概率统计知识点汇总

1、概率统计知识点汇总1 分类加法计数原理完成一件事有 n类不同的方案，在第一类方案中有 mi种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法， ，在第 n类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 N = mi + m2+ mn种不同的方法.2 分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n个不同的步骤，完成第一步有 mi种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法， ，完成第n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N =mi x m2Xx mn种不同的方法.3 两个原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分

2、类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这 件事才算完成.4 排列与排列数公式(1) 排列与排列数排所有不同排列>列排列的个数数从n个不同元 按照一定的顺序 素中取出m mw n个元素排成一列(2) 排列数公式Am = n(n 1)( n 2)(n m+ 1)= n m !(3) 排列数的性质 An = n!; 0!= 1.5 组合与组合数公式(1) 组合与组合数所有不同组合数组合的个数从n个不同元合成一组素中取出:m mw n个元素(2) 组合数公式cm=Am =nn 1 n 2 n m+ 1m!

3、10(3) 组合数的性质 cm + cm1= cm+1.co= 1；cm=cnm6. 排列与组合问题的识别方法识别方法排列右交换某两个兀素的位置对结果产生影响，题，即排列问题与选取元素顺序有关则是排列问组合若交换某两个兀素的位置对结果没有影响，题，即组合问题与选取元素顺序无关则是组合问7. 二项式定理定理：(a + b)n= Cnan + Cnan 1b+ Cnan kbk+ + Cnbn(n N*).(2) 通项：第 k+ 1 项为：Tk+1 = cSan_kbk.(3) 二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：cn(k= 0,1,2，n).&二项式系数的性质/对称性一与首末等距

4、的两个二项式系数相等，即当V呀时.二项式系数是递増的性增减性 与址大值当项式系数是递减的质当挖为偶数汕的二项式系数疑大当乳为奇数时，的一项式系数相等且最大,iV二项式CJ+C J+ + Ci+'-+Cj=2n9.概率与频率(1) 在相同的条件 S下重复n次试验，观察某一事件 A是否出现，称n次试验中事件 A出现的 次数nA为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例fn(A)=学为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件 A

5、的概率，记作P(A).10.事件的关系与运算定义付号表示包含如果事件A发生，则事件 B 一定发生，这时称事件B? A关系B包含事件A(或称事件A包含于事件B)(或 A? B)相等关系若B? A且A? B，那么称事件 A与事件B相等A = B并事件若某事件发生当且仅当事件 A发生或事件B发生，A U B(和事件)则称此事件为事件 A与事件B的并事件(或和事件)(或 A + B)交事件若某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发生，APB(积事件)则称此事件为事件 A与事件B的交事件(或积事件)(或 AB)互斥事件若AAB为不可能事件，则称事件 A与事件B互斥APB = ?对立事件若AAB为不可能事

6、件，A U B为必然事件，那么称 事件A与事件B互为对立事件APB = ?;P(A U B) = P(A) + P(B)=111 理解事件中常见词语的含义：(1) A, B中至少有一个发生的事件为A U B;(2) A, B都发生的事件为 AB ;(3) A, B都不发生的事件为 A B ；(4) A, B恰有一个发生的事件为 AB U AB；(5) A, B至多一个发生的事件为 A B U ABU A B.12.概率的几个基本性质概率的取值范围：0W P(A) < 1.(2) 必然事件的概率：P(E)= 1.(3) 不可能事件的概率：P(F)= 0.概率的加法公式：如果事件A与事件B互

7、斥，则P(AU B) = RA) + P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则 P(A) = 1 - P(B).13 互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是 互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.14.基本事件的特点(1) 任意两个基本事件是互斥的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.15古典概型(1) 定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. 试验中所有可能出现的基

8、本事件只有有限个. 每个基本事件出现的可能性相等.A包含的基本事件的个数(2) 古典概型的概率公式：P(A戸基本事件的总数.16.几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)几何概型的概率公式：P构成事件A的区域长度面积或体积P(A)试验的所构成的区域长度 面积或体积*17条件概率及其性质事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B| A)来表示，其公式为P(B|A) =n ABn A(1)对于任何两个事件 A和B,在已知事件A发生的条件下,(2)条件概率具有的性质： 0< P(B|A)W 1

9、; 如果B和C是两个互斥事件，则P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A).18. 相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响，则称A B是相互独立事件.若A与B相互独立，则 P(B|A)= P(B),P(AB)= P(B|A)P(A)= P(A)P(B).若A与B相互独立，则 A与B , A与B, A与B也都相互独立.若P(AB)= P(A)P(B)，则A与B相互独立.19. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X, Y, E, n表示.所有取值可以列出的随机变量，称为离散型随机变量.20. 离散型随机变量的分布列及其性质(1) 一

10、般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 X1, X2,，Xi,，Xn , X取每一个值xi(i = 1,2,n)的概率 P(X= xi) = pi,则表XX1X2XiXnPP1P2PiPn称为离散型随机变量 X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:pi> 0(i= 1,2，n);n1pi = 1.21.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1 pp其中p= P(X= 1)称为成功概率.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件X = k发生的概率为P(X = k)=k n kCM CN M

11、,k= 0,1,2,m,其中 m = min M , n,且 n< N , M < N , n , M , N X01mP0 n 0 C M C N MC NC "Ml CnN-1MC NCTM CVMiCNCNN*，称分布列为超几何分布列(3) 二项分布 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试 验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都 是一样的.在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，贝U P(X = k)= Cpk(1 p)n k(k= 0,1,2

12、，n)，此时称随机变量 X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率.22离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X的分布列为XX1X2XiXnPp1p2pipn<1>均值：称E(X)= X1p1+ X2p2+ Xipi+ xnpn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映 了离散型随机变量取值的平均水平.n<2>方差：称D(X) = p 1 (Xi E(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值E(X) 的平均偏离程度，其算术平方根D X为随机变量X的标准差.<3>均值与方差的性质(a，b为常数).1 E aX+ b =2 D a

13、X + b =<4>两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布XB(n, p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1 P)np(1 p)23. 正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线 x= 对称；1(3) 曲线在x =卩处达到峰值&2n ；曲线与x轴之间的面积为1 ；当b定时，曲线随着 卩的变化而沿x轴平移；(T当一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越"瘦高”，表示总体的分布越集中;越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆) Pg b< XW 叶 b= 0.682

14、 6； Pg 2 b< XW 卩+ 2 b= 0.954 4； Pg 3b< XW 卩+ 3 b= 0.997 4.24. 简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有 N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样本(nW N), 且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.(2)常用方法：抽签法和随机数表法.25. 系统抽样(1) 步骤：先将总体的 N个个体编号； 根据样本容量n,当N是整数时，取分段间隔k = N；nn 在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号1(1 w k)； 按照一定的规则抽取样本.(2) 适用范围：适用于总体中的个体数较多

15、时.26. 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一 定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. 适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.27. 三种抽样方法的比较别各自特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体数较少抽样过程 中每个个 体被抽到 的可能性相等系统抽样将总体平均分成几部 分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样 时，采用简单随机 抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，按各 层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统

16、抽样总体由差异明 显的几部分组 成28.作频率分布直方图的步骤(1) 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).(2) 决定组距与组数.(3) 将数据分组.(4) 列频率分布表.(5) 画频率分布直方图.29. 频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折 线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.30. 茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指 的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.31 .样本的数字特征

17、(1) 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2) 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.a 1 + a2 +，+ a n平均数：把n 称为a1, a2,，an这n个数的平均数.(4) 标准差与方差：设一组数据X1, X2, X3，xn的平均数为X，则这组数据标准差为 S= "1 X1-X2+X2-x2+XnX2方差为 S2= 1(X1 X )2 + (X2 X )2+-+ (Xn X )232. 变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同， 相关关系是一种非确

18、定性关系.(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相 关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.33. 两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两 个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.A AA回归方程为y = bx+ a,其中A A,a = y b x .tx21 = 1 I通过求Q=.工(yi- bxi- a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本=I数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.(4) 相关系数：当r>0时，表明两个