浅谈数学解题教学中怎样渗透数学思维方法

1、浅谈数学解题教学中怎样渗透数学思维方法本文以数学方法论、解题理论和元认知等理论为根底， 具体阐述了数学思想方法的理论意义和实际意义。对实验班和对照班采取了不同的教学方法。在实验班的解题教学中，注重数学思想方法的渗透，重点实施了探索性的教学模式。通过多年的教学实践，结果说明，在高中解题教学中渗透数学思想方法，有利于提高学生对数学的学习兴趣，加深对数学的理解，从而也提高了学生的数学解题能力。1 问题及其意义数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙 ，是用之不竭的数学发现的源泉。可以说数学的开展史是一部生动的数学思想的开展史，它深刻地告诉我们：数学思想方法是数学知识的本质，它为分析、处理

2、和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学思想方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机地编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统。所以，数学教学必须通过数学知识的教学和适当的解题活动突出数学思想方法。1.1 渗透数学思想方法是高中数学解题教学的需要。g.polya在?怎样解题?一书中指出，解题是人类最富有特征的一种活动，是学生学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是开展数学思维能力、培养良好心理素质的重要手段。正因为如此，解题在数学教学中具有重要的地位。但是由于长期以来人们对解题概念的不科学的理解，导致了对解题的片面认识和盲目实践，认为解题=解题类型+方

3、法。这种模式虽然能够稳固所学的知识，并能够加强根本方法的训练，但无视了解题目标、过程的分析，以及解题中数学思维方法的培养，导致学生创造能力下降，缺乏独立开拓的创新意识与本领。在当前高中数学教学中，解题教学存在的主要问题表现在以下两个方面：1.1.1 解题教学停留在技能、技巧的训练上。解题在数学教学中处于重要的地位，解题训练很受重视。可是，直到现在，解题教学方法单一，唯一的训练方式就是教给学生解答一定类型习题的固定方法，并按照所掌握的方法做大量的，有时是特别费力的练习。在中学期间，要解答有几万道之多的习题。有些学生掌握了解题的一般本领，而许多学生一遇到形式不熟，或少见的习题就茫无所措，不知如何去

4、解答。1.1.2 学生习惯于动手，不习惯于思维。在解题活动中，我们经常还可以看到这样的现象：学生们甚至包括教师只是满足于用某种方法求得问题的解答，而不再进行进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性包括完整性作出必要的检验或证明。关于“问题解决的现代研究说明，过分强调问题的归类，特别是按照问题的具体内容来进行分类，并要求学生机械地去记住相应的解题方法，对于提高学生解题的能力是很不利的。与此相反，我们应当更加注意问题内在数学结构的分析，并应努力帮助学生掌握数学的思维方法。与片面强调“问题算法的传统做法相比，思想方法的分析和训练是更为重要的。对于教学内容和教学方法的选择和取舍，这又是新时代所

5、赋予数学教育的一个重要任务。因此，在解题教学中渗透数学思想方法是重要的。1.2 渗透数学思想方法的教学有利于提高教师的教学水平。我们不仅应当注意具体的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法方面的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把数学课讲活、讲懂、讲深。所谓“讲活，就是让学生看到活生生的数学知识的发生开展过程，而不是死的数学结论；所谓“讲懂，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背；所谓“讲深，那么是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。 另外，只有数学思想方法与具体数学知识的教学有机结合，并真正渗透于其中，才能不断提高教学质量。这就对教师

6、从专业素养、教育理论、能力水平诸方面都提出了更高的要求。1.3 渗透数学思想方法的教学有利于学生思维品质和能力培养。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和根本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而开展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想根本区别之一。1.3.1 渗透数学思想方法的教学是素质教育的需要。数学教学要以学生开展为本，提高学生的数学素养，丰富学生的精神世界，将每一名学生培养成勇于思考、探索和创新的素质型人才。饶汉昌先生等数学教育家撰文指出：“数学思想、方法是素质教

7、育的重要内容。数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍，使人得到文化方面的修养更好地理解、领略和创造现代社会的文明。它对人不但具有即时价值，更具有延时价值 ，使人受益终身。1.3.2 渗透数学思想方法的教学有利于学生的知识建构。数学学习与数学教学活动的本质不是学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其已有的知识和经验为根底的、主动的建构过程。数学思想方法作为数学知识进一步提炼、概括的一种对数学内容的本质认识，数学的指导思想和一般方式、途径和手段，使得学生所学的知识不再是零散的知

8、识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，这就为学生形成有序的知识链，进行有意义的学习，以及把数学知识结构内化为学生的认知结构，起到十分重要的根底作用。按照上述观点，数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是要使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想方法统率具体知识、具体问题的解法，循此培养和开展学生的数学能力。2 理论研究2.1 对数学思想方法的认识。对“数学思想这一术语，目前还未形成精确的定义，比拟一致的认识是，数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识、根本看法。数学方法是指“人们解决数学问题的步骤、程序和格式，是实施有关数学思想的技术手段。 而与之相一致的说法是“数学方法是指某

9、一数学活动过程的途径、程序、手段。由此可以看出，数学思想方法具有过程性、层次性、可操作性等特点。人们往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当“用它去解决某些具体数学问题时，又可具体称之为数学方法，因而，在中学数学教学中一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。3 在解题教学中渗透数学思想方法的教学策略3.1 运用数学思想方法指导解题教学的教学原那么。渗透数学思想方法的教学不仅要遵循一般教学原那么和数学教学原那么，而且根据它的特点还突出贯彻以下教学原那么：3.1.1 渐进开展性原那么。学生数学思想的形成需要经历一个从模糊到清楚，从理解到应用的的较长开展过程。数学思想从孕育到形成、开展，

10、一般都需要经历一个复杂的“润物细无声的过程。因此，数学思想的课堂教学目标的设立应该具有从简单到复杂、从浅层到深层渐增的层次性。3.1.2 反复渗透性原那么。由于数学思想方法是基于数学知识又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解，内化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面的稳定成份。因此，在解题教学中，教师要合理编排教学内容，精心设计教学过程，反复恰当地渗透数学思想方法，从而对学生产生潜移默化的影响。 3 1.3 探究解题策略，运用数学思想方法。教师在组织学生分析、未知和所求的数学关系后，学生尝试寻找解决问题的途径。在知识探求的过程中，特

11、别要让学生自己去观察、归纳、类比、联想和论证，逐步通过试探或试验来提出各种解题策略，运用数学思想方法获取深层知识，在教师的引导下，确定问题的最终解法。例题：a的一条边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同顶点a共10个点，以这些点为顶点可以组成多少个三角形？在解这道题时，学生在画出bac及十个点后，利用分类讨论法探索三角形的共性。不难发现a点的特殊性，据此，可分为两类：含有点a的的三角形有c14c15=20个；不含有点a的三角形又可分为两类。 ab边上取一点，ac边上取两点，有c14c25=40个；ab边上取两点，ac边上取一点，有c24c15=30个。一共可以组成90个三角形。3.1.4

12、 反思解题过程，评价数学思想方法。一个好的小结不只是对课堂内容的简单回忆，还是对所用数学思想方法的总结。通过学生自己总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思能有效把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系。这对于学生构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会感悟数学、欣赏数学的价值。教师还可以“借题发挥，引起学生思维的发散，开拓思维的视野。一题多解，多角度的思考分析，从中让学生得出最正确的思维途径，优化思维方法，进而培养创新精神和实践能力。例如，在解完上道例题后，教师可引导学生进行回忆，通过反思学生发现分类讨论法使他们从纷乱复杂的思维中，找到了清晰的思路，从而

13、顺利地解决了问题。在评价数学思想方法时，思考一题多解的可能性，有些同学会发现如下的解法： c310-c36-c35=120-30=90个，这是从逆向思维出发得到的解法。3.3 在解题教学中渗透数学思想方法的实验措施3.3.1 备课。教师要深挖教材，不仅要备好表层知识，而且要根据教材内容和学生情况，备好数学思想方法；并把数学思想方法列入教学目标之中。数学思想方法的教学要有方案、有目的、有步骤地进行。教师通过精选习题，使学生能系统地掌握数学思想方法。3.3.2 “双主教学。教师的主导作用表达在设疑、质疑、组织课堂教学等方面，学生的主体作用那么表达在积极动口、动手和动脑上。教师要引导学生自己发现问题

14、，自己探究解题策略，运用元认知监控解题方向，善于自我反思和自我评价。即使学生出现错误，教师也要学会容忍，积极给予鼓励。3.3.3 开展丰富多彩的教学活动。将学生分成假设干学习小组，积极开展学习讨论，加强他们之间的数学交流，培养他们的合作精神。鼓励学生互相帮助，可开展“一帮一的活动，还可以请学习优秀的学生上台讲课，这对于学生总体能力的提高很有益处。3.3.4 实验教学片段 教师通过解不等式的教学可以培养学生的化归思想。例如，学生在学习一元二次不等式的解法这一节时，对于解有理分式不等式，总是将它转化为有理整式不等式，其根本解法如下： f(x)g(x)>0f(x)g(x)>0；f(x)g

15、(x)0f(x)g(x)>0或f(x)=0学生掌握了化复杂为简单的化归思想，在前面学习的根底上，对于更为复杂x-11-2x-1>0的不等式，如 也能迎刃而解。应用函数法、数形结合法讨论方程的根例题：关于x的方程：x2-2|x|-k=0 有两个不等的实根，求k的取值范围。师：同学们首先读题，然后思考此题可能涉及的思想方法，并探索解题的根本思路。生：该方程可以转化为x2-2x-k=0x>0或x2+2x-k=0x1,即k=-1或k>0时，两个图象有两个交点。原方程有两个不同的实根的k值范围是k>0或k=-1。师：同学们反思一下自己的解题过程，用两句话概括出解决此题的关键

16、是什么？生：利用函数法解题，关键是找到函数。生：利用数形结合法，找到图像的交点。师：很好。此题运用函数法的前提是把方程转化为两个函数，求方程的根也就是求两图象的交点。据此，我们采用了函数法和数形结合法。同学们再仔细考虑一下，此题还有没有更为简便的方法？生：可以把原方程x2-2|x|-k=0移项转化为x2-2|x|=k，利用函数法设函数y1=x2-2|x|，y2=k。师：非常好，同学们按照这种思路动手做一下。教师找两名学生在黑板上做。其他人在课堂练习本上做。学生们首先画出了y1=x2-2|x|=x2-2x (x0)x2+2x (x0。这与第一种解法的结果相同。师：希望在以后的解题中，同学们能敞开思路，注重数学思想方法在解题中的运用。学生形成和掌握数学思想方法需要经历孕育期、萌芽期、形成