高中数学公式大全

1、精品文档精品文档高中数学常用公式及常用结论1. 包含关系abaabbuuabc bc auac buc abr 2 集合12,na aa的子集个数共有2n个； 真子集有2n1 个； 非空子集有2n1 个； 非空的真子集有2n2个. 3.充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件 . （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件 . （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

2、1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数. 5. 如果函数)(xf和)(xg都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(xgfy是增函数 . 6奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函

3、数是偶函数7. 对于函数)(xfy(rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 8. 几个函数方程的周期( 约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 t=a；（2） ，)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 则)(xf的周期 t=2a；9. 分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nn，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nn，且1n）. 10根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|

4、,0nna aaaa a. 11有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sq.(2) ()(0, ,)rsrsaaar sq.(3)()(0,0,)rrraba babrq. 12. 指数式与对数式的互化式logbanban (0,1,0)aan. .负数和零没有对数，.1 的对数等于0：01loga， .底的对数等于1：1logaa，精品文档精品文档.积的对数：nmmnaaaloglog)(log，商的对数：nmnmaaalogloglog，幂的对数：mnmanaloglog；bmnbanamloglog13. 对数的换底公式logloglogmamnna (0a, 且1

5、a,0m, 且1m,0n). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0n). 15.11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 16. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nn；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 17. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnnq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 18. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=

6、cossin19 正弦、余弦的诱导公式212( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnco20 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ).21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin（21cos2cos2，21cos2sin2） 22tantan21tan22. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xr及函数cos()yx，xr(a,

7、 ,为常数， 且 a 0，0) 的周期2t；(n 为偶数 ) (n 为奇数 ) 精品文档精品文档函数tan()yx，,2xkkz(a, ,为常数，且a 0，0)的周期t. 23. 正弦定理2sinsinsinabcrabc. 24. 余弦定理2222cosabcbca;2222cosbcacab;2222coscababc. 25. 面积定理111sinsinsin222sabcbcacab（2）. 26. 三角形内角和定理在 abc中，有()abccab222cab222()cab. 27. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( ) a;(2)第一分配律： (

8、 +) a=a+a; (3) 第二分配律： ( a+b)= a+b. 28. 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a（交换律） ;(2) （a） b= （ab）=ab= a （b）;(3) （a+b） c= ac +b c.30向量平行的坐标表示设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，则 ab(b0)12210 x yx y.31. a与 b 的数量积 ( 或内积 )ab=|a| b|cos 32. 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积33. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 a

9、+b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 a11(,)xy，b22(,)xy, 则2121(,)aboboaxx yy. (4) 设 a=( ,),x yr，则a=(,)xy. (5) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 34. 两向量的夹角 公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy). 35. 平面两点间的距离公式,a bd=|abab ab222121()()xxyy(a11(,)x y，b22

10、(,)xy). 36. 向量的平行与垂直设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，且 b0，则a| bb=a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 37. 三角形的重心坐标公式 abc 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为11a(x ,y )、22b(x ,y)、33c(x ,y), 则 abc 的 重 心 的 坐 标 是123123(,)33xxxyyyg. 设o为abc所在平面上一点，角,a b c所对边长分别为, ,a b c，则（1）o为abc的外心222oaoboc. （2）o为abc的重心0oaoboc. （3）o为abc的垂心oa ob

11、ob ococ oa. 38. 常用不等式：（1）,a br222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) 精品文档精品文档（2）,a br2abab(当且仅当a b 时取“ =”号)（3）bababa.39 已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 40. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 41.斜率公式2121yykxx（111(,)p xy、222(,)p xy）. 42.直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,

12、)p xy，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)p xy、222(,)p xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0axbyc(其中 a、b 不同时为0).43.两条直线的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb;12121llk k. (2)若1111:0la xb yc,2222:0la xbyc,且 a1、a2、b1、b2都不为零 , 11112222|abcllabc；12121

13、20lla ab b；(1111:0la xb yc,2222:0la xb yc,12120a ab b). 直线12ll时，直线l1与 l2的夹角是2. 45.点到直线的距离0022|axbycdab(点00(,)p xy,直线l：0axbyc). 46. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xydxeyf(224def0). 47. 直线与圆的位置关系直线0cbyax与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd;0相切rd; 0相交rd. 其中22bacbbaad. 48. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为o1，o2，半

14、径分别为r1，r2，doo21条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 精品文档精品文档49. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xydxeyf(2) 已知圆222xyr过圆上的000(,)p xy点的切线方程为200 x xy yr; 50. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 51. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxepf，)(22xcaepf. 52椭圆的的内外部（1）点00(,)p xy在椭圆22221(0)xyabab的内部22

15、00221xyab. （2）点00(,)p xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 53. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| () |apfe xc，22| ()|apfexc. 54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线， 可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）. 55. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(

16、0)ypx p焦半径02pcfx. 过焦点弦长pxxpxpxcd212122. 56. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()abxxyy或2222211212(1)()| 1tan| 1tabkxxxxyyco（弦端点a),(),(2211yxbyx，由方程0)y, x(fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线ab的倾斜角，k为直线的斜率）. 57(1) 加法交换律： ab=ba(2) 加法结合律： ( ab) c=a( bc) (3) 数乘分配律： ( a b)= ab59 共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数 使 a=bpab、 、三点共线|a

17、pabapt ab(1)opt oatob. 60. 向量的直角坐标运算设a123(,)a aa， b123(,)b b b则(1)ab112233(,)ab abab；(2)a b112233(,)ab ab ab； (3) a123(,)aaa ( r)；(4)ab1 12233a ba ba b；61. 设 a111(,)xy z，b222(,)xyz，则aboboa= 212121(,)xx yy zz. 62空间的线线平行或垂直设111(,)ax y zr，222(,)bxy zr，则abrr0a br r1212120 x xy yz z. 63. 夹角公式精品文档精品文档设a12

18、3(,)a aa， b123(,)b b b，则 cosa，b=1 12233222222123123a ba ba baaabbb. 64异面直线所成角cos| cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）65.直线ab与平面所成角sin|ab marcabm(m为平面的法向量 ). 66.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量） . 134. 空间两点间的距离公式若 a1

19、11(,)xy z，b222(,)xyz，则,a bd=|abab ab222212121()()()xxyyzz. 67. 球的半径是r，则其体积343vr, 其表面积24sr (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a. 6813vsh柱体（s是柱体的底面积、h是柱体的高）.13vsh锥体（s是锥体的底面积、h是锥体的高） . 69. 分类计数原理（加法原理）12nnmmm. 70. 排列数公式mna=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，m n*，且mn) 注:规定1! 0. 71. 组合数公式mnc=mnmmaa=mmnnn2

20、1)1()1(=！)(mnmn(n n*，mn，且mn). 72. 组合数的两个性质(1)mnc=mnnc ;(2) mnc+1mnc=mnc1. 注:规定10nc. 155. 组合恒等式 （1）11mmnnnmccm;（ 2）1mmnnnccnm;（3）11mmnnnccm; （4）nrrnc0=n2; 73. 排列数与组合数的关系mmnnam c！ . 74单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1） “在位”与“不在位”某（特）元必在某位有11mna种；某（特）元不在某位有11mnmnaa（补集思想）1111mnnaa（着眼位置）11111mnmmnaaa（着眼元素

21、）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有kmknkkaa种. 浮动紧贴：n个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kkknknaa11种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h 个（1hk） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有khhhaa1种. （3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1mn时，无解；当1mn时，有nmnnnmcaa11种排法 . 精品文档精品文档（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为nnmc. 75分配问题（

22、 1） (平 均分组有归属问题 ) 将相异 的m、n个物 件等 分给m个人 ，各得n件 ，其 分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmncccccn)!()!(22.（2） (平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmcccccn) !( !)!(!.22.（3） (非平均分组有归属问题)将相异的)12mp(p=n +n +n个物体分给m个人， 物件必须被分完， 分别得到1n，2n， ，mn件， 且1n，2n， ，mn这m个数彼此不相等， 则其分配方法数共有!.!.21211mnnnnpnpnnnmpm

23、cccnmm.76. 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbcbacbacbacacba222110)( ; 二项展开式的通项公式rrnrnrbact1)210(nr，. 77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1).kkn knnp kc pp78. 离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)ipi; （2）121pp. 79. 数学期望1122nnex px px p80. 数学期望的性质（1）()( )e abaeb. （2）若( ,)b n p, 则enp. 81. 方差2221122nndxepxepxep标准差=d. 82. 方差的性质 (1)2d aba d；(2 ）若( ,)b n p，则(1)dnpp. 83.)(xf在),(ba的导数( )dydffxydxdx00()( )limlimxxyfxxf xxx. 84. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxp处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 85. 几种常见函数的导数(1) 0c（c为常数） .(2) 1()()nnxnxnq.(3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos(5)x