高中数学高考总复习-立体几何二面角问题

1、高中数学高考总复习-立体几何二面角问题定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例 1 （理） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点 m在侧棱上，=60（i ）证明： m在侧棱的中点（ ii ）求二面角的大小。练习 1 （）如图，已知四棱锥p-abcd，底面abcd为菱形，pa平面abcd，,e，f分别是bc,pc的中点 . （）证明：aepd; （）若h为pd上的动点，eh与平面pad所成最大角的正切值为， 求二面角eafc的余弦值

2、 . 二、三垂线法三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点p在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例 2( 卷理 ) 如图，在直四棱柱abcd-ab c d中 ， 底面 abcd 为等腰梯形， ab/cd，ab=4,bc=cd=2,aa=2,e 、e 、f 分别是棱 ad 、aa 、ab的中点。(1) 证明：直线 ee / 平面 fcc；(2) 求二面角 b-fc-c的余弦值。sabcdabcdsdabcd2ad2dcsdscabmscsamb60abc621111111111eabcfeabcdd练习 2（） 如图，在四

3、棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面； （） 求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3（）如图所示，四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为 1 的菱形，bcd60，e是cd的中点，pa底面abcd，pa2. （）证明：平面pbe平面pab; （）求平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小. 练习 3 已知斜三棱柱abc a1b1c1的棱长都是a，侧棱与底面成 600的

4、角，侧面bcc1b1底面 abc 。（1）求证： ac1bc ；（2）求平面ab1c1与平面 abc所成的二面角（锐角）的大小。abcdpabcd60,22,2, 2,3pabpdpaadabadpabpcadabdpabcedpacbp四、射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ cos）求出二面角的大小。例 4 （理） 如图， 在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；练习 4：如图 5，e为正方体abcd a1b1c1d1的棱 cc1的中点，求平面ab1e和底面 a1b1c1d1所成锐角的余弦值. 五、 向量法向量法

5、解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系， 写出各点的坐标， 然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 4： （卷理） 如图，在五面体abcdef中， fa平面abcd,ad/bc/fe， ab ad ， m为 ec的中点，af=ab=bc=fe=ad(i) 求异面直线bf与 de所成的角的大小；(ii)证明平面amd 平面 cde ；求二面角 a-cd-e 的余弦值。练习 5、 （） 如图，在直三棱柱中，平面侧面. （）求证：；cosss射影斜射sspabc2acbc90

6、acbapbpabpcacpcabbapc12111abca b cabc11a abbabbca1d1b1c1edbca图 5（）若直线与平面所成的角为, 二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明. 二面角大小的求法的归类分析一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个 半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例 1 在四棱锥p-abcd中， abcd 是正方形， pa平面 abcd ，pa=ab=a ，求二面角b-pc-d 的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例 2 在四棱锥p

7、-abcd中， abcd是平行四边形，pa 平面abcd ，pa=ab=a ，abc=30 ，求二面角p-bc-a 的大小。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例 3 在四棱锥 p-abcd中， abcd 是正方形， pa 平面abcd ，pa=ab=a ，求 b-pc-d 的大小。ac1a bc1abcapabcdlhjabcdphj abcdph四、射影法：利用面积射影公式s射s原cos, 其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例 4 在四棱锥p-abcd中， abcd 为

8、正方形， pa 平面 abcd ，pa ab a，求平面 pba与平面 pdc所成二面角的大小。五、: 对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例 5、在四棱锥 p-abcd中， abcd 为正方形， pa 平面 abcd ，paaba，求平面 pba与平面 pdc所成二面角的大小。 （补形化为定义法）由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：二面角大小的求法答案定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角sam b中半平面abm 上的一已知点 （b）向棱 am作垂线， 得垂足（f） ；在另一半平面asm

9、内过该垂足（ f）作棱 am的垂线（如 gf ） ，这两条垂线（bf、gf ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1（理） 证（i ）略解（ii ） ：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为 am的中点，过f 点在平面 asm内作，gf交 as于 g ，连结 ac ， adc ads ， as-ac ，且 mabmbbfamamffgfamlabcdpfg是 sc的中点， am sc ，gf am ，gf as ，又为 am的中点， gf是 ams 的中位线，点 g是 as的中点。则即为所求二面角. ，则

10、，又，, ，是等边三角形，, 在中，, 二面角的大小为练习 1 （） 分析 ： 第 1 题容易发现， 可通过证 ae ad后推出 ae 平面 apd ，使命题获证，而第2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 af上找到可计算二面角的平面角的顶点s，和两边se与 sc ，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为）二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角 b-fc -c 中半平面 bfc上的一已知点b作另一半平面fc1c的垂线，得垂足 o ；再过该垂足o作棱 fc1的垂线，得垂足p，连结起点与终点得斜线段p

11、b ，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线pb 、垂线bo 、射影op ） 。再解直角三角形求二面角的度数。例2 ( 卷 理 ) 证 （ 1 ） 略 解 （ 2） 因 为ab=4,bc=cd=2, 、 f 是棱ab 的中点 , 所以bf=bc=cf, bcf 为正三角形 , 取 cf 的中点o,则 ob cf,又因为直四棱柱abcd-ab c d中,cc1平面 abcd, 所以 cc1bo,所以 ob 平面 cc1f, 过 o在平面 cc1f 内作 op c1f, 垂足为 p,连接 bp,则 opb为二面角 b-fc -c 的一个平面角 , 在 bcf为正三角形中 , 在 rtcc1f中, op

12、f cc1f, , fgfb2sm22gf6acsa2am2abam060abmabm3bfgab26ag2ab090gab211423bg366232222113212cos222fbgfbgfbgfbfgsamb)36arccos(5151111113ob11opofccc f22122222opeabcfe1a1b1c1d1df1op在 rtopf中, 所以二面角b-fc -c的余弦值为. 练习 2（）分析 ：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 ad 平面 pab后，容易发现平面pab 平面 abcd ，点 p就是二面角p-bd-a的半平面上的一个点，于是可过点p作棱 b

13、d的垂线， 再作平面 abcd的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角的大小为）补棱法例 3（） 分析：本题的平面pad和平面pbe没有明确的交线， 依本法显然要补充完整（延长ad、be相交于点f，连结pf. ）再在完整图形中的pf. 上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解 : （）延长ad、be相交于点f，连结pf. 过点a作ahpb于h，由（）知 , 平面pbe平面pab, 所以ah平面pbe. 在 rtabf中，因为baf60，所以，af=2ab=2=ap. 在等腰 rtpaf中，取pf的中点g，连接ag. 则agpf. 连结hg，由三垂

14、线定理的逆定理得，pfhg. 所以agh是平面pad和平面pbe所成二面角的平面角（锐角）. 在 等 腰rt paf中 ，在rtpab中，22114322bpopob272cos7142opopbbp177abdp439arctan22.2agpa2222 5.55ap abap abahpbapababcedpfgh所以，在 rtahg中，故平面pad和平面pbe所成二面角（锐角）的大小是练习 3 提示：本题需要补棱，可过a点作 cb的平行线 l（答案：所成的二面角为45o）四、射影面积法（）例 4 （理）分析：本题要求二面角bapc的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面abp与平面

15、 acp中建立一对原图形与射影图形并分别求出s原与 s射于是得到下面解法。 解： （） 证略（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影， ace 是 abe 在 平 面acp 内 的 射 影 ， 于 是 可 求 得 ：，则，, 设二面角的大小为，则二面角的大小为练习 4：分析 平面 ab1e 与底面 a1b1c1d1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角， 则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形ab1e 在平面 a1b1c1d1上的射影是三角形a1b1c1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为 cos=）. 五、

16、 向量法2 5105sin.52ahaghag10arcsin.5cosss射影acbcapbpapcbpcpcacpcbc90acbacbcacpccbcpacapebece，abbpbeapecbepacceap2222cbacapbpab622aeabbe2ecae1222121?ceaessace射3622121?ebaessabe原bapc3331cos原射ssbapc33arccos32acbb1c1a1lacbep例 4： （卷理） 现在我们用向量法解答：如图所示， 建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得（i ）所以异面直线与所成的角的大小为. （ii ）证明：，（iii

17、）又由题设，平面的一个法向量为练习 5、 （） 分析：由已知条件可知：平面abb1a1平面 bcc1b1平面 abc于是很容易想到以b 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量， 先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：，且）总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。1. 、ab=ad=a，, 过 b 作 bh pc于 h，连结 dh dh pc 故bhd 为二面角 b-pc-d的平面角因 pb=a,bc=a,pc=a,pb bc=s pbc= pc bh 则 bh=dh又

18、 bd=, 在bhd中由余弦定理，得：cosbhd , 又 0bhd 则bhd=，二a，1ab，001b，011c， 020d，110e，100f.21121m，解：101bf， 110de.2122100debfdebfdecos?，于是bfbfde060，由21121am，101ce0amce020ad?，可得，.amdceaadam.adceamce. 0adce平面，故又，因此，?.cdeamdcdece平面，所以平面平面而?.0d0)(cdeeuceuzyxu，则，的法向量为解：设平面.111(1.00），可得令，于是uxzyzxacd).100(，v22arcsincaa2222,acabacacpaabpaadpbpdabadapbpdbcdcpbdpdcpcpc2312123a2a2222226623312266233aaabhdhbdbh bdaa23面角 b-pc-d的大小是。2 解： （三垂线法） 如图pa 平面 bd ，过