yex? 0ex? 01y1y? 解得：1y1? 故所求函数的值域为)1,1(? 例8. 求函 数3xsinxcosy?的值域。 解：由原函数式可得：y3xcosxsiny?，可化为： y3)x(xsin1y2? 即1yy3)x(xsin2? Rx? 1,1)x(xsin? 即11yy312? 解得 ：42y42? 故函数的值域 为?42,42 6. 函数单调性法 例9. 求函 数)10x2(1xlog2y35x?的值域。 解： 令1xlogy,2y325x1? 则21y,y在2，10上都是增函数 所以21yyy?在2，10上是增函数 当x=2时 ，8112log2y33min?

6、 当x=10时 ，339log2y35max? 故所求函数的值域为 ：?33,81 页眉 4 / 9 例10. 求函 数1x1xy?的值域。 解：原函数可化为 ：1x1x2y? 令1xy,1xy21?，显然21y,y在,1?上为无上界的增函数 所以1yy?，2y在,1?上也为无上界的增函数 所以当x=1时，21yyy?有最小 值2，原函数有最大 值222? 显然0y?，故原函数的值域 为2,0( 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函 数1xxy?

7、的值域。 解：令t1x?，)0t(? 则1tx2? 43)21t(1tty22? 又0t?，由二次函数的性质可知 当0t?时，1ymin? 当0t?时，?y 故函数的值域为),1? 例12. 求函 数2)1x(12xy?的值域。 解：因0)1x(12? 即1)1x(2? 故可令,0,cos1x? 1cossincos11cosy2? 1)4sin(2? ?4540,0 211)4sin(201)4sin(22? 故所求函数的值域 为21,0? 页眉 5 / 9 例13. 求函 数1x2xxxy243?的值域。 解：原函数可变形为 ：222x1x1x1x221y? 可令?tgx，则 有?2222

8、cosx1x1,2sinx1x2 ?4sin412cos2sin21y 当82k?时，41ymax? 当82k?时，41ymin? 而此时?tan有意义。 故所求函数的值域为?41,41 例14. 求函数)1x)(cos1x(siny? ，?2,12x的值域。 解：)1x)(cos1x(siny?1xcosxsinxcosxsin? 令txcosxsin?， 则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y? 由)4/xsin(2xcosxsint? 且?2,12x 可得 ：2t22? 当2t?时 ，223ymax?， 当22t?时 ，2243y? 故所求函数的值域 为?22

9、3,2243。 例15. 求函 数2x54xy?的值域。 解：由0x52?，可 得5|x|? 故可 令,0,cos5x? 页眉 6 / 9 4 )4sin(10sin54cos5y? ? ?045 44? 当4/?时，104ymax? 当?时 ，54ymin? 故所求函数的值域为：104,54? 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数22)8x()2x(y?的值域。 解：原函数可化简得：|8x|2x|y? 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），)8(B?间的

10、距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，10|AB|8x|2x|y? 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，10|AB|8x|2x|y? 故所求函数的值域为：,10? 例17. 求函数5x4x13x6xy22?的值域。 解：原函数可变形为： 2222)10()2x()20()3x(y? 上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点)1,2(B),2,3(A?的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，43)12()23(|AB|y22min?， 故所求函数的值域为,43? 例18. 求函数5x4x13x6xy22?的值域。 解：将函数变形为：2222)10()2x()20()3x(

11、y? 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点)1,2(B?到点)0,x(P的距离之差。 页眉 7 / 9 即：|BP|AP|y? 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的 交点时，如点'P，则构成'ABP?，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB|'BP|'AP|22? 即：26y26? （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有26|AB|BP|AP|? 综上所述，可知函数的值域为：26,26(? 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两

12、点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），)1,2(? ， 在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），)1,2(?，在x轴的 同 侧。 9. 不等式法 利用基本不等式abc3cba,ab2ba3?)Rc,b,a(?，求函数的最值，其题型特征解析式是和 式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22?的值域。 解：原函数变形为： 52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222?

13、 当且仅当xcotxtan? 即当4kx?时)zk(?，等号成立 故原函数的值域为：),5? 例20. 求函数x2sinxsin2y?的值域。 解：xcosxsinxsin4y? xcosxsin42? 页眉 8 / 9 27643/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224? 当且仅当xsin22xsin22?，即 当32xsin2?时，等号成立。 由2764y2?可得 ：938y938? 故原函数的值域为 ：?938,938 10. 一一映射法 原理：因 为)0c(dcxbaxy?在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，

14、若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函 数1x2x31y?的值域。 解：定义域为?21x21x|x或 由1x2x31y? 得3y2y1x? 故213y2y1x? 或213y2y1x? 解得23y23y?或 故函数的值域 为?,2323,? 11. 多种方法综合运用 例22. 求函 数3x2xy?的值域。 解： 令)0t(2xt?，则1t3x2? （1）当0t?时 ，21t1t11tty2?，当且仅当t=1，即1x?时取等号，所以21y0? （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为：?21,0 注：先换元，后用不等式法 页眉 9 / 9 例23. 求函 数42432xx21xxx2x1y?的值域。 解 ：4234242xx21xxxx21xx21y? 2222x1xx1x1? 令2tanx?， 则?2222cos