全国高中数学联赛预赛试题及答案

1、全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题一、挑选题（本大题共 10 个小题， 每道题 5 分，共 40 分.在每道题给出的四个答案中，只有哪一项符合题目要求的. ）1.定义集合运算:abz | zxy, xa, yb . 设 a2,0 ， b0,8，就集合ab 的所有元素之和为（）a.16b.18c. 20d.222.已知an是等比数列， a22, a51，就 a1a24a2 a3an an 1 nn的取值范畴是 （）a. 12,16b. 8,16c.8, 32d.16 , 323333.5 名理想者随进入3 个不同的奥运场馆参与接待工作，就每个场馆至少有一名理想者的概率为（）31a. b.51555

2、0c.d.881 已知 a 、 b 为非零的不共线的向量，设条件m : ba b ；条件n : 对一切 xr ，不等式axbab 恒成立就m 是 n 的（）必要而不充分条件充分而不必要条件充分而且必要条件既不充分又不必要条件5设函数f x 定义在 r 上，给出下述三个命题： 满 足 条 件f x2f 2x4 的 函 数 图 象 关 于 点2,2对 称 ； 满 足 条 件f x2f 2x 的函数图象关于直线x2 对称；函数f x2 与f x2 在同一坐标系中，其图象关于直线x2 对称 .其中，真命题的个数是（）a.0b.1c.2d.36.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦

3、ab 、cd 的长度分别等于m 、 n 分别为 ab 、 cd 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：27 和 43 ，弦 ab 、 cd 可能相交于点 mn 的最大值为5其中真命题为（）m弦 ab 、 cd 可能相交于点 mn 的最小值为1na. b.c.d. 07. 设 asinsin 2021 ， bsincos20210 ， ccossin20210 ， dcoscos20210a, b, c, d 的大小关系是（） abcd badc cdba dcab , 就8. 设函数f xx33x 26 x14 ，且f a1 ， fb19 ，就 ab （）a.2b.1c.0d.

4、2二、填空题（本大题共 6 个小题，每道题 8 分，共 48 分.请将正确的答案填在横线上. ）9 在平面直角坐标系中，定义点p x1 , y1、 q x2 , y2之间的“直角距离”为d p,qx1x2y1y2 . 如 cx, y到点 a 1,3、 b 6,9的“直角距离”相等，其中实数 x 、 y 满意 0x10 、 0y10 ，就全部满意条件的点c 的轨迹的长度之和为10.已知集合x, y| x2y 22021，如点p x,y 、点p x, y 满意 xx 且yy ，就称点p 优于 p . 假如集合中的点 q 满意：不存在中的其它点优于q ，就全部这样的点q 构成的集合为11. 多项式

5、1xx 2答）x1003的绽开式在合并同类项后，x150 的系数为.（用数字作12. 一个六棱柱的底面是正六边形, 其侧棱垂直于底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六9棱柱的体积为，底面周长为3，就这个球的体积为.813. 将一个44 棋盘中的8 个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，就有不同的染法 . （用数字作答）14. 某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点pkxk , yk处，其中x11, y11，当 k2 时，xkxk 115 k155 k2 ;5k1ykyk 15k2 .5其中，a 表示实数 a 的整数部分，例如2.62

6、 ， 0.60. 按此方案，第2021 棵树种植点的坐标为.三、解答题（本大题共4 小题，共 62 分.要求有必要的解答过程 . ）15（本小题满分14 分） 设实数a, b,，求证：baab其中等号当且仅当a, b或 a,b成立，,为正实数 . 6（ 本小题满分14 分）甲、乙两人进行乒乓球单打竞赛，采纳五局三胜制 （即先胜三局者获冠军）对于每局竞赛，甲获胜的概率为2 ，乙获胜的概率为31 假如将“乙获得冠军”的大事称为“爆出冷3门”试求此项赛事爆出冷门的概率17. （本小题满分16 分） 已知函数f xln 1xx 在区间0, n nn 上的最小值为bn ，令anln 1nbn ， pka

7、1a3a2k 1kn，a2 a4a2 k求证：p1p2pn2an11.18.（本小题满分18 分）过直线 l : 5x7 y70x 2y 20 上的点 p 作椭圆1的切线 pm 、pn ，切点分别为m 、 n ，联结 mn .259（ 1）当点 p 在直线 l 上运动时，证明：直线mn 恒过定点 q ；（ 2）当 mn l 时，定点 q 平分线段 mn .参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时 ,请依据本评分标准 . 挑选题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分 .一、挑选题（本大题共 10 个小题

8、， 每道题 5 分，共 40 分.在每道题给出的四个答案中，只有哪一项符合题目要求的. ）1.解： 集合 ab 的元素：z1200 ， z22816 ， z3000 ， z4080 ，故集合 ab 的全部元素之和为16. 选 a .12. 解: 设a 53an的公比为 q ，就 qa 2114，进而 q.282所以，数列an an 1是以 a1a288为首项，以q 2111为公比的等比数列.4a1a 2a2 a 3a n a n 14 n32111344 n .明显， 8a1 a 2a1 a2a2 a 3a n a n 132. 选 c.33. 解： 5 名理想者随进入3 个不同的奥运场馆的方

9、法数为3 5243 种. 每个场馆至少有一名理想者的情形可分两类考虑：第1 类，一个场馆去3 人，剩下两场馆各去1 人，此类的方法数为cca13235260 种；第 2 类，一场馆去1 人，剩下两场馆各2 人，此类的方法数为112ccc90354种. 故每个场馆至少有一名理想者的概率为p609050.选 d .24381 解： 设 oaa， obb ，就xb 表示与 ob 共线的任一向量，axb 表示点 a到直线 ob 上任一点 c 的距离 ac ，而 ab 表示点 a 到 b 的距离 . 当 bab 时， abob. 由点与直线之间垂直距离最短知，acab ，即对一切xr ，不等式axbab

10、 恒成立反之，假如ac选 c.ab 恒成立，就ac minab ，故 ab 必为点 a 到 ob 的垂直距离， obac ， 即 bab .5 解：用x2 代替f x2f 2x4 中的 x ，得f xf 4x4 . 假如点x, y 在yf x 的图象上，就4yf 4x ，即点x, y关于点2,2的对称点4x,4y 也在yf x 的 图 象 上 . 反 之 亦 然 ， 故 是 真 命 题 . 用 x2 代 替f x2f 2x 中 的 x ， 得f xf 4x .假如点x, y 在 yf x 的图象上， 就 yf 4x ，即点x, y关于点 x2 的对称点4x, y也在 yf x 的图象上，故是真

11、命题.由是真命题，不难推知也是真命题.故三个命题都是真命题.选 d.6. 解： 假设 ab 、 cd 相交于点n ，就 ab 、 cd 共面，所以a 、 b 、 c 、 d 四点共圆，而过圆的弦 cd 的中点 n 的弦 ab 的长度明显有abcd ，所以是错的简单证明，当以ab 为直径的圆面与以cd 为直径的圆面平行且在球心两侧时，mn 最大为，故对当以ab 为直径的圆面与以 cd 为直径的圆面平行且在球心同侧时，mn 最小为 1，故对 .明显是对的明显是对的. 应选7. 解：由于2021 05360 0180 0280 ，所以，asinsin 280 sinsin 280 0 ； bsinc

12、os280 sincos280 0 ；ccossin 280 cossin280 0 ； dcoscos280 coscos280 0 3又 sin280cos28 0 ，故 badc.应选 b.8. 解：由f xx33x26x143x13 x110，令g yy3 y ，就g y 为奇3函数且单调递增.而 f aa 1 33 a1101 ,f bb 13 b11019 ,所以 ga19 , g b19 , g b19 ,从而g a1g b1 ,即 a1b1 ,故 ab2 .选 d.二、填空题（本大题共 6 个小题，每道题 8 分，共 48 分.请将正确的答案填在横线上. ）9 解： 由条件得x

13、1y3x6y9当 y9 时，化为x16x6 ，无解；当 y3时，化为x16x6 ，无解；当 3y9 时，化为2 y12x6x1如 x1 ，就 y8.5 ，线段长度为； 如 1x6 ，就 xy9.5，线段长度为52 ； 如 x6 ，就y3.5 ， 线 段 长 度 为 综 上 可 知 ， 点 c 的 轨 迹 的 构 成 的 线 段 长 度 之 和 为1524521 填 521 10. 解: p 优于 p ，即 p 位于 p 的左上方， “不存在中的其它点优于q ”，即“点 q 的左上方不存在中的点” .故满意条件的点的集合为x, y| x2y 22021, x0且y0 . 填x, y| x 2y

14、22021, x0且y0 11. 解： 由多项式乘法法就可知，可将问题转化为求方程2str150的不超过去100 的自然数解的组数. 明显，方程的自然数解的组数为c152 .下面求方程的超过100 自然数解的组数. 因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设s100 . 将方程化为 s101tr49记 ss101 ，就方程 str的自然数解的组数为2c.4951因此，x150 的系数为 c 2c1c 27651. 填 7651 .15235112. 解：由于底面周长为3，所以底面边长为1 ，底面面积为s33 .28又由于体积为9 ，所以高为3 . 该球的直径为128232 ，球的体积 v

15、4r 34.334填.313. 解：第一行染2 个黑格有c 2 种染法 . 第一行染好后，有如下三种情形：4（ 1）其次行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；4（ 2）其次行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有确定；c 2 种染法， 第四行的染法随之（ 3）其次行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4 种，而在第一、其次这两行染好后，第三行染的黑格必定有1 个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2 种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为6164290 种. 填 90.14. 解： 令k1k2f k ，就55f k5k515k5251k151k25

16、k1k255f k 故 f k 是周期为5 的函数 .运算可知：f 20 ； f30 ； f40 ； f50 ； f61 .所以，x2021x200715 f 2021 ； x2007x200615 f2007 ； x2x115 f 2 .以上各式叠加，得x2021x120075 f 2f 3f 2021x120075 401f 2f 3f 6f 2f 3x1200754013；同理可得y2021402 .所以，第2021 棵树的种植点为3,402 . 填3,402 .三、解答题（本大题共4 小题，共 62 分.要求有必要的解答过程 . ）15证明： 由对称性，不妨设ab ，令 abtabt

17、，就因.ab，可得（3 分）设 f t t1tt，就对 t 求导，得ft 11 .（ 6 分）t 2易知，当 t,1时， ft 0 ， ft 单调递减；当t1,时 ， ft0 ， ft 单调递增 .（9 分）故 f t 在 t或 t处有最大值且f及 f两者相等 .故 f t 的最大值为，即1f t tt.（12 分）由 at ，得 ba bab，其中等号仅当a, b或 a, b（14 分）成立 . 6 解： 假如某方以3 : 1或 3 : 0 获胜，就将未比的一局补上，并不影响竞赛结果于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”（3 分）乙胜五局的概率为51；（6 分）3乙胜四局负一局的

18、概率为4c1125；（9 分）3332c5乙胜三局负二局的概率为212.33（12 分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为17 .81（ 14 分 ）17. 解：（ 1）由于f xln 1xx ，所以函数的定义域为1,，（ 2 分）又 fx111xx.（5 分）1x当 x0, n 时，f x0 ，即f x 在0, n nn上是减函数，故bnf nln 1nn.anln 1nbnln 1nln 1nnn.（8 分）由于2k1 2k122k4k 214k 21 ,所以1 3 52422k1 2k1 33 55 72222462 k12k22 k112 k11.2k1又简单证明12k12k12k1 ，所以（12 分）pa1a3ka2 k 11 3 52k112k12k1 kn，a2 a4a2k2 42k2k1（14 分）p1p2pn31532n12n12n112an11.即p1p2pn2an11.（16 分）18. 证明：（ 1）设 px0 , y0、 mx1 , y1、 n x2 , y2. 就椭圆过点m 、 n 的切线方程