代数方程知识点及经典习题

1、代数方程学问点一.一元二次方程21、一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0 （a0） 2、一元二次方程的判定方法（ 1）依据定义判定； 即 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2（ 2）依据一般形式判定； 即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形2后，假如能化为一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0（ a0）,那么它就是一元二次方程；二.因式分解 1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（ 2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；2、一元二次方程解法的挑选次序：先考

2、虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特别方法时，再用公式法；三一元二次方程的根的判别式1.一元二次方程的根的判别式的概念2.一元二次方程的根的情形与判别式的关系判别式定理和逆定理>0方程有两个不相等的实数根=0方程有两个相等的实数根<0方程没有实数根0方程有两个实数根3.一元二次方程根的判别式的应用1）不解方程，判定方程根的情形2）依据方程根的情形，确定方程系数中字母的取值范畴；3）应用判别式证明方程根的情形（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题；四.根与系数的关系1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）121212 ,

3、假如方程ax 2 +bx+c=0 （ a0）的两个实数根是x, x,那么 x+ x= , xx2 韦达定理的逆定理2假如实数x 1 , x 2 满意 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 ,那么 x 1 , x 2 是一元二次方程ax+bx+c=0 的两个根3 韦达定理的两个重要推论12 ，推论 1：假如方程x 2 +px+q=0 的两个根是x, x那么 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 ,推论 2：以两个数x 1 , x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为）是4 根与系数的关系的应用（1）验根（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数（3）不解方程，求关于x 1 , x

4、 2 的对称式的值如： x 122 x12 ， xx212x2x2，11x1x2，x 1 x 2 （4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程（5）已知两数的和与积，求这两个数（6）已知方程两个根满意某种关系，确定方程中字母的取值范畴（7）证明方程系数之间的特别关系（8）解决其它问题，如争论根的范畴，判定三角形的外形等（9）根的符号的争论五二次三项式的因式分解（用公式法）21 二次三项式的因式分解公式ax+bx+c= 2因式分解的一般步骤： （ 1）用求根公式求出二次三项式ax 2 +bx+c 对应的方程ax 2 +bx+c=的两个实数根x 1 , x 2 ；（）将 a、x 1 , x 2 的值

5、代入二次三项式的因式分解公式，写出分解式；3如何判定二次三项式在实数范畴内能否因式分解：即当0 时，能在实数范畴内分解因式；当<0 时，不能在实数范畴内分解因式4.解分式方程的基本方法：去分母法 ； 换元法 ； 列分式方程解应用题六二元二次方程组的解法解二元二次方程组的基本思想、方法；思想是“转化”即二元转化为一元，将二次转化为一次；方法是先降次，再消元；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法：代入消元法；逆用韦达定理；同步练习一、一元二次方程1 关于 x 的方程 a 5x2 4x1 0 有实数根，就a 满意（）a a 1b a 1 且 a5c a 1 且 a 5

6、d a52假如关于x 的一元二次方程x2+px+q=0 的两根分别为x1=2，x2 =1，那么 p，q 的值分别是（ a ） 3， 2（ b） 3， -2（ c） 2， 3（ d ）2， 33已知m, n 是方程x22x10 的两根， 且7m214ma 3n 26n78 ，就 a的值等于（）a 5b.5c.-9d.924已知方程xbxa0 有一个根是aaa0 ，就以下代数式的值恒为常数的是（）a abbc ab bd ab5关于x 的一元二次方程x2mx2m10 的两个实数根分别是x、 x，且 x2x27 ，1212就 x1x2 2 的值是（）a 1b 12c 13d 25二、填空题11 已知

7、 x1、 x2 为方程 x2 3x 1 0 的两实根，就x 2 8x2 20 2 设 x1、x2 是一元二次方程x 2+4x 3=0 的两个根，2x1x22+5x2 3+ a =2，就 a=3已知 x = 1 是一元二次方程x 2mxn0 的一个根，就m 22mnn 2 的值为4 设 x ， x是一元二次方程x23x20 的两个实数根，就x 23 x xx2 的值为1211 22 5 如实数 m 满意 m210 m + 1 = 0 ，就 m44+ m=6 已 知 一 元 二 次 方 程x231 x310的 两 根 为x1 、x2 , 就11x1x2 .二、因式分解13x1x20x x12 x1

8、x14x2x 21x13xa xaxb1 a0x29 xx292x34.x23 xx26 x9;5.x1x1x16.2 x644 xx2 x3x2x63x7. 如关于 x 的方程x11xk有增根 , 求增根和 k 的值.x2x3x3x38. 已知 1a13, 求 2aba3ab 2ab2b的值b9. 如 0<x<1, 且 x1x6,求x1的值x2210. 化简代数式mnmn2 mn，将 m,n 值代入求值m 2n 2mn2mnmn三、解答题1 已 知 关 于x的 一 元 二 次 方 程ax 2bx10 a0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 求ab2a2 2b 2的值；42

9、已知关于x 的一元二次方程x22 m1xm20 有两个实数根x1 和x2 （ 1）求实数m 的取值范畴；（ 2）当 x2x20 时，求m 的值123 题甲：如关于x 的一元二次方程x222k xk 2120 有实数根、（ 1）求实数 k 的取值范畴；（ 2）设 t，求 t 的最小值k4 已知关于x 的一元二次方程x2 = 2 （ 1m） x m2 的两实数根为x1， x2（ 1）求 m 的取值范畴；（ 2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值5 关于 x 的一元二次方程x2xp10有两实数根x1 、x2.（ 1）求 p 的取值范畴； （4 分）（ 2）

10、如 2x1 1x1 2x2 1x2 9,求p 的值 .（ 6 分）6 已知关于x 的方程x22k3 xk 24k10 （ 1）如这个方程有实数根，求k 的取值范畴；（ 2）如这个方程有一个根为1，求 k 的值；（ 3）如以方程x22k3xk 24k10 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ym 的图象上，求满意条件的m 的最小值x7 在 等 腰 abc 中 ， 三 边 分 别 为a 、 b 、c ， 其 中 a5 ， 如 关 于x 的 方 程x2b2x6b0 有两个相等的实数根，求abc 的周长三、二元二次方程组1. 解方程组2 xy01x2y23022. 解方程组xy111xy2823.已知方程组y 24x2