概率论与数理统计习题与答案_

1、概率论与数理统计习题及答案第八章1 设X! ,X2丄,Xn是从总体X中抽出的样本，假设 X服从参数为 的指数分布， 未知，给定°0和显著性水平(01)，试求假设Ho :o的2检验统计量及否定域.解 Ho :n2 onX，查2分布表求出临界值2(2 n)，2选统计量2 o Xii 1记n%2 Xii 16件得尺寸数则2(2 n)，对于给定的显著性水平使P(%2(2 n)因%2 2 2 2 2，所以(2n)(2n)，从而P%2(2 n) P 22(2 n)可见Ho :2 20的否定域为(2n).2 某种零件的尺寸方差为21.21，对一批这类零件检查据(毫米):32.56, 29.66,

2、31.64, 3O.OO, 21.87, 31.O3。设零件尺寸服从正态分布， 问这批零件的平均尺寸能否认为是32.5O毫米( O.O5).解问题是在 2已知的条件下检验假设Ho：32.5OHo的否定域为|U | U /2其中X 32.50 29.46 32.50u tn2.456.771.1U0.025 1.96，因|u| 6.771.96，所以否定H。，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。3 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平 0.05下，能否认为这批 产品的指标的期望值 不低于1600。解问题是在'已知的条

3、件下检验假设H0 :1600H0的否定域为uU /2，其中UX 16001580 16005.11.02.100100U0.051.64.因为u1.02"I.64u0.05，所以接受 H 0，即可以认为这批产品的指标的期望值不低于1600.4 一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为 950小时，已知该元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，问这批元件是否合格？ (0.05)2解 设元件寿命为X，则X N( , 100 )，问题是检验假设H 0 ：1000 . H 0的否定域为U u0.05，其中X 1000950 1000 u.-

4、2552.5100U0.051.64因为u 2.51.64 U0.05所以否定H。，即元件不合格.5 某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为 X(%):3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01) ?2解冋题是在未知的条件下检验假设H。:3.25H0的否定域为|t| t /2（4）2 1 5 2X 3.252, S （ Xi 5 X ）0.00017, S 0.0134 i 1t°.005（4）4.60413.2523.250.0132.240.345因为|t | 0.3454.6041t 0.005 所以

5、接受H。，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.6 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05;已知包重服从正态分布)？2 1 9 2解 X 99.98，S2( (Xi X)2) 1.47，S 1.21，8 i 1问题是检验假设H ° :100H。的否定域为|t| (8).其中X 100 -99.98 100 小 cct<930.05S1.21t

6、0.025(8)2306因为|t|0.052.306t0.025 ( 8)所以接受H。,即该日打包机工作正常.7.按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素 C的含量不得少于21毫克， 现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素 C的含量(单位：毫克)如下22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16,23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。 (0.025)解 设X为维生素C的含量，则X N( ,2), X 20, S2 419.625,S 20.485, n 17.问题是检验假设

7、 H。：21.(1) H。：21.(2) 选择统计量t并计算其值：t X 2120 21 后0.20S20.485(3) 对于给定的0.025查t分布表求出临界值t (n) 如25(16) 2.2.(4) 因为 気25(16)2.200.20 t。所以接受H。，即认为维生素含量合格.&某种合金弦的抗拉强度 X N( , 2)，由过去的经验知10560 (公斤/厘米2),今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512, 10623, 10668, 10554,10776, 2X 10631.4，S26558.89，1056010707， 10557， 1058

8、1， 10666，问这批弦线的抗拉强度是否提高了？(解H。:10670.0.05)S 80.99，n 10.问题是检验假设(1)H0 :10560选统计量并计算其值.t X 10560 石 10631.4s 'n80.9910560 J10(3)(4)2.772对于 0.05，查t分布表，得临界值t (9) t°.05(9)1.833.因t0.05(9) 1.833 2.772 t，故否定H。即认为抗拉强度提高了。9从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得 S 0.025，问该批轴料椭 圆度的总体方差与规定的20.0004有无显著差别？(0.05，椭圆度服从正态分布)。S 0

9、.025,H。： 2(1)选统计量(3)对于给定的2/2(14)2因为 0.9752(4)体方差与规定的,S22022并计算其值2(n 1)S214 0.00065 22 7520.0004.20.05，查分布表得临界值：.°25(14) 26.119,125.62922.7520.00065, n 15，问题是检验假设0.0004 .H0 : 2 0.00040.0004无显著差异。10 从一批保险丝中抽取/2(14)20.02520.975 (14)26.119所以接受H。，即总5.629 .10根试验其熔化时间，结果为42， 65， 75， 78， 71， 59， 57， 68

10、， 54， 55.0.05，熔化时间问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？( 服从正态分布).2H °:80 . 2解 X 62.4，S 121.82, n 10,问题是检验假设 (1) H。： 2 8002;(2 )选统计量 2并计算其值80。(3)(4)22 (n 1)S9 1282 13.7050 802对于给定的0.05，查分布表得临界值2 2(n 1)0.05 (9)16.919.因 213.705 16.91920.05 ,故接受H。，即可以认为方差不大于对两种羊毛织品进行强度试验, 第一种 第二种所得结果如下138, 127, 134, 125;130, 1

11、34.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分 布。(134, 137, 135, 140,0.05)Y N(1, 2),二种织品的强度分别为X和丫，则X N (设第一、-2)131,135,H。：s2Y问题是检验假设36.667, n1435.2, n26n2(1)H。：选统计量T并计算其值.X 丫(n1 1)S2 (n2 1)3 n1n2n1 n2131 1353 36.6675 35.24 64 6n-in21.295(3 )对于给定的0.05,查t分布表得临界值t /2 (n1n22)t°.025 (8)2.3069 .(4)因为 |t| 1.29

12、52.3069t°.025(8)，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。12 .在20块条件相同的土地上, 其产量(公斤)分别为同时试种新旧两个品种的作物各十块土地,旧品种 78.1,72.4, 76.2, 74.3, 77.4,78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3;新品种 79.1,81.0, 77.3, 79.1,80.0,79.1,79.1,77.3, 80.2, 82.1;，问新品种的产量是否设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等）咼于旧品种？ （0.01）解设X为新品种产量，丫为旧品种产量；X N（ 1,),Y N(2 ,2），冋题是检验假

13、设H0：12X79.43 , S22.2246 ,m 10Y76.23 , S；3.3245 ,n2 10选统计量T并计算其值：TX 丫山门2( n1n22)-.(n!1)S2 52 1)s2 ni n279.43 76.2318004.2956 (2.2246 3.3245) 9，20对给定的0.01，查t分布表得临界值t (18) t0.0!(18) 2.5524 .因为T 4.29562.5524 t°.°1(18)故接受H。，即新品种高于旧品种13 两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得2 2S10.345, S2 0.357，假定零件长度服从正态

14、分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？（0.05）2解 S10.345,n16,S；0.357,n2 9冋题是检验假设H。：选统计量F并计算其值FS20.345 ,20.9664S20.357对给定的0.05查 F 分布表得临界值F /2(5,8)F°.025(5,8)4.65 ,F0.975 (5,8)10.1479.21226.76因F0.975 (5,8)0.14790.9664 F 4.65F0.025(5,8)故接受 H 0，即无显著差异13 甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得 直径（单位：mm ）为甲：20.5, 19.8,

15、19.7, 20.4, 20.1,20.0, 19.0, 19.9;乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（ 分布。）解设甲加工的直径为0.05，产品直径服从正态X，乙为 丫. X N（2),Y N( 2, 2).2X 19.925 , S20.2164 , niY 20 ,问题是检验假设H。选统计量对于给定的F0.975 (7,6)S；F并计算其值0.3967 , n2s 0.2164F 0.5455.S> 0.39670.05，查F分布表得临界值F /2(7,6)F°.025(7,6)5

16、.70 ,-0.19535.12因 F0.975(7,6)0.1953 0.5455 FF0.025 (7,6)5.70 ,故接受H°，即精度无显著差异.14 一颗骰子掷了 120次，得下列结果:点数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？（0.05)解用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为 题是检验假设2, 3,4,5, 6。问H。： p P(X i)i 1,2,L,6.这里pi 0120,npi0 20, A i故(口 n pQ2nppg 20)22096 4.8202查分布表,2 2得临界值（k 1）0.05（5）11.071因为4.8 1.07120.0

17、52故接受Ho，即骰子匀称。15 .从一批滚珠中随机抽取 50个，测得它们的直径（单位：mm ）为15.015.815.215.115.914.714.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布？ （0.05）解 数据中最小的为14.2，最大者为15.9，设

18、a14.05, b 16.15，欲把a,b分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为値15 14.°50.3 得7分 点 y 14.35, y2 14.65, y3 14.95, y4 15.25, y5 15.55, y6 15.85.它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：iyi 1 yi114.353214.3514.655314.6514.9510414.9515.2516515.2515.558615.5515.856715.852设钢珠的直径为X，其分布函数为F（x），我们的问题是检验假设:H。： F(x)(x ).其中，2未知.在H0成立之下,和2的极大似

19、然估计为卩X 15.1 ,/ 1 n2口-(Xi X)0.1849 ,卩 0.43.n i 1在上面的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组，即分成组，分点为 ti 14.65, t2 14.95 , t3 15.25 , t4 15.55.14 65 15 1 F(t1 )() 1(1.04) 0.14920.4314 9515 1F) F(t1)()0.14920.431(0.35)0.14920.21415.25 15.1 F(t3)F&)() 0.36320.43(0.35)0.36320.273615 5515 1F(t4)F(t3)( 55“)0.43(1.04)

20、0.6368 0.21815 5515 11 F(t4)1( )0.14520.43P1虞P3P4P5统计量2 5(n- 2(2)i 1 n憐的值计算如下表:iPinpim n pi(nin pi)2(nin Pi)2/ n p180.14927.460.540.29160.039092100.214010.7-0.70.490.045793160.273613.682.325.38240.39345480.218010.9298.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997即2 1.24997，对于 0.05查2分布表得

21、临界值2(2) 爲(2) 5.991.2 2因 1.24997 5.991，故接受H。，即认为钢珠直径服从正态分布 N(15.1, 0.1849).16 设A J 丄丄)，i 1,2,3, A(-, 2)，假设随机变量X在(0, 2)2 2 2上是均匀分布的，今对X进行100次独立观察，发现其值落入 A (i 1,2,3, 4)的 频数分别为30, 20, 36, 14,问均匀分布的假设，在显著性水平为0.05下是否可信。解检验假设：H 0 : X U 0, 2检验计算表如下：iPinPininPi(ni np)2np1301425512201425844141425

22、-14.841001100011.68统计量2 4(nLJ2Rl 11.68,22(4 1)i 1npi2对于 0.05,查得 0.05(3)7.815因为211.687.815o.05(3)所以不接受H。，即不能相信X U 0,2.习题九1.一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水 试验，设每种工艺处理 4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩 水 率AA2AAA514.36.16.59.39.527.87.38.38.78.833.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响（0.01）解m5,n1 n2 n3

23、 n4n54, n 20，查附表 5得Foi（m1,nm） %1（4, 15）4.89.序号AAAAA5mi 114.36.16.59.39.527.87.38.38.78.833.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8nX 八ijj 121.821.731.635.337.5147.92nix“ijj 1475.24470.89998.561246.091406.254597.0321 Xij ni j1131.82112.24252.34316.03358.491149.25niXi2j 1131.82112.24252.34316.03358.491170.92P

24、QRSeSasI2(147.9) 201093.721149.251170.92R Q21.67Q P55.53R P77.2方差分析表方差来源平方和 自由度 均方 F值工艺55.53413.88259.6095*误差21.67151.4447总和77.2019因为9.6095 4.89，所以工艺对缩水率有显著影响2 灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽 样进行使用寿命的试验，得到下表的结果(单位：小时)，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？ (0.01)试验号寿命AA2AA116001850146015102161016401550152031650164016

25、001530416801700162015705170017501640160061720一1660168071800一1740一8一一1820一解 m 4, ni 7, n?5, g 8,阳 6, n 26，查附表 5 得F 0.01 (m 1, n m)F 0.01(3, 22) 482为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表、寿命序号AAAA4i 11025-4-9214-5-83540-748102-351015406126872014822niX j 1Xij565829-91242niXijj 1 ij3136336484136121ni 1Xijni j 144

26、8672.8105.12560.1671286.092nX2/'ij j 17349829572642937P1(124)2591.385,Q1286.092 , R 2937261Se16.509SeRQ1650.908 ,Se100SAQP694.707 ,SA1SA 6.947100方差分析表平方和自由度均方F值方差来源配料6.94732.3133.18误差16.509220.727总和23.456251,2,L ,m),因为 F 3.18 4.82 F0.01 (3, 22)，故不显著.3.在单因素试验方差分析模型式(9.2)中，i是未知参数(ii的点估计和区间估计S2解因为X

27、i N( i ,知Se /由定理9.12)，所以i的点估计为？ Xi , i2 2 (n m)，再由定理6.11,2,L ,m.知Xi与ni1 j从而Se(Xj1m(ni 1 2 2 2 2Xi )相互独立，又由 Xj独立，知Xi与S ,S丄,Sm独1)S2与Xi独立，又(Xi皿N(0, 1)由t分布的定义知(Xi ,i"i t(n m)其中SeSe /(n m)对于给定的，查t分布表求出临界值t /2(n m)，使在上式括号将t /2（n m） 1i暴露出来得 i在置信度1Xi t /2（n m）蛍，XiV ni下的置信区间4 在单因素试验方差分析模型式（9.2）中， 2是未知参数

28、，试证2 S22是2的无偏估计，且2的1下的置信区间为n mS S2/2 （n m） 'i2 /2（n m）'2证：因为Se/2 （n m），所以 E（Se/2）n m，即ESe（nm） 2于是E L1ESe2n mnm故-S是2的无偏估计；n m2因为Se /2（n m）所以对于给定的2，查2分布表求出临界值2 2/2（ n m）和 1 /2（n m）使得P（12 /2（n m）Se22/2（nm） 1式中将 2暴露出来得P -Se2Se一 12/2（n m）2 /2（n m）故2的置信度为1下的置信区间为SeSe/2（n m）1 /2（n m）证毕5验证式(9.24)的解0

29、$, $能使Q(a,b)(yia bxi )2达到最小值.证：玄$是函数Q(a, b)(yii 1bxi )2的驻点而AC B2i 12qn2i 1nXi2qb2Xi2Xi0，而A0,由柯西不等式知而Q(a,b)存在最小值，故 玄$能使Q(a,b)达到最小值.0所以($, $是Q(a,b)的极小点,6利用定理9.2证明，在假设 H°:b 0成立的条件下，统计量b 一t -TLxx t(n 2)并利用它检验9.2中例1所得的回归方程的显著性(0.01)2$ b .证：因为$N(b,)所以VLxx N(0, 1)Lxx$ t在H。:b 0成立的条件下, Lxx N(0, 1)(n 2)S

30、222(n 2)由t分布的定义知t S(n 2)S22/(n2) t(n2).证毕今利用t统计量检验回归方程的显著性.t -Lxx6.056 6.133S,118.734对于给定的0.01查t分布表得临界值t0.01(10) 2.7638 .因为t 6.1332.738 t°.°1(10)，所以回归方程显著.7利用定理9.2证明回归系数b的置信区间为S $S2), $ t 处 2).Lxx,/ Lxx并利用这个公式求9.2中例1的回归系数b的置信区间(置信度为0.95).解由定理9.2知$Sb、=t(n 2)对于给定的，查t分布表求出临界值t /2(n 2)，使S ；Lxx

31、 t /2(n 2)1将 b暴露出来得s/2(n 2)rbV Lxx下的置信区间为P t /2（n 2）在上式的大括号，P$ t$ t /2（n 2）故b的置信度为1t /2（n2=-.Lxx$ t /2（n.Lxx证毕在例 1 中 $ 27.156 n 12，Sto.o25(1O)2.228.所以b的置信度为0.95下的置信区间为10.897, Lxx 6.056(17.291, 37.021)&在钢线碳含量x(%)对于电阻y(20 C时，微欧)效应的研究中，得到以 下的数据X0.010.300.400.550.700.800.95y1518192122.623.826设对于给定的x

32、, y为正态变量，且方差与x无关.(1 )求线性回归方程$ $ $x;(2) 检验回归方程的显著性；(3) 求b的置信区间(置信度为0.95);(4) 求y在x0.50处的置信度为0.95的预测区间.解我们用下表进行计算序号xy2 x2yxy10.10150.012251.520.30180.093245.4345670.400.550.700.800.95192122.623.8260.160.30250.490.640.9025361441510.76566.446767.611.5515.8219.0424.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.77x 0

33、.543,y20.777222.595Lxxi 1x7x2.0640.531,7Lyyi 12Yi7y23104.23019.7584.45,7Lxyi 1x yi 7xy85.6178.9476.663 ,(1)$ 匕 12.55, a y 13.95,所以回归方程为$ 13.95 12.55x.(2 )我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方差分析表方差来源平方和自由度均方F值回归U 83.621U 83.62U503.61 Q剩余Q 0.8315Q 0.166总和Lyy 84.456其中 U$Lxy， Q Lyy U , Q .n 2查F分布表求出临界值 Fom(1,5) 16.62 因

34、为 F 503.61 16.62Fo.°1(1,5),所以回归方程高度显著.(3)由第7题知，b的置信度为1下的置信区间为s $St /2(n 2)=, $ t /2(n 2)=此处 b 12.55, n Lxx- Lxx7,0.05 ,to.025 (5)2.5706 , S2(Lyy $Lxy)/(n 2)0.166.所以b的置信度为0.95下的置信区间为(11.112, 13.987)(4) n 7, X 0.53, Lxx 0.531, s 0.407, t0.025(5) 2.5706, x00.50.(xo) t /2(n 1)S 11(X。x)2nLxx2.5706 0

35、.4071.12toC测得溶解于11(0.5 0.543)270.531_20.225$013.95 12.55 0.5故y在x 0.50处的置信度为0.95的置信区间为（$0（0.5）, $0（0.5） （19.105, 21.345）9.在硝酸钠（NaNOs）的溶解度试验中，对不同的温度 100ml水中的硝酸钠质量 Y的观测值如下：ti0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1从理论知Y与t满足线性回归模型式（9.20）（1 ）求丫对t的回归方程；（2） 检验回归方程的显著性（0.01）;（3） 求Y在t25 C时的预测

36、区间（置信度为0.95）.解计算表如下序号tiyiti22 yiti yi1066.704448.8902471.0165041.0028431076.31005821.6976341580.62256496.36120952185.74417344.491799.762992.98418630.412694.173699.912969980.013596.4851113.6260112904.965793.6968125.1462415560.018506.8234811.81014476317.8224646.6t 26, y 90.22 2Lttti9t 10144 6084 4060,

37、i 19Ltytii 1Vi9fy24646.621106.83539.8 ,Lyy9i 12 2yi 9y76317.8273224.363093.46bLty0.87187,a y$ 67.5313,LTS2(LyybLty)/71.0307,S 1.0152(1)Y对t的回归方程为$ 67.5313 0.87187t;(2 )方差分析表如下方差来源平方和自由度均方F值回归3086.2513086.253086.25剩余7.2171.031.03总和3093.468=2996.36查F分布表求出临界值F°.0i(1, 7) 12.25因 F 2996.3612.25F°.01(1, 7)，故方程高度显著(3)$067.5313 0.87187 25 89.3281(25)t /2( n2) S2.3646 1.0152 1.05 2.53Y在t 25 C时的置信度为0.95下的预测区间为($0(25),滋 (25) (86.79, 91.85).10 某种合金的抗拉强度 Y与钢中含碳量x满足线性回归模型式(9.20)今实测了 92组数据(Xi , yi )(i1,2,L ,92)并算得x 0.1255, y 45.7989, Lx