工程弹塑性力学题库及答案

1、第一章弹塑性力学基础1.1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力 状态中扣除静水压力后剩下的部分。1.2对照应力张量舛与偏应力张量闻，试问：两者之间的关系？两者主方向之 间的关系？= “2 + 斫解：两者主方向相同。5 =鸟+5。1.3简述应力和应变Lode参数定义及物理意义：解出勺定义、物理意义：厲一见 :1）表征鼻的形式；2） “o相等，应力莫尔圆相似，砌形式相同；3）由“。可确定 S1: S2： S3。14设某点应力张量乐的分量值己知，求作用在过此点平面上的应力矢量氓,并求该应力矢量的法向分量。解：该平面的法

2、线方向的方向余弦为I - a/d , m b/d , n cjd , d =a2 +i2 + c2而应力矢量的三个分量满足关系二疏+T/24 . =.%二叩+今觀+%而法向分量满足关系5二曲+卩代+N尹最后结果为：尹耿二（+哄+耳c）/r乐=0/ + 尬? + 込云 +2rab + 2tc + 2 抵"）/沪 护=/+齐+£15利用上题结果求应力分量为5二=2耳二1岛=1,抵"玉二0时，过平面x+3» + z = l处的应力矢量九，及该矢量的法向分量及切向分量耳。解：求出2 = 1/巫，的=?/丁订，"=1/逅后，可求出%备兀及,再利用关系In

3、 f = p理+左砂+刀滋=氏+分可求得J最终的结果为轴“届，珀“尿, = 3尿,込= 29/11,q = j72/121 1.6己知应力分量为耳=1°，巧"巧=一1岛",抵=-2屯=3,其特征方程为 三次多项式F+&K+泅+£ = 0,求&口匚 如设法作变换，把该方程变为形式 / + +厂0,求乳7以及兀与b的关系。解：求主方向的应力特征方程为d?-JjdT2-J2（J-J5 = 0式中：AV2V3是三个应力不变量，并有公式心=%+弓+珏2 =（-化碍+<,）+（-丐+云）+（-巧化+）f込%A=J §阿% 丐）代入己知

4、量得“ =T4齐=&V “92为了使方程变为Cardan形式，可令口十町?代入，正好X项被抵消，并可得 关系p = -+c 2 说 be , q =一一 + a273代入数据得p;= -178/3-59.3333 厂 16/7407, t=cJ-14/317已知应力分量中S %° ,求三个主应力巧-°2-o 解：在6 =齐=$ =。时容易求得三个应力不变量为=耳， = <+-d = , “ = o特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为叼=crj2,还=0,碍=耳/2可 记 王 °2 -3 18己知应力分量 = °羽,丐二。幻,q =

5、0.hr齐=0 ©，务=0.2, q = 0.1込，込是材料的屈服极限，求必，必及主应力叼解：先求平均应力码，再求应力偏张量色=04辺，亏=-0.2碍 %=-03 込 = 0.1码 6 = 0.2 込 务=01 辺，,o由此求得：心02罔述=001坷然后求得:2氐用,血込一0.3949,解出 = -0.1353rad勺=rsin& = 一0.0779 込 叼=S + 0" = 0.3221込«72 =s2 +。= 0.9344 込还=s3 + «7 =-0.056还=_0.0咒込旳=尸 sin(&+ 2刃3) = 0:5344込s3 =

6、r sin(+47r/3) = -0.4565 然后按大小次序排列得到还=09344码 «72 = 0.3221 辺1.9己知应力分量中巧= 6 = % = % = °,求三个主应力厲° = 123),以及每个主应力所对应的方向余弦©，强心X2123） o解：特征方程为7 +曲+益）=°记兀，则其解为叼Y,五=0,还=Y。对应于氐的方向余弦百，耀，也应满足卞列关系(b)(c)由（a） ,（b）式，11得加产抵他，吨® = 7© ,代入（）式,得 （钉狂+念/5）2+1="分，由此求得 弓=±( q 詁=&

7、#177;对一，巧Y,代入彳厂土衿沪土忌”土去2 =对22,斫=°,代入得廻二土学®二°对2 3,还=-£,代入得X土怎“土急®丹/的解：由厶二0,Sg二（片+ S?）二耳+»+28*»,移项之得110当抵=今=°时，证明S皿心成立。J知o %幻° 00 J第五章简单应力状态的弹塑性问j5.1 简述 Bauschiiiger 效应：解：拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象5.2在拉杆中，如果如和为试件的原始截面积和原长，而F和'为拉伸后的截面积和长度。则截面收缩率为£ =,而应变试证明

8、当体积不变时,有这样的关系：(1+习(1 一)=1 证明：丁体积不变，贝IJ有酬=冈(1+)(1- =(1+)(1 =-=1h % %证毕！5.3对于线性弹塑性随动强化模型，若1 = £/10°，试求(1)、己知给定应力路径为° TlJTOT-亿TO,求对应的应变值。15cr0.5crr 0.5a. 、E, “r皿汽、g V 師一丁盲r解：、"0, 0；、6+40站=1.4辺 £= ° a= 1.4込 一 2Ees-%4迢一 2爲）=1.4比 _ 2込 _ 0.39© = 一0.99切 £=一41耳 口 = 一03

9、9耳 一41%® =1.4码 、f=o, 口 = -1.4码 + 2隔+爲（4£-2耳）=0.99込5.4在拉伸试验中，伸长率为£7一血，截面收缩率为丛,其中4和&为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关 系：(1 + 础(1_)二1证明:将£和炉的表达式代入上式,则有（1+ £）（© 二5.5为了使幕强化应力-应变曲线在十时能满足虎克定律，建议釆用以下应力 -应变关系："Ee( 0 < F < Fj )口广 0")do(1)为保证b及不在X®处连续，试确定於、勺

10、值。如将该曲线表示成"氐1一巩0形式，试给出吩)的表达式。解：(1)由”在X®处连续，有由必在处连续，有(b)（a）、（b）两式相除，有裁丄伍-勺）m勺=爲（1_血）由（a）式，有(c)(d)（2）取"血1吩）形式时， 当 ° <8 <8 0（£）二0 即口=尿 当心:应力相等，有啊E解出得，林（代入鸟值）帥即E(0 <£<£；)（代入尽值）1+丄三-156己知简单拉伸时的应力-应变曲线二久如图5-1所示，并表示如下:G=fAs) =|込+吩-(0 < £< S)(心)问当采用刚

11、塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示? 图5T 解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为bh曲 线，这不难由原式推得Q=cr$ （0兰討兰£/ =仓_包）而在强化阶段，对工丈，因为这时将C都移到等式左边，整理之即得答案。(0<? <£/)g+E；（尹-邸）_ Er _ EE1T_ 皀_ E_FE5.7己知简单拉伸时的口“曲线由（5.1）式给出，考虑横向应变与轴向应 变的比值 = -=- 0T1V. = V .在弹性阶段，2为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后5值开始增大最后趋向于5。试给出的变化规律。 解：按题设在简单拉伸时总有(a)爲+

12、 % + 送=0-212）E左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有(b)比较（a），（b）两式，得将乐2）表达式代入，即可得UW）。,截面积为吗，且5在X二么处作用一个逐渐增加的力尸。该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。求左端反力和力尸的关系。将本构方程代入几何方程:a =盼将本构方程代入几何方程:a =盼Pbzt解:(1)弹性阶段基本方程：平衡方程N+“2 = F将本构方程代入几何方程:a =盼A/fl =企W二阳 EA=EADP a +b(a) 几何方程(b) 本构方程(C)联立求出显然，。段先屈服，取得将本构方程代入几何方程:a =盼将本构方程代入几何方程

13、:a =盼P=P严当P*时，恥酗值如上述表达式。(2)弹塑性阶段(a(b)式°段塑性，b段弹性)平衡方程和儿何方程仍为(a)、本构方程:将本构方程代入几何方程:a =盼两侧同乘面积并利用平衡方程（a）,得-E&F+M 二 1】+暑解出E a_qi丸）呼+蛊V；2】+（】+硝本阶段结束时，仍=叽= g=N$由几何方程耳=6+（化一込）耳=6+对耳I 且a丿利用平衡方程J/ ）马二瑪+坷二空+肌二肌1+2-2 -1(f)当PX<P<F时，M为G）式。（3）塑性阶段 P*平衡方程和几何方程同上。<g)口严巧+（耳-巧） 本构方程57+©-耳）町与（2）弹

14、塑性阶段同样步骤：可得N、=5.9如图所示等截面直杆，截面积为吗，且在兀二么处作用一个逐渐增加的力尸。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析P儿何方程结构所处不同状态，并求力尸作用截面的位移“与尸的关系。解：基本方程为平衡方程p = nn2(a)（b）本构方程巧（1）弹性阶段aD由前题知,必 FEA(a)（2）弹塑性阶段（二码怎'码） 此时， =比，N2=P-Nx = P-aA截面位移由b段变形控制：且本阶段终止时,（3）塑性阶段（化= 65 = 3）£ =NN2 = 2A硝无限位移（弘 血为不定值）。（4）图线斜率比较:囲段:A=b2“屮W 讥-a)5.

15、10如图所示三杆桁架，若 = =60°,杆件截面积均为4,理想弹塑性材料。加载时保持P=Q并从零开始增加，求三杆内力随尸的变化规律.解：基本方程为平衡方程v屈a辱=+1 Al 41v平位移 u竖直位移丿儿何方程:(b)协调关系:（心12耳本构方程:（1）弹性阶段（®'5）利用（a）、（b）及（c）第一式，联立求解得-«0.78- 丨 X(1 1巧=+ 4 PP6 二一一=0.8-25 AA5) AA= 0.78FJV2 =0.8P(当P兰耳时)2=-0.38P14F2 = 5 =结构弹性极限：令5X（2）弹塑性阶段（口2 = 4,五|巧卜巧）取”2=比，结

16、构成为静定，由平衡方程N +込= 2（P-鮎）叽=习P-胚= 1.58P-巩2IT解得 尸-輒二 0.42P-M =-（N厂 CL42P）若取N = N$,即 1.58/5- = 爲=1龙7弘此时弘二-何-0.4込）二-心33弘即当时，内力为上列坷、弘、地值，当心弘时，杆1和杆2己 进入塑性阶段，当P2&T田弘时，两杆为无线变形，结构已成为机构。 故, 此结构E = 12砂。第六章屈服条件和加载条件6.1简述屈服面、屈服函数的概念：解：根据不同的应力路径进行实验，可以分别从弹性阶段进入塑性阶段的各个界 限，这些界限即是屈服点。在应力空间将这些屈服应力点连接起來，就形成一个 区分弹性和塑

17、性的分界面，成为屈服面。描述这个屈服面的数学表达式成为屈服 函数或屈服条件。6.2简述Tresca屈服条件和Mises屈服条件: 解：Tresca 条件：（56）/2=k, &刃2或Mises 条件：J?' =C, C=q2/3或护；6.3设®屯、鸟为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其 形式为：J細+晴+證）=込证明：Mises屈服条件为【巧-硏+（6-巧+（巧-巧左式=（&-审+偲-屍+昆-站=2（黑+瞭+盅一比禺比禺禺爲）=2女腐+腐+斶-，僦+尿+禺丫丁民+岳+屍=0：左式= 3（ + +） = 2of故有试用应力张量不变量1和2表示

18、Mises屈服条件。J2 二（+ £2 + Oj CTj）Mises屈服条件:二近 左式二2何+云+圧-巧6 还-巧）（巧+还+ 6）2-3巧6+02込+込巧）二2（尺+込）二近=2故有6.5试用Lode应力参数坨表达 Mises屈服条件。 解：由定义：max阳 _1 1（5-円）2+（02-色）2+（色-5） 扌（5-码r 1+（亚-5）"+（茫-6）2 + 2（巧込+ 2（6 6）2+（巧_巧_巧_巧）2和2（丐一6+ 2（込-込.（ 一巧3 1【2斫一叼一込丫_冷朕+疋）即Mises屈服条件为【巧-6+（6-还+ （还-巧二2云将上式代入，得：¥卞+创巧_码

19、）叩即:-100000-2000W/2时 = 190MNfm，试用Mises和Tresca屈服条件分别判断该点是处于弹性6.6物体中某点的应力状态为00-300,该物体在单向拉伸状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变(即同值异号)，则对被 研究点所处状态的判断有无变化？解:(1) Mises屈服条件判断(巧一+(还-巧+(巧_比)2 _mcf =7.22xio4(w/2)故该点处于弹性状态(2) Tresca屈服条件判断阿-还= 200MNfm故该点处于塑性状态如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。6.7己知薄壁圆球，其半径为,厚度为,受内压戸的作用，如釆用Tresca

20、屈服条件，试求内壁开始屈服时的内压P值。解：研究半球的静力平衡cos &)/? sin a = 2矶心叭内球面：碍=一左，外球面：碍=°巧=6=筈二墜 >0,=<0由Tresca条件,内壁先开始屈服，此时6.8证明下列等式:=一三卩斫q+3qq - (of + 房 +& + 26 + 2远込 + 2还旳证毕!3=左边111吒 _ 另 _(2)、证毕!厶二手气二（円-码）q-码）飞处虫円弔+央;二瓯二円_叫二吟6.9设远、乱、勺为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其形式为提示：小+心乂也峙'f = +£ +£)=

21、+眉+)=込证毕!证明：Mises屈服条件叫斤站©如+ E®T巧=q <T 旳=还一 <T 屯=為一 CT心二专（&i 殆）2 + 一乌）？ + （屯-珂尸=2 + 2s； + 2 （细远 + 2%号 + 2&闻） 二+ 彳+盲+S； 7円一说习-毕3】乂"."（邑+边+与）2二彳+s； +sf + 2巧辿+ 2$泸3 + 细乌=0二+ST+&问二 一+(&；+£+£)- £ 二"si+£+诗)第七章塑性本构关系7.1塑性全量理论的成立条件：解：（1）应力主方向

22、与应变主方向是重合的，即应力Mohr圆与应变Mohi圆相似，应力Load参数以和应变Load参数地相等，而且在整个加载过程中主方向保持不变；(2) 平均应力与平均应变成比例；(3) 应力偏量分量与应变偏量分量成比例；(4) 等效正应力是等效正应变的函数，而这个函数对每个具体材料都应通过试 验来确定。7.2简述简单加载定理：解：简单加载就是指单元体的应力张量各分量之间的比值，在加载过程中保持不 变，按同一参数单调增长。7.3简述单一曲线假定：解：按不同应力组合所得的曲线基本上和简单拉伸时的b-e曲线一样。7.4比较两种塑性本构理论的特点：解：增量理论和全量理论。增量理论将整个加载历史看成是一系列

23、的微小增量加 载过程所组成，研究每个微小增量加载过程中应变增量与应力增量之间的关系， 再沿加载路径依次积分应变增量得最终的应变。全量理论不去考虑应力路径的影 响，直接建立应变全量与应力全量直接的关系。7.5己知一长封闭圆筒半径为r,壁厚为t,受内压p的作用，从而产生塑性变形, 材料是各向同性的。如果忽略弹性应变，试求轴向、周向和径向应变增量的比。d耳"，矶二巴，咕巴解：在"沃2方向的主应力分别为：上之，则5 冷(6+%+皿从而求得应力偏量®几、，再根据增量理论幌7必,得最终结果为(1)： 1： 0 7.6己知薄壁圆筒受拉应力E 2的作用，若使用Mises屈服条件，

24、试求屈服时扭转应力为多大，并求此时塑性应变增量的比。解：设扭转剪应力"5=2,主应力为：码22), 5 = 0,代入Mises屈服条件，得1埜=莹=遍7.7证明等式：讥%"证明：心血SgSW如+6代+严前将对4求偏导，可得,同理可得加；,所以；用同样的方法求得1p #7.8 一泊松比为2 ,满足Mises屈服条件的单元体，己知其受力状态为込=CT ,厂=°, x,y,z是主方向。求：（1）当”从零增加到5时屈服，求4；（2）当込=4时，继续加载，使"严5+加，求此时的也、舸必；。解：1）开始屈服时 = % = 0, %i听，代入Mises屈服准则心bj

25、+（巧丑+ ©_込=2壬得氐_71_；_护；2）屈服后对应的塑性应变增量为2-vdgf = d.”6廻=迢=观-）5圮=皿=必匚字）5 dEs =+必（兰弐）乐二03由国3及屈服条件的微分形式°耳-皿耳+ （2耳-耳加珏=0，联列可得帀“弐二必"匕迪叔丄込-皿-2 l-2vE (l 2i/)% E (1-2v)2<t0%国疔式子得到答案结果。7.9在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。（1）单向拉伸应力状态，9=©；纯剪力状态，"鬻 解：（1）单向拉伸应力状态叼=5,还= 6 = 0吒二扣+込+还）=扣 有33b2易=还_斫=§

26、;込厂1爲=6 -亦-齐c1屯=込一 5 = -q 则3 J.氓:ds2: d 陰=$ :亞：爲=2:（1）: （-1）（2）纯剪切应力状态，*见用 叶£ 二 aJ4£Tj = 0仔 Y = _q/75亠吒二;（巧+6+5）二0有3 S产碍/历,鸟=0鸟二一码人疗故心：42 ：心3 = d ： $ ：场=1:0 ： （T）7.10如何利用与Tresca屈服条件相关联的流动法则？第八章理想刚塑性的平面应变问丿&1简述滑移线的概念：解：在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起來的线，称之为滑移 线。剪切应力是最大剪应力。平衡方程沿Q线：a-2ka=Ca 或cr=

27、2kz0 ；沿妙：b+2kH0 或<T=-2kzX0 ；速度方程沿a线：dva-v/?d=O；沿煙M： dv+vad=Oo8.2简述Hencky第一定理：解：如果由一条滑移线吗转到另一条滑移线他，则沿任何一个冷族的滑移线而 变化的&角和压力"的改变值而保持常数。礼十函-2知83推导LevyMises关系式必 ®>证明：对于平面应变问题，刚塑性材料的本构关系为：殆=幌 耳二S厂Sy二（込一一（丐一 b）二巧-碍爲 $0阳& 即 二1淬十两）-5证毕!2 dx Sy84在刚塑性平面应变条件下，用Tresca屈服条件下，证明公式（耳一+勺喘“丘证明：T

28、resca屈服条件为:对于平面应变（在xoy平面内）有:同时：（尸+（巧-町+（对+ 6（十十心二6匚其中丘为纯剪 屈服应力。（耳-巧+匕-0.哭£+円）了+0二£-03（耳 + 巧）2 + 6三=62 整理得：（_b畀+4云=4卅丁耳是其中一个主应力，故其余两个主应力可以由以下公式确定:85图示的楔体，两面受压，已知,分别对q=O5p,q=p两中情况，求极限荷载°3开6解：q=p时，见图（1）,在山方卫中：仍=耳=沿卫£宓0 £线，Ab = 2汕色，Ag = 0.5tt=务_还=一上一及*0.勿=一氐（1+羽=Oq _今=込=还=0鸟一上=&

29、gt;g二2上（0.5开+1） q=O.5p 时，情况_见图（2）,在口$0中：耳=卬，豈=-3=血+力=五=弋形_氐=还在 'OCD 中.5=-卩=P= %沿ACD 0线，= -2杞氐先,Ac = 0.25/rcc = e#-2出=-0.5p-k;2*0.25tt = -0.5j?- 0.5 = -? =>ps = 20.5tt+2） 情况二见图（1）,与一样所以今二2上（0.5兀+1）8.6己知具有尖角为？丫的楔体，在外力p的作用下，插入具有相同角度的V形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。1）、楔体与V形缺口之间完全光滑；2）、楔体与V形缺口

30、接触处因摩擦作用其剪应 力为k。解：1） OD 边：_© = % =込=% _氐=巧=_$+去GD 边：= % = °g+ = ° =6=-上7 )两=%+无= 0= % = Cq工& d4-沿 OE 线，Acr=-2M,AOx sm y + 也 cos y) = 0.帀=# = 2bk(A+ 0.57r+2/+cg/)”=丄8.7 Mises线性等强化材料，在平面应变（'=% =吸“）和泊松比八，条件下,试导出用表示的强化规律和本构关系。 二丄在弹性阶段有解：当V2时，扣冷（q+弓）=o影"，“寰"平均应力S严込-o,见= =

31、 0,知=t = 0因此在弹性阶段有£=% = %= °,进入塑性后有鸥.= +/冷讨7屯 2Gv对平均应变国色=九=込=°dm、=袋+乩帖i = 0+ /加” 0-器+ R抵=0刚进入塑性时=5- = =0o由上式导出 = = = Oo因此进入塑性 后还满足名=% =夠=°。由于心严H,得出亏=-,故实际独立变量 只是务与阳。在塑性应变增量方面，由于圮"砖0,而妃+d时+妃=0。 则有必;=2忒,并可得出c J环+霭=£j站镉9能石J（恋）*0时尸最后得到答案结果。8.8理想刚塑性材料的平面应变问题，己知 严,分别对Mises和Tr

32、esca 两种屈服条件，讨论应力偏张量$的值。解：（1） Mises屈服条件。由流动法则芒产粗，现在6八，将得出 = 0o（2） Tresca屈服条件，在乳丿平面内求得主应力巧，5如下:严冬异彳伫尹J*诘=缶迟由于绪二0 ,而&1 +总2+爲=&+&二0 ,即&2=自即由流动法则，这要求应力点处在屈服面叼一还二见上，即勺q £ “ J（色尹尸+1込(a)(b)(c)并要求5之6之远，或侖沁沙q（d）由_巧+辺+还_ 24 +还CJ 3 3S1 = -a=A+B- = A-（Js'） s厂 q_T（H_q）诗 屯二込 _b = £（q_

33、Q代入(d)式，得扣一皿+守諾g一恥扣一还)一守由2 .代入，得第九章塑性极限分析9.1弹性弯曲时，材料力学中对梁的两个基本假定内容：解:(1)平截面假定：梁的横截面变形后仍然保持平面；(2)只有截面上的正应力是主要的，其它应力分量均可忽略。9.2上、下限定理的表述及应用：解：上限定理：机动乘子S牲真实乘子S；下限定理：静力乘子S°<真实乘子S； 综合：S°<S<S*o9.3塑性餃的主要特征为：解:(1)较上作用弯矩，弯矩值保持为极限弯矩，M=Ms；(2)較的转角臼可以任意增大，但必须同弯矩的方向一致，因而它是个单向转动的 狡，若截面上的M减小，也即卸载，

34、需按弹性计算。此时狡就停止转动，保持 一个残余转角。9.4使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。q(i)解1： （1）静力法qq首先该超静定梁（么）化为静定结构（乃）、（）。分别求出其弯矩图，然后叠加,得该超静定梁的弯矩图（/） 在极限情况下：必"一蛆，叫=腿 设C点支反力为人。，则:氏21典=-吃,&_£） =岖严二空型由上二式得（囚-3石当尸值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故戸为该梁的完全解。（2）机动法设破坏机构如图（£）,并设/点挠度为莎，则：= 5/1 , 0严引-小外力功叫内力功吩呱呱咕4Adqq由琢T,可得极限载荷上限为p* =4

35、127)q由于在F作用下，-岖'MW*胚，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2： （1）静力法qq仝 Q已型卜41卜41卜41卜41 FTq先将该超静定梁化为静定梁（血）、（亡），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯 矩图（/） 设/点为坐标原点，此时弯矩方程为：必0）二禺卩7）-討卩-刃2在极限状态时，有2T= 0, M（0）=2T=Zj , M （ Aj ） = Ms(1)(2)(3)令必得qQ_x$ = %而 2禺（r）-期-Mw联立解（1）、（2）、（3）得2枫Hj = -12 + 144-161-解得2L/ 取较大的值，可得"U66t 在以上於值作用下，梁己形成破

36、坏机构，故其解为完全解。（2）机动法如图（g）设在丄、C两点形成塑性餃為=色=&，逐=29 内力功为：岖二一甌卜&）+胚卫& = 3甌&W=2qxeax = -q 外力功为： Jo4护31.66卷2述由虚功原理心琢,得：° -"该解与完全解的误差为(1)(2)(1)(2)O g-今(1)(2)(1)(2)设坐标原点在U点，此时弯矩方程为：1 2加段（虫注“2）必"-尹3, MM = Rrxql x- / 肋段("2“幻)°4(1)(2)(1)(2)在X話处，M为极大值，设芒在段，由弋=0(1)(2)在极限情况下:

37、-甌，二甌RJ-aP=-M.BIJ： 8(1)(2)tf = -f88± 82-18x321 岭 联立解（1）、（2）、（3）得:J I由于此时形成破坏机构，故？值完全解。(2)机动法，如图(g)设此梁在丄和£处形成塑性較，则 恥二码榕，直T砂+肉卜郭冷崛=M風+胚風+飒应c 屮I、歎临 内力功为：牝一。外力功为：5xdx由虚功原理嗽得：汗島磊屹 由极值条件存。得T心)' 代入幺的表达式，则得列的极小值：9F(11+4Mj = 19'2T由于此结果满足一，故所得？的值为完全解的极限载荷。95试用机动法求下列图示板的极限载荷弓。(1) 四边简支，边长为仔的正方

38、形板，载荷作用在板的中点；(2) 三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用;四边简支矩形板，在板上任意点(X)承受集中力的作用.解：（a）外力功=如破坏时四角可以翘起。内力功坷二呂甌&绘貯+ 3肌3tt其中W严Ms代入上式后，得ctg(p+cigL 4丿3兀、cigcigi 4丿P = 8M5-=0(37T其中卩值由出0 确定即3/r(P = 由此得 8P = Ucig M = 6.63M 因此§（b）外力功吧=他内力功岖二$甌（魄&+吨0）肌 |吒=磅得尸=2胚（u绘Q+g电0）actga = 而加2鮎+a丿=M5(a 4妇-+ 3 a )(c)外力功

39、W严叽4珥二另(魄心+电煜) 内力功zV比gd=-,Xb yClgCt =其中 ,cig2 =a x& b- ysA 二x 兀&一乳cA = _，魄 =yy« a-xx,cigA =-，陀筑=- o-yb_yba b a一 + _ +x ya- x b_y9.6使用机动法求图示连续梁的极限载荷。14)解1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图(b)、(c)o启 P f=P c>_FJTTTFnZJ匕卢_4若塑性狡在必、°处形成，此时W=-P.&外力功：2内力功：2聲=胚昇20+陆8 = 3屹8由g得广呼若塑性狡在於、应处形成，设应到U得距离为X,此时有I- XX l-x X(i-X)外加,吒F打。F肌 内力功：哄屹芒+屹斫r 由磅彷"叱乔石竺=0令必 得：兀=0.417 将"0.41/代入尸的表达式P = U'66VP = 6 比较以上两种可知该梁的极限荷载为解2：该连续梁形成破坏机构有如下三种形式:（1） 形成两个塑性狡产生局部破坏有两处可能，图E、U形成塑性狡%十昕二3%¥ T_1TW.=My 故 由曙瑪得