导数与微分练习试题答案

1、.专业.专注.word可编辑高等数学练习题第二章 导数与微分第一节导数概念一.填空题1.若 f （X0）存在，则啊心0一 切一30）= -f （Xo）2.右f（Xo）存在,m-Hhf(Xo +h) - f (Xo -h) =2(X0)h-0-啊 X 3" E = 3f(X。).3.设 f (x0) - -2,则 limf(x° 2x) f(X0)4.已知物体的运动规律为S =t t2（米），则物体在=2秒时的瞬时速度为 5 （米/秒）n 15.曲线y二COSX上点（，）处的切线方程为3x.2y二=0，法线方程为3 2ji2一 I 6.用箭头？或？表示在一点处函数极限存在、连

2、续、可导、可微之间的关系，可微可导4 连续=极限存在。二、选择题2.设f (0) =0f (0)lim他x )0f (X)f (x)在(B) f (0)(C)f(0)(D)X处可导，a , b为f(x a ：x)1-f(°) f (x b ：x),a + b(A) f (x)( B) (a b) f (x)(C)(a-b)f(x) (D) f (x)3. 函数在点xo处连续是在该点xo处可导的条件B (A)充分但不是必要(B)必要但不是充分(C)充分必要(D)即非充分也非必要24. 设曲线y =x - X-2在点M处的切线斜率为 3,则点M的坐标为B (A) (0,1)( B) (1

3、,0)5.设函数 f (x) =| sinx|,则f (x)在 x =0处(A)不连续。(B)(C)可导，但不连续。(D)L2xX兰1三、设函数f(X)=为了使函数.ax +bX >1么值。解：由于f ( X)在X = 1处连续，所以(C) ( 0,0)(D) (1,1)B 连续，但不可导。可导，且导数也连续。f (x)在x=1处连续且可导，a , b应取什f(1-)=1 = f (1 ) =a b= f (1)又f (x)在x=1处可导，所以“lim"i_x_1ax b - (a b)x 1=a故求得 a = 2 , b-1四、如果f (x)为偶函数，且f (0)存在，证明f

4、 (0)=0。解：由于f(x)是偶函数，所以有 f(x) = f(-x)f(0limf(xf(0)x0limf("f(°)x j0x - 0令乜竺严一即 2f (0) = 0,故 f (0) = 0五、证明：双曲线xy =a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。a2a2解：y = ,y =2在任意(Xo,yo)处的切线方程为XX2ay-y。2(x-xo)Xo2a2Xo则该切线与两坐标轴的交点为：(0,竺)和(2Xo,O)所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为丝2 2a2，( a是已知常数)Xo故其值为定值.第二节求导法则、填空题4.y = (2 secx)si

5、n x,y = cos(2ex) , y =y = tan2 x 2cosx 1 ； y = e"-2exs in(2 ex);ea-=1 ntan，: = csC ;2 w =ln(sect tan t) , w = sect-sinx,y = - cosxesin2x 2xcos2x - sin2x y =, y =xr = x log 2 x In 2 , r = log 2 x log 2 ey = arccos(x2 x),2x x1-(x2 x)2.专业.专注.4word可编辑§ (1 八"IxX2(x2c)=1Xx26. ln tanx=;2ln(x

6、 1X2) C二、选择题sin xy=xsin x -cosx2x(D)x3cosx-x2 sin2.y=cosx -12cosx 1(B)3.4.5.secex tan e1 x2(B)sin x1 cosx1 cosx2cosx -1(B)(B)xsecey =11x2(B) 2xcosxsin x2x(C)(C)sin x -xs in x1 cosx(D)2cosx -11 cosxtanex(C) ta nex n . 1xf )y = ln c(D)(C) T/2x , x(D) e cot ex2-1y | nx=-(D)-2.专业.专注.word可编辑6. B 1 -x1 x2

7、"A) (x 1)2(B)-22(x 1)(C)2x2(x 1)(D)-2x2(x 1)三、计算下列函数的导数：(1) y=ln(仮)+Mln xy = tan(ln x)解：13l 1八铲(仮)七(ln x)寸x3-21x解:y二 seC(ln x) xy F £(ln x)"313x 3x1se(c(ln x)x.2 1_sin-v.21_sinv_sin21u' = e v (-2sinv2 1 y' =3sec(ln x)sec(lnx) tan(ln x)- x2 11 . 2 in v sin e vv=In (x1x2)解:1 (X

8、.1 匚X2)'X i1 xJ1 _x2 _x 1 -X2(x 1 - X2)四、f (x)可导，求下列函数y的导数dydx(4 )1cos-v解：y = sec3(ln x)A) vx f (x)(1) y = f(e )e ' 丿33sec (ln x) tan(ln x)x1 - x y = arcta n 1 + x1 1 - x1 ()1 (U)2 1 x1 x-11 x22 2(2) y = f (sin x) f (cos x)解：y'二 f'(ex) ex ef(x)f(ex) ef(x) f'(x)=ef(x)exf'(ex)f

9、'(x)f (ex) y = arctanf(x)解：y'二 f'(sin2 x)2sinxcosx2 f '(cos x)(2cos x (_sin x)2 2=sin 2x( f '(sin x) - f '(cos x)(4) y = f (sin x) sin f (x)y - 1 f 2(x)f'(x)V 二 f'(sinx)cosx cos(f (x) f' (x)f'(x)1 f 2(x)二cosx'(sinx) f'(x)cos(f (x)第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、

10、填空题设 y =1 xey，则 y =-2 y2.设 r = tan(r r)，则 r = - csc2 (vr).3.22y . x y设 In . x y= arctan贝U y =xx _ yx =et si nty = e costdv cost-sint，则翌=dx sint + cost二、选择题1.由方程sin y xey =0所确定的曲线y(x)在(0 ,点处的切线斜率为(A)-1(B) 1(D) 一 -222.设由方程xy=2所确定的隐函数为y 二 y(x),贝U dyy(A)dx2xy(C)dxx3.设由方程y(B)dx2x1x y sin y = 0所确定的2隐函数为(A

11、)2 -cos y(B)2 sin y2 cosy4.设由方程a(t-sint)所确定的函数为 y = a(1 - cost)y = y(x),(A)-1(B) 1(C) 0y(D) - dxxy =y(x)则在(D)jit :2(D)2 - cosx处的导数为I x5.设由方程xly=ln、1 t2=arcta n t所确定的函数为y =y(x),则史dx(A) 2t(B)(C) 2 ；(D)t.、求下列函数的导数dydx2 2 21. x3y3 二 a33丄x 二 acos t2. 3 y = asin31解:方程两边同时对x求导，得3as in21 costy2tant-3a cos t

12、sin tyex 1=04. y - xsin x 1 - ex解：方程两边同时对x求导，得4In y In2x 丄 Insinx24(4 ex)y 2xy 若 y=f(t2)，且 f "(t)存在，则 dy = 2tf'(t2) dt 3x 2y 2y yex yex = 0丄 jcosx el_y 2x 2sinx 4(1-ex)3x2xy ye22 x1 3x y e寸二 xsinx - ex ( 2cotx -2x4(1 ex)四、求曲线丿x -exsin 日 +1=0y 日3 20 =0在v -0处的切线方程，法线方程解：dy = (3J 2)drdx - exdx

13、 si" ex cosd = 0ex coSdQ从而贅(32)(1-5)dxe coS当日=0,x = -1,y = 0,史| 曲=2edx故 切线方程为 y = 2e(x，1)1法线方程为 y(x 1)2e第四节高阶导数厂=|- 2si -coS一、填空题1.设 r=°cos° ,则 r = |cos -%in°2 .设 y = ln(x 1x2),则 y =1x2 3/2(1 x )y= 2f'(t2)+4t2f''(t2)dt24.设y =1 xey，则y丄丄2 yy=兽(2 - y)'x=f(t) y =t _ar

14、ctgt且巴二丄,dx 2则咚。dx2 4t6.设 xn e2xJ,则(n)y=n! +2n e2x J设 f(x) =x(x1)(x2)(x2001)，则 f"(0) = 2001!.二、选择题(A) 2Inx(B)2ln x 1(C) 2lnx 22ln x 32.设 y = f (u),ex则d2ydx2(A ) e2xf (u)u2f (u) uf (u)(C) e2 f (u)u f (u) uf(u)(n)二(C)n 1-2n sin2x (n -1)-n 1二2n 1 sin2x (n -1)-n -1n 1兀(B) 2n cos2x (n-1)-n 二(D) 2n s

15、in2x (n -1)-n-14.xy 二 xe(n)y(A) ex(x n)x(B) e (x -n)(C) 2ex(x n)nxxed2y、设f ”(x)存在，求下列函数y的二阶导数 邑4dx1 - y 二 f(ex)解：也二 f'(ex) ex dx礬=f''(ex) e2xf'(ex) exd x2 y Rn f(x)解:史二丄 f'(x)=3 dx f(x)f(x)2 2d y f''(x)f(x) -f'(x)2 2d xf(x)四、求下列函数y的二阶导数d1 2dxx =acost 1.y =bs int解：y =d

16、bC0tt一 asintad2ydx2二-(cottf-a-a sin tb-a2 sin3t2. arctan，二 Inxy2x解:方程两边同时对x求导，得y =(1 y )xK y )(1y )(x y)2x2 2y2(x-y)3y''22(2x-3)3III23(2x-3)d(ln secx tanx) = (tan x sec2 x)dx一(-2)( -3)( -4)245(2x-3)依此类推，得y(n)2nn!(2x-3)n1第五节函数的微分一. 已知y = x2 -x ,计算在x = 2处(1) 当 x = 0.1 时，：y = 0.31， dy = 0.3(2)

17、当人x=0.001 时，人y= 0.003001, dy = 0.003。； 17121二. (1)函数y = arcsin 1 - x2在x处的一次近似式为 f (x)(x )23 V32(2) 函数 y 二 e" cos(x-1)在 x=0处的一次近似式为 f (x) cos1-(cos1-sin1)x(3) 计算近似值4 83354三. 填空(求函数的微分)1、d(22si n" = (4rsinr 2 cos )dI!2、d (ln(cos . x)= - tan、. x d、x3、d(ln2(1-x) = 2 ln(1 - x)dxx 11i5、d (f (arc

18、tan _) = _x1 f'(arctan )dx 1 xx cotxd(sin x) d (cos x)d sin xxcosx - sin x2x32(x3 2x6 x9)二dx31 -4x3 3x6四将适当的函数填入下列括号内，使等号成立。L23(1). 、. xdx = d (x2c );3）；(2). sin(3x-2)dx 二 d (cos(3x2) c3(3). (3x2 2x)dx = d ( x3 x2 c）；.e'x-2xc );dx=d(丄 arctanc aa）；(6). 2_dd (2x +32(7). ex d(x2) = d (1ln(2x 3) c2ex - c );）；(8) cos(2x)dx 二 d (