八年级上知识梳理沪教版数学

1、学习必备欢迎下载八年级上第十六章二次根式第一节：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数 式，但必需留意： 由于负数没有平方根， 所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式；取值范畴1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a 0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可；2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义；二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）；注：由于二次根式（）

2、表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正 数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数， 即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多，如如，就a=0,b=0 ；如，就 a=0,b=0；如，就 a=0,b=0 ；二次根式（）的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用： 如，就，如：，.二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简时，肯定要弄明白被开方数的底数a 是正数

3、仍是负数，如是正数或0，就等于 a 本身，即；如 a 是负数，就等于a 的相反数 -a,即；学习必备欢迎下载2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数，即不论 a 取何值，肯定有意义；3、化简时，先将它化成，再依据肯定值的意义来进行化简；与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数；但与都是非负数，即，；因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.最简二次根式（ 1）被开方数中各因式的指数都为1（ 2）被开方数不含分母被开方数同时符

4、合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式同类二次根式1 几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式；3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并；其次节二次根式的运算1. 积的算数平方根的性质ab= a· b（a 0， b 0）2. 乘法法就 a· b= ab（a0，b0）二次根式的乘法运算法就， 用语言表达为： 两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根；两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；两个二

5、次根式相除，被开方数相除，根指数不变； a÷ b= a÷ b（a0，b>0）二次根式的除法运算法就，用语言表达为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根；分母有理化把分母的根号化去叫做分母有理化，1. 根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式；有理化根式；学习必备欢迎下载假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式, 也称有理化因式；二次根式的混合运算1 确定运算次序2 敏捷运用运算定律3 正确使用乘法公式4 大多数分母有理化要准时5 在有些简便运算中或许可以约分，不要盲目有理化第十七章一元二次方程一元二次方程的概念：只含有一个

6、未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程 ，叫做一元二次方程21. 一元二次方程的一般形式: a 0 时，ax +bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，讨论一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式， 目的是确定一般形式中的 a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是详细数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式 .2. 一元二次方程的解法 :（ 1）一元二次方程的四种解法要求敏捷运用，其中直接开平方法虽然简洁，但是适用范畴较小；（ 2）公式法虽然适用范畴大，但运算较繁，易发生运算错误；（ 3）因式分解法适用范畴较大，且运算简便，是首选方法；（ 4）配方法使用较少 .22

7、3. 一元二次方程根的判别式:当 ax +bx+c=0 a 0 时， =b -4ac叫一元二次方程根的判别式 . 请留意以下等价命题：2 0 <=>有两个不等的实根；=0 <=>有两个相等的实根； 0 <=>无实根；0 <=>有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当 ax +bx+c=0a0时，如 0，有以下公式：1x 1,2bb 22a4ac； 2 x 1x 2bc，x 1x 2. aa5. 一元二次方程的解法（1） ） 直接开平方法（也可以使用因式分解法） x2aa0解为： xa2 xa bb0解为： xab2 axbcc0解

8、为： axbc axb 2cxd 2 ac 解为：axbcxd （2） ） 因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法2如： axbx0a,b0xaxb0此类方程适合用供应因此，而且其中一个根为0学习必备欢迎下载x290 x3 x30x23x0xx303x2 x152 x103 x52 x10x26 x94 x3 244x212x902 x3202x4x120 x6 x202x25x1202 x3 x40（3） ） 配方法二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除于2 进行配方，如下所示：x2pxq0 xp 2 p 2q022示例： x23x10 x3 2 3 21022二

9、次项的系数不为“ 1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：ax2bxc0 a0a x2b xc0 aa xb 22aa b 2c0 2aaxbb22cbb 2x24ac2a4a示例：2a4a 21 x22 x101 x24 x101 x22122102222（4）公式法： 一元二次方程 ax 2为：bxc0 a0 ，用配方法将其变形bb2x22a4ac 4 a 2当b 24ac0 时，右端是正数 因此，方程有两个不相等的实根：x1,2x1,2bb22a 当b 2a 当4acb 24acb 24ac0 时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：0 时，右端是负数因此，方程没有实根；学习必备

10、欢迎下载备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：定出 a 、b 、 c2axbxc0 a0 ，并确求出b24ac ，并判定方程解的情形；代公式：x1,2b b22a4ac（要留意符号）25当 ax +bx+c=0a0时，有以下等价命题： 以下等价关系要求会用公式求背记 x 1x 2b，x1 x2ac ； =b -4ac分析，不要2a（ 1）两根互为相反数（ 2）两根互为倒数b = 0 且 0b = 0且0；ac =1 且0a = c且0；a（ 3）只有一个零根（ 4）有两个零根c = 0 且ac = 0 且ab 0c = 0且 b0；ab = 0c = 0且 b=0

11、；a（ 5）至少有一个零根（ 6）两根异号c =0c=0 ；ac 0a 、c 异号；a（ 7）两根异号，正根肯定值大于负根肯定值a、b 异号；（ 8）两根异号，负根肯定值大于正根肯定值a、b 同号；c 0 且ac 0 且ab 0a 、c 异号且ab 0a 、c 异号且a（ 9）有两个正根 0；（ 10）有两个负根且0.c 0，ac 0，ab 0 且 0a 、c 同号， a 、b 异号且ab 0 且 0a 、c 同号， a 、b 同号a6求根法因式分解二次三项式公式：留意：当 0 时，二次三项式在实数范畴内不能分解 .2ax +bx+c=ax-x 1x-x2或2ax +bx+c=a xbb24a

12、cxbb24ac.2a2a7求一元二次方程的公式：121x2 - （x +x ）x + xx2 = 0.留意：所求出方程的系数应化为整数.第三节 一元二次方程的应用学习必备欢迎下载8平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x）：(1) 第一年为 a ,其次年为 a1+x ,第三年为 a1+x 2.（ 2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +其次年+第三年 =总和.9分式方程的解法：两边同乘最简1 去分母法公分母验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.（2）换元法凑元，设元，验增根代入原方程每个分母，值0 .换元 .10.二元二次方程组的解法：（1）代入消元

13、 法方程组 中含有一个二元一次方程 ;1 0 20 1 0 2 0 3 0 40 4 0 3 0（2）分解降次法方程组 中含有能分解为 （）0 的方程 ;3留意：132040应分组为.2 11几个常见转化：xx22 xx 22x x；xx 2x1 xx11212212121x 2 4 x 1 x；x 21 xx 21 22；x或x 21xx 2 22；xx 1x 22x12122x 24x 1 x 22 x1x 2 ； x 1x 2 x 1x 2 4x 1x 2x 1x 2 x 2x 2 xx 22 x x ，11x1x2，121212x1x2x1 x2 xx 2xx| xx|xx24 x x

14、 ，12121 224x x，x x 2x 2 xx x xx ，12121212121 212xxx 2x 2xx 24x x2112121 2等x1x2x1 x2x1 x22x1x 221. 分类为x 1x 22 和 x 1x 22；22. 两边平方为（ x 1x 2）4(3) x 14 或116 1分类为x1x 24和 x 143x 23；xx292x 2322两边平方一般不用, 由于增加次数 .学习必备欢迎下载x2(4) 如x 1sin a ,x 2sin b且ab90 时 ,由公式sin 2 acos 2 a1, cos asin bx1可推出221.留意隐含条件: x 10,x 2

15、0.5x 1 , x 2如为几何图形中线段长时, 可利用图形中的相等关系 例如几何定理，相像形,面积等式 , 公式 推导出含有x 1 ,x 2 的关系式. 留意隐含条件: x 10,x 20. 6如题目中给出特别的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件, 可把它们转化为某些线段的比，并且引入“ 帮助未知元k”. 7方程个数等于未知数个数时 , 一般可求出未知数的值; 方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值, 但总可求出任何两个未知数的关系 .第十八章正比例函数和反比例函数一、函数的定义 ：在 x 值的取值范畴内的每一个值，y 都有唯独一个值和它对应；y 是 x 的函数；（唯独性

16、）二、表示函数的三种方法：1、列表法2、解析法（函数关系式）3、图象法画图像的一般步骤：（1）列表（ 2）描点（ 3）连线三、确定函数自变量的取值范畴 1、自变量以 整式形式显现，自变量的取值范畴是全体实数；2、自变量以 分式形式显现，自变量的取值范畴是使分母不为0 的数；3、自变量以 偶次方根 形式显现，自变量的取值范畴是使被开方数大于或等于 0（即被开方数 0）的数；自变量以 奇次方根 形式显现，自变量的取值范畴是全体实数；4、自变量显现在 零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范畴是使底数不为 0 的数；说明：当函数解析式表示具有实际意义的函数时，自变量取值范畴除应使函数解析式有意义外

17、，仍必需符合实际意义；）正比例函数正比例： 假如两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于 0），那么就说这两个变量成正比例；解析式如y=kx ，（ k0）的函数叫做正比例函数，k 叫做比例系数；k>0 时，正比例函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量 x 的值逐步增大时， y 的值随着逐步增大k<0 时，函数图像的两支分别在其次、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐步增大时， y 的值随着逐步削减；反比例学习必备欢迎下载假如两个量的每一组对应值的乘积是一个不等于的常数，那么就说这两个变量成反比例，解析式如 y=k 是常数， k0的函数叫做反比例函数

18、，其中k 也叫做比例系数.k>0 时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐步增大时， y 的值随着逐步减小k<0 时，函数图像的两支分别在其次、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐步增大时， y 的值随着逐步增大图像的两支都无限接近于x 轴和 y 轴，但不会与 x 轴和 y 轴相交；第十九章几何证明判定一件事情的句子叫做命题，其判定正确的命题叫做真命题，其判定错误的命题叫做假命题公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理定理：有些命题是从公理或其他真命题动身，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判定其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理；命题

19、1、命题：凡是可以判定出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题；2、命题分类真命题：正确的命题命题假命题：错误的命题4、反例：符合命题条件，但不满意命题结论的例子称为反例；其次节 线段的垂直平分线与角平分线线段的垂直平分线二、互逆命题三、原命题：假如 p，那么 q；四、逆命题：假如 q，那么 p；（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题；）1、定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；2、性质：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等；p 直线 l垂直平分 ab，点 p 在 l 上 pa=pbab2、判定：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；p pa

20、=pbab学习必备欢迎下载 点 p 在 ab的垂直平分线上五、角的平分线1、性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；2、判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；轨迹点的轨迹 ： 我们有时也把符合某些条件的全部点的集合，叫做点的轨迹和线段两端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线在一个角的内部 （包括顶点） 且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；7、直角三角形全等的判定1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；2、性质：（ 1）边性质：两直角边的平方和等于斜边的平方；（

21、勾股定理）（ 2）角性质：两个锐角互余；3、含 30°角的直角三角形性质 ：在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；学习必备欢迎下载定理： 假如两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为h.l ）定理 1 直角三角形的两个锐角互余定理 2 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半推论 1 在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 .推论 2 在直角三角形中， 假如一条直角边等于斜边的一半，那么这个直角边所对的角等于 30°；定理 在直角三角形中，斜边大于直角边勾

22、股定理直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方222直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方；（即： a +b c ）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：b（1）已知直角三角形的两边求第三边 （在abc 中，c90，就 ca 22 ，2222b ca， acb）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理假如三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形假如三角形的三边长： a、b、c，就有关系 a2+b2 c2，那么这

23、个三角形是直角三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能外形，在运用这肯定理时应留意：（1）第一确定最大边，不妨设最长边长为：c；222222（2）验证 c与 a +b 是否具有相等关系，如c a +b ，就 abc是以 c为直角的直角三角形222222（如 c>a +b ，就 abc是以 c 为钝角的钝角三角形；如c <a +b ，就 abc为锐角三角形）；（定理中 a ， b ， c 及 a 2b222c2 只是一种表现形式，不行认为是唯独的，如如三角形三边长 a ， b ， c 满意 a 2三角形，但是 b 为斜边）c b ，那么以