在职研究生考试数学测试练习题

1、实用文档 文案大全 在职研究生考试数学测试练习题 微积分 （1）设)(xy是微分方程xeyxyxy?2)1(的满足0)0(?y，1)0(?y的解， 则20)(limxxxyx?（） （A）等于0. （B）等于1. （C）等于2. （D）不存在. 解2000()()1()1limlimlim(0)222xxxyxxyxyxyxx?， 将0x?代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1yxyxy?，又0)0(?y，1)0(?y，故(0)2y?， 所以20()lim1xyxxx?，选择B. （2 ）设在全平面上有0),(?xyxf ，0),(?yyxf，则保证不等式1122(,)(,)fxyfxy?成

2、立的条件是（） （A）21xx?，21yy?. （B）21xx?，21yy?. （C）21xx?，21yy?. （D）21xx?，21yy?. 解(,)0(,)fxyfxyx?关于x单调减少， (,)0(,)fxyfxyy?关于y单调增加， 当21xx?，21yy?时，112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy?，选择A. （3）设)(xf在),(?存在二阶导数，且)()(xfxf?，当0?x时有()0fx?，()0fx?，则当0?x时有（） （A）0)(,0)(?xfxf. （B）0)(,0)(?xfxf. （C）0)(,0)(?xfxf. （D）0)(,0)(?xfxf. 解【利用数

3、形结合】 )(xf为奇函数，当0?x时，)(xf的图形为递减的凹曲线，当0x?时，)(xf的图形为递减的凸曲线，选择D. （4）设函数)(xf连续，且(0)0f?，则存在0?，使得（） 实用文档 文案大全 （A）在(0,)?内单调增加 （B）在(,0)?内单调减少 （C）对任意的(0,)x?，有()(0)fxf? （D）对任意的(,0)x?，有()(0)fxf? 解 【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)(0)lim0xfxffx?， 由极限的的保号性，(0,)U? ?， 在此邻域内，()(0)0fxfx?，所以对任意的(,0)x?，有()(0)fxf?，选择D. (5) 函数在下列哪个

4、区间内有界. (A) (?1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而， ， 所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. （6）设f (x)在(? , +?)内有定义

5、，且， 2)2)(1()2sin(|)(?xxxxxxf)(limxfax?)(limxfbx? ?183sin)(lim1?xf x42sin)(lim0?xf x42sin)(lim0?xfx?)(lim1xfx?)(lim2xfx)(limxfax?)(limxfbx?axfx?)(lim实用文档 文案大全 ，则 (A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点. (C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元， 可将极限转

6、化为. 【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以， 当a = 0时，即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时， ，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性 与a的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (7) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则 (A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线

7、y = f (x)的拐点 . ?0,00,)1()(xxxfxg)(lim0xgx?xu1?)(lim0xgx?)(limxfx?)(lim)1(lim)(lim00ufxfxguxx?xu1?)0()(lim0gxgx?)0()(lim0gxgx?实用文档 文案大全 (D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设0 <?< 1，当x ? (? , 0) ? (0 ,

8、 ?)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x) 的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (? , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x)， 当x ? (0 , ?)时，f (x) = x(1 ? x)，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (8) 设有下列命题： (1) 若收敛，则收敛. (2) 若收敛，则收敛. (3) 若，则发散. (4) 若收敛，则，都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2)

9、. (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 02)(?xf02)(?xf?1212)(nnnuu?1nnu?1nnu?11000nn u1lim1?nnnuu?1nnu?1)(nnnvu?1nnu?1nnv实用文档 文案大全 【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n ?)，所以发散. (4)是错误的，如令，显然，都发散，而 收敛. 故选(B). 【评注】本题主要考查级数

10、的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (9) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a). (B) 至少存在一点，使得> f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知在a , b上连续，且，则由介值定理， 至少存在一点，使得； 另外，由极限的保号性，至少存在一点 nnu)1(?1nnu?1212)(nnnu u1lim1?nnnuunu?1nn unvnunn1,1?1nnu?1nnv?1)(n

11、nnvu)(xf?0)(,0)(?bfaf),(0bax?)(0xf),(0bax?)(0xf),(0bax?0)(0?xf),(0bax?)(0xf)(xf?0)(,0)(?bfaf),(0bax?0)(0?x f0)()(lim)(?axafxfafax),(0bax?实用文档 文案大全 使得，即. 同理，至少存在一点 使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. （10）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】题设条

12、件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时， ，故应选(). （11）设函数在处连续，且，则 (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 C 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 0)()(00?axafxf)()(0afxf?),(0bax?)()(0bfxf?()yfx?()0,()0fxfx?x?x0xdyy?与()fx0x0x?0dyy?0dyy?d0yy?d0yy?()0,()0fxfx?()fx()yfx?()yfx?0x?00d()d()0yyfx

13、xfxx?fx0x? ?220lim1hfhh?000ff?且?010ff?且?000ff?且?010ff? 且?220lim1hfhh?(0)f(0),(0)ff? ?220lim1hfhh?20lim0hfh?fx0x?200(0)lim()lim0xhffxfh? ?实用文档 文案大全 令，则. 所以存在，故本题选（C）. （12）若级数收敛，则级数 (A) 收敛 . （B）收敛. (C) 收敛. (D) 收敛. 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定 . 【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(). 或利用排除法： 取，则可排除选项（），（）； 取 ，则可排除选项（）.故（）项正

14、确. （13）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是 （）. （）. （）. （） 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为 ，故应选(). 2th?2200(0)1limlim(0)htfhftffht?(0)f?1nna?1nna?1(1)nnna?11nnnaa?112nnnaa?1nna?11nna?112nnnaa?1(1)nnan?1(1)nnan?()()yPxyQx?12(),(),yxyxC?12()()Cyxyx?112()()()yxCyxyx?12()()Cyx

15、yx?112()()()yxCyxyx?12()()yxyx?()0yPxy?12()()YCyxyx?1112()()()()yyxYyxCyxyx?实用文档 文案大全 【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构： . 其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解. （14）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. 【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可. 【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ，即 . 消去，得 , 整理

16、得.（因为）， 若，则.故选（）. 线性代数 （1）二次型222123123121323(,)44448fxxxxxxxxxxxx?的规范型是（）. *yyY?*yY(,)(,)fxyxy?与(,)0yxy?00(,)xy(,)fxy(,)0xy?00(,)0xfxy?00(,)0yfxy?00(,)0xfxy?00(,)0yfxy?00(,)0xfxy?00(,)0yfxy?00(,)0xfxy?00(,)0yfxy?(,)(,)(,)Fxyfxyxy?000(,)xy?0?00,xy?(,)(,)(,)Fxyfxyxy?00,xy?0?000000(,)0(,)0xyFxyFxy?0000

17、000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxy?0?00000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxy? ?000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy?(,)0yxy?00(,)0xfxy?00(,)0yfxy?实用文档 文案大全 （A）222123fzzz?.（B）222123fzzz?. （C）2212fzz?.（D）21fz?. 解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定， 二次型的矩阵122244244A?，其特征多项式 212292224400(9)24400AE?， 故A的特征值为9,0,0，正惯性指数1p?，负惯性

18、指数0q?，选择D. （2）设1211121kAkk?，B是三阶非零矩阵，且ABO?，则（）. （A）当1k?时，()1rB?.（B）当3k?时，()1rB?. （C）当1k?时，()2rB?.（D）当2k?时，()2rB?. 解()1BOrB?，()()3()3()ABOrArBrBrA?， 1()3()rBrA?. 当1k?时，()1rA?，1()2rB?，排除A，C， 当2k?时，122033111111221003A?，()3rA?，1()0rB?，矛盾， 排除D，选择B. (3) 设阶矩阵与等价, 则必有 (A) 当时, . (B) 当时, . (C) 当时, . (D) 当时, .

19、 D 【分析】利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得. nAB)0(|?aaAaB?|)0(|?aaAaB?|0|?A0|?B0|?A0|?BAB)()(BrAr?实用文档 文案大全 【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. (4) 设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩

20、. 【详解】因为基础解系含向量的个数=, 而且 根据已知条件于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). 【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. （5）设,，若矩阵相似于，则 . 【答案】2. 【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为 3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，. 0|?AnAr?)(ABnBr?)(0|?BnA,0*?A4321,bAx?0?Ax)(Arn?.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nArnArnArnAr,0*?A)(Arn1?nbAx?1)(?n

21、ArA*A(1,1,1)T?(1,0,)Tk?T?300000000?k?T?300000000?T?T?T?1300k?2k?实用文档 文案大全 （6）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 (A)若线性相关，则线性相关. (B)若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. A 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记，则. 所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(). （7）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （）. （）. （）. （）. 【分

22、析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得 ， 而，则有.故应选（）. 12,s? ?nAmn?12,s? ?12,sAAA? ?12,s? ?12,sAAA? ?12,s? ?12,sAAA? ?12,s? ?12,sAAA? ?12(,)sB? ?12(,)sAAAAB? ?12,s? ?()rBs?()()rABrBs?12,sAAA? ?AABB1?C110010001P?1CPAP?1CPAP?TCPAP?TCPAP?110110110110010,010010010001001001001BACBA?1110010001P?1CPAP?实用文

23、档 文案大全 概率论 （1）设随机变量X与Y分别服从12N?（，）和2N（1，），且X与Y不相关，1kXY?与2XkY?也不相关，则（）. （A）120kk?.（B）120kk?. （C）120kk?.（D）120kk?. 解X与Y不相关(,)0CovXY?， 1kXY?与2XkY?不相关 121122(,)(,)(,)(,)(,)CovkXYXkYkCovXXkkCovXYCovYXkCovYY? 1212122200kDXkDYkkkk?，选择A. （2）设12,(2)nXXXn ?为来自总体(0,1)N的简单随机样本，X为样本均值，2S为样本方差，则（） （A）(0,1)nXN.（B）2

24、2()nSn?. （C ）)1()1(?ntSXn.（D ）2122(1)(1,1)niinXFnX?. 解221()()DnXnDXnnn?，排除A， 2222(1)(1)(1)nSnSn?，排除B， 1(1)/1XnXtnSSn?，排除C，选择D. (3)设，,为来自二项分布总体 的简单随机样本，和分 别为样本均值和样本方差，记统计量，则 . 【答案】 【解析】由. 1X2X n X(,)BnpX2S2TXS?ET?2np222()(1)ETEXSEXESnpnppnp?实用文档 文案大全 （4）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 则必有 (A)(B) (C) (D) A 【分析】利

25、用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】由题设可得 ， 则，即. 其中是标准正态分布的分布函数. 又是单调不减函数，则，即. 故选(A). (5) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于 (A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 . 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考X211(,)N?Y222(,)N?1211PXPY?12?12?12?12? ?12112211XYPP? ?12112121

26、? ?1211?()x?()x ?1211?12?X)1,0(N)1,0(?uuXP?xXP?|x2u21u ?21u?u?1xXP?| |21xXP?实用文档 文案大全 查. 微积分 （1 ）设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn?，若1lim()xfx?与1lim()xfx?都存在，那么a?_，_b?. 解当1x? 时，21222()lim1nnnxaxbxfxaxbxx?， 当1x? 时，23222111()lim11nnnnabxxfxxxx?， 1lim()xfx?存在11lim()lim()xxfxfx?，即1ab?， 1lim()xfx?存在11lim()lim()

27、xxfxfx?，即1ab?， 解得0,1ab?. (2) 若，则a =_?，b =_?. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为，且，所以 ，得a = 1. 极限化为，得b = ?4. 因此，a = 1，b = ?4. (3) 设，则 . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称5)(cossinlim0?bxaexxx5)(cossinlim0?bxaexxx0)(cossinlim0?bxxx0)(lim0?aexx51)(coslim)(cossinlim00?bbxxxbxaexxxx?21,12121,)(2xxxexfx21)1(2

28、21?dxxf实用文档 文案大全 区间上奇偶函数的积分性质即可. 【详解】令x ? 1 = t， . （4 ）222222021limcos()xyrxyrexydxdyr?_?. 解由积分中值定理知，存在(,)D?：2222xyr?，使得 222222222200211limcos()limcos()22xyrrxyrexydxdyerrr?. （5）设(,)zzxy?由方程()()xyxfzygz?确定，且()()0xfzygz?，则 ()()_zzxgzyfzxy?. 解方程为(,)()()0Fxyzxfzygzxy?， ()()()xzFzfzyxFxfzygz? ，()()()yzF

29、zgzxyFxfzygz?， ()()zzxgzyfzxy? ()()()()0()()()()yfzxgzxgzyfzxfzygzxfzygz?. （6）设)()(xfxF是的一个原函数，且1)0(?FxxfxF2cos)()(,?，则 dxxf?0|)(|_?. 解()()Fxfx?=，2()()2cos2Fxfxdxxdx?，2()()2cos2Fxfxdxxdx?， 2()sin2FxxC?， ?121121221)()()1(dtxfdttfdxx f21)21(0)1(12121212?dxdxxex实用文档 文案大全 又(0)1F?，故1C?，2()sin21Fxx? ，(si1

30、sincosFxxx?， 22|cos2|cossin|()|cossin|()|cossin|xxxfxxxFxxx?， 40004|()|cossin(cossin)(sincos)fxdxxxdxxxdxxxdx? (21)(12)22?. （7）极限_? . 【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】= （8）微分方程满足初始条件的特解为_?. 【分析】直接积分即可. 【详解】原方程可化为，积分得， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2. （9）设二元函数，则 . 【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】, , 于是. （10） . 【

31、答案】. 12sinlim2?xxxx12sinlim2?xxxx.212lim2?xxxx0?yyx2)1(?y0)(?xyCxy?)1ln()1(yxxezyx?)0,1(dz)1ln(yxeexzyxyx?yxxeyzyx?11?)0,1(dzdyeedx)2(2?cos320lim11xxeex?32e实用文档 文案大全 【解析】. （11）设 ，则. 【答案】. 【解析】由，故 代入 得，. （12）幂级数的收敛半径为. 【答案】. 【解析】由题意知， 所以，该幂级数的收敛半径为 （13）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加

32、元. 【答案】8000. 【解析】所求即为 coscos1332200(1)limlim1111xxxxeeeexx?02(1cos)lim13xexx?20212lim13xexx?32e?()yxzxe?(1,0)zx?2ln21?xyzxe?,01xzxx?''ln(1)ln(1)1ln(1)1xxxxxdzxxeexdxx?1x?ln21,01ln22ln212zex?21(1)nnnnexn?1e?210nnnean?111122122111()11111nnnnnnnnnneeeannenanenee?1e()QQP?P0.2p?QPQPQ?实用文档 文案大全 因为

33、，所以 所以 将代入有. 线性代数 （1）设矩阵2TAE?，其中,?是n维列向量，且2T?，则1_A?. 解22(2)44()TTTTAEE? 126()65TEEAEAE?， 故256(6)EAAEAA?，所以11(6)5AEA?. （2）设行向量组，线性相关，且，则a=. 【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】由题设，有 , 得，但题设，故 （3）设ijA(a)?是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijaA0(i,j1,2,3),_A?则 【答案】1? 【解析】 0ijijaA?由可知，*TAA? 0.2pQPQ?0

34、.2QPQ?0.20.8QPQQQ?10000Q?8000QP?)1,1,1,2(),1,2(aa),1,2,3(a)1,2,3,4(1?a?1234123121112aaa0)12)(1(?a a21,1?aa1?a.21?a实用文档 文案大全 1122331122333322110iiiiiijjjjjjijijjiAaAaAaAaAaAaAaa? 2*,=-1.TAAAAA?从而有故 （4）设,，若矩阵相似于，则. 【答案】2. 【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为 3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，. (5) 二次型的秩为. 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一】因为 于是二次型的矩阵为, 由初等变换得 , 从而, 即二次型的秩为2. 【详解二】因为 (1,1,1)T?(1,0,)Tk?T?300000000?k?T?300000000?T?T?T?1300k?2k?213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf?213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf?323121232221222222xx