圆锥曲线中焦点三角形问题

1、. 圆锥曲线中焦点三角形问题 焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上任意一点组成的三角形，以这个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题。焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容，本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法。 一、 周长问题 22yx例1 ?1?AFFF、F0)b?(a?A的是椭圆上任一点，的两个焦点，求是椭圆 211222ab周长。 分析 由于?AFFAF、FF、AF构成，故考虑运用椭圆的定义。 的三边由211212|2a?2c据椭圆的定义有解 FAF2c?=2a|F|?|AFF+|AF?。， ，则的周长为22121122yx变式 ?1F、FAF0)b?a(?A的延长

2、是椭圆上任一点，是椭圆的两个焦点， 21122abB，求线交椭圆于点?ABF的周长。 2解 Q|AF|?|AF|?2a|BF|?|BF|?2a,2112?ABF?|AB|?|AF|?|BF|?|AF|?|AF|?|BF|?|BF|?2a?2a?4a 2122212小结：解此类题关键是运用圆锥曲线的定义。 二、 面积问题 22yx?2 例1?FF、?FPF?0)?b(aP 是椭圆上任一点，的两个焦点，是椭圆 212122ab求?AFF的面积。 21解 设|PF|?m,|PF|?n 21m+n=2a。由椭圆定义可知， 在?PFF中，运用余弦定理有 212222? c4F?Fmn?2mncos 21

3、22?bb222?sinmn2?2?sin?btanmn?S 可得。），（1 F?PF?2cos?1?cos121 由此类比双曲线可得到 精选范本. 22yx?1?F、F?FPF?0)?b?(aP求是椭圆上任一点， 的两个焦点，是椭圆212122baFAF? 的面积。21?2cotb?S? 2）（F?PF221y轴上的椭圆和双曲线同样成立。）对于焦点在公式（1）、（2 求解圆锥曲线中小结：此结论一般称为焦点三角形的面积公式，一般运用于客观题的解题。如有些选择题或填空题，的面积问题一般会利用余弦定理来求解。在解圆锥曲线的问题中，这在考试特别是高考中，是非常不可取的。运用特,果用常规方法去解题，无

4、疑是小题大做 殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率。22yx例3 已知双曲线方程为1?FF、P是双曲线上任一点，是双曲线的两个焦点，2143?AFF60?FPF?的面积。 求2121分析 若是客观题，可直接代入焦点三角形面积公式得： ?2?3?3?Sb?cot33 F?PF221 三、最值问题22yx例4 已知椭圆方程为?1(a?b?0)F、FP为椭圆上分别为其左右两焦点，2122ab 精选范本. ?任意一点，PF=?F ， 21? ）的最大值；求（1）（2F?PF 面积的最大值；21）（3F?PF 的周长的最大值。21am+n=2设解 （1）法一 n?m,|PF|?|PF| 由椭圆定义可

5、知，。212222?在FPF? c?FFm4?n?2mncos 中，运用余弦定理有 21212b2?1?cos? mn mn?2a?m?nQ22nm?，又a?mn? 时等号成立） （当且仅当2b?cos)(0,y?单调递减，时，又因当 1)?arccos(2 2a22bb?nm?取得最大值时，且在1)1)?arccos(2arccos(2? 或者 22aa?na?m?Q2am?n? 取得最大值。又时，?P 取得最大值。位于椭圆短轴端点时，即)(, ex?aPF?a?exPF， 设法二 yPx 由焦半径公式可知：,ooo11o22222cPF?)4?2PF?(PFPFFPF?PF?F211221

6、11?PF?F?在?cos 中，21PF2PFPFPF221212222b2ba4?4c411= ?1? 2222PFPF2(a?ex)(a?ex)a?exo21oo22a?a?x?a?x 0o?P取得最大值。位于椭圆短轴端点时，即 PPH?h作2）过点（FFH。令的垂线，垂足为 211FFg?Sh 2?PF1F221hc2|FQ|F?为最大时，三角形的面积取得最大值。 ， 当21 精选范本. P 位于椭圆短轴端点时，三角形面积取得最大值。即当|ca?22）据椭圆的定义有（3FPF2c+?PF=2a|FF|?PF 的周长为，则，。212121即F?PF 的周长无最大值。21解焦点三角形有关的最

7、值问题，主要是利用圆锥曲线的第一定义，并借助正弦定理、:小结 余弦定理以及均值定理和函数的单调性等来解决。 四、离心率问题22yx5 例1?FF、0)?(a?bP是椭圆上任一点，是椭圆的两个焦点，2122ba?PF?F?F,?PF ，求椭圆的离心率。1212 PF?PFPFPFFF212211Q? 解 ?sinsin?sinsin?sin()?coscos?)csin(?22 ?e? ?sinasin?coscos22小结：已知“焦点三角形”的两个角，求其离心率，一般利用正弦定理、等比定理、椭圆的 定义及三角函数等有关知识来求解。双曲线也有类似结论。22yx,),01(FPFFF两焦点分别为已

8、知椭圆方程为例6 ?a?b设焦点三角形221122ba,2?FPF中.e1?cos2 则21,?FrPFPF?r?PF证明：设中，由余弦定理得： 则在2211212222222c4)?2rr?r(rr?F?Fr?c?2a21?22111221 ?cos r2rrr2rr2211122 精选范本. 2222c?2c22a2a?.1212 e?1? 命题得证。 r?r2a2221)2( 2PFFFPFFPF且和例7 已知椭圆的焦点是|(1，0)、(1，0)，是为椭圆上一点，222111 的等差中项 (1)求椭圆的方程；PFPPFFF 120°，求(2)若点tan在第三象限，且2112PFFPFF 解：(1)由题设222113bca ，2，又2222yx椭圆的方程为? 1 34PFPFFF ，则60(2)设°11221?e? 椭圆的离心率 2o?sin1sin(180)? ，则? oo?2)60120?sin(?sin3o?)sin(?60? 23 (1cos整理得：5sin)32?3? 353sin5PFF故 ，tantan?tan?21 3?525cos1?11?1