2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题05奇偶性周期性单调性对称性的综合应用

1、专题05奇偶性周期性单调性对称性的综合应用一.考情分析函数的性质是整个高中数学的核心内容,所有高中数学内容，都可以围绕这一主线考查学生。 单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考 查，而且考查的形式不一,简单的题目也有出现，但是压轴题目是肯定会对函数的性质进行考 查的。二.经验分享1 .周期性的常用结论一对大X）定义域内任一自变量的值X：，则7=2心0）.(1)若危+)= 一危)，则 T=2a(a>Q). (2)若危+a)=(3)若危+。)= 一则 T=2(a>0).(4)若/(x + 2«) = /(x + a) - /(x),

2、则 T=6a(a>0).（5）若危+。）=T31 +小)厕 T=2a(a>0).(6)若"r+a)=1 + 73-3，则 T=4a(a>0).2 .函数对称性与函数周期性的关系（类比三角函数） 若函数/（工）的图象既关于直线对称，又关于直线X = Z?对称（。工力）,则/（工）是周期函数，且2（b-a）是它的一个周期.若函数“X）的图象既关于点（。,0）对称，又关于点（瓦0）对称（。工与,则“X）是周期函 数，且2（。4）是它的一个周期.若函数工）的图象既关于直线对称，又关于点（40）对称（。工沙）,则/（x）是周期 函数，且4（。-。）是它的一个周期.3 .复合函

3、数设丁 = /卜（刈是定义在M上的函数，若/（X）与g（x）的单调性相反，则y = /虱可在河上 是减函数：若"X）与g（X）的单调性相同，则'=/4（幻在m上是增函数，简称同增异减.4 .对称性的一般结论若f(a + x) = f(b-x)厕/ (x)图像关于直线x =对称： f(a + x) + f(b - x) = c 9函数y = /3)关于点(”2.上)对称.2 2三、题型分析（一）函数单调性的灵活应用例1.【北京卷】已知（3n-l）x + 4a,x< 1131是上的减函数，那么。的取值范围是（）A.(OJ)c 1 1) 7'3)呜,1)【答莱】C【解

4、析】依题意，有0<a（l且3a 1<0,解得0<a<,又当xvl时,（3a1） x+4a>7aL 3、与x>l时，logaXcO,所以7a 120解得史!， 故选C.7【变式训练1若函数= * 1（a - 2 卜,x > 2是R是的单调递减函数，则实数。的取值范1, x < 2围是（）A. (8,2)B.C.(O,2)D.13 s,Q【答案】D。一2 < 0【解析】要使/（X）为R上的减函数，则<1 丫-122(“一2)'13解得上三 O【变式训练2】已知"X）是R上的减函数，4（3,-1）,8（0）是其图像上两个点

5、，则不等 式|/（l + 】nx）|vl的解集是 .【答案】【解析1因为不等式|，(1+1时卜1,所以+ 1但<1,因为R(3T)41)是其图象上两个 点，所以3) = TJ(0)=l,所以可化为3)</(1+1皿)</(0),因为“对是K上的减国数，所以3、1+1皿0,化为2、1皿>1,解得一 <、<儿 所以不等式|/。+ 1回卜1的解集是;-1(二)函数奇偶性的灵活应用例2.已知函数/3 = 1%任+；)-?，则使得/(x + l)</(2x l)的X的范围是()A. (0,2)B. (yo,0)c. (口,0)U(2,+oo)D. (2*)【答案

6、】A【解析】由于f (-x) = f(X)，所以函数为偶函数，且在(0,+oo)上为减函数.要 /(x+l)</(2x-l)则需k+1|>|2大一1| .解得 xe(0,2).1-log (x + 2),x>0g(x),x。【变式训练1X2017年第一次全国大联考(山东卷)】已知函数/(x) =，、八是奇函数，则方程g(x) = 2的根为()331A. B. 6C. 6, D. 一22632【答案】B【解析】因为函数/(X)为R上的奇函数，所以/(0) = 0,即l - log.2 = 0,解得a = 2.l-log(x + 2),x> 0所以/(")= &l

7、t; / 八 .方程g(x) = 2,即/(一幻=一且。)=-2.当1<0时，有 g(xx<0l-log2(-.r + 2) = -2,整理印奥式27)= 3,解得_¥ = -6.综上，方程的根为-6,故选B.【变式训练2已知/(X)是定义在R上的奇函数，当X之。时，/(x) = /+2x,若/(2-。2)> /,则实数的取值范围是()A. (-00,-1)u(2,4-00)B. (-00,-2)u(L+s)C. (1,2)D. (2,1)【答案】D【解析1因为当上之0时,-+ 2二所以由二次函数的性质知:它在(0,收)上是熠函数，又因为因数/(x)是定义在R上的奇

8、函数.所以困数定义在R上的增函数:若/(2 -/)> /(a)，则2 口：解之得2即实数。的取值范围为(2：1)：故应选D .(三)函数对称性的灵活应用 例312017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点A(1,0)和3(1,0),动点P(x,y) 在直线/： ¥ = x + 3上移动，椭圆。以4 8为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为D,巫5【答案】A【解析】A(-l,0)关于百浅/ ： y = x + 3的对称点为4(一3,2) ,连接A3 X "线/于点P，则 椭圆C的长轴长的最小值为|A'B| = 2所以椭圆C的离心率的最大值为£

9、; = 4= = a y55故选A.【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【变式训练1】已知定义在R上的函数/(x)满足/(2-幻为奇函数，函数/(x + 3)关于直线x = l对称，则下列式子一定成立的是(A. /'(x-2) = /(x)B. /(x-2) = /(x + 6)C. /(x-2)/(x + 2) = lD./(-%) + /(%+ 1) = 0【答案】B【分析】由题中函数/(x)满足/(2-X)为奇函数，结合奇函数的定义转化可得：/G) = "4 幻,再由条件：函数/(x + 3)关于直线工=1对称，结介对称性的规律可得："4 x) =

10、 /(4 + x)，最后由周期性的概念可转化为：f(x) = -/(x + 4) = /(x+8),可见函 数的周期为8,即可求解.解析|因为“2-x)为奇函数，所以2x) = -/(2+x)，则/(x) = -/(4x) .乂因为/(A- + 3)关于直线X = 1对称.所以/(X)关于X = 4对称.所以/(4 x) = /(4+X)，则/(%) = _/(+4) = /(x+8),于是 8 为函数f(x)的周期，所以2) = /(x+6)，故选 B.【变式训练2 已知函数y = f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有/(I + x) = -/(1-X).当 x e (2,3)时,/(

11、x) = log2(x-1)给出以下4个结论：函数y = /(x)的图象关于点(k.O)(ke Z)成中心对称：函数y =1 /' (X) I是以2为周期的周期函数；当 x e (-1,0)时,/(X)= -log2(l-x)；函数V = /(UI)在(kk+l)( ke Z)上单调递增.其一中所有正确结论的序号为【答案】®【解析】由题设了 = /(工)为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意X都有+ = 所以其图象还关于点(1,0),据此可判断函数/(X)为周期函数，最小正周期丁 = 2、乂当xe(2,3)时J(x) = log2(x 1).因此可画出函数f (

12、x)的图象大致如下图一所示，函数y T /(x) I的图象如卜一图一.所示，函数y = /(I xI)的 图象如下图三所示，由图象可知正确，不正确；另外1X e （-1,0）时,2x e（2,3）所以,/（2工）=1。82（2一工-1） = 1。82（1一工），又因为耳是以2这周期的奇函数所以（2 - x） = f （-力=一/（力,所以，-f （力=1082。一%）,所以,/（x） = -log2（l-jf）,xe（-l,0），所以也正确，故答案应填：（四）函数周期性的灵活应用厂 V Z)例&设是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1)上，/(%)=' 其中集X. xD合。&

13、quot; IX =匕1. £ N,则方程/(x)-lgx = 0的解的个数是. n【答案】8【解析】由于/(x)e0J),则需考虑14大10的情况，在此范围内，X£Q且XE。时，设x = 2p,qwN，pN2,且国互质，若IgxeQ,则由lgxe(0,l),可设lgx = 2肛方且丸互质, inn凶此10方=名，则10=(2)m .此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，PP因此IgxqQ,因此Igx不可能与每个周期内。付应的部分相等，只需考虑怆X与每个周期X金。的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期工任。的部分，11. X

14、= 1处(lgx)' = 一!一 =一V1 ,则在X = 1附近仅有一个交点,xlnlO InlO因此方程f(%)Tgx = 0的解的个数为8.【变式训练1】设函数/(乃是定义在R上的周期为2的偶函数，当工£0,1时，/'(x) = x + l,3则/(冲.乙【答案】3【解析】函数/(X)的图像关于直线x = 2对称，所以/(x) = /(4 x),/(-) = /(4+x),又/(一x) = /),所以/(x) = /(4 + x),则/'(一1) = /(4-1)=八3) = 3.(五)函数性质的综合应用例5.设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数

15、，/0)的周期为4, g(x)的周期为2,且k(x + 2),0<x« 1/(X)是奇函数.当 xe(0,2时，/*)= 11一*一17， g(x) = <_l，其中" ,1 < 入 $ 22左>0.若在区间(0, 9±,关于X的方程/(x) = g(x)有8个不同的实数根，则上的取值范围是【解析】 作出函数/(x) 9g(x)的图像如图所示，由图可知L 函数/(x) U g(x) = - J(1 < xW 2,3 <x W 4,5 < x< 6,7 v x (8)仅有 2 个实数根：关于4的方程/(x) = g(x

16、)有8个不同的限.则/(x) =，xe(0,2 9 g(x) = Z(x + 2), xe (0,1的图象有 2 个不同交点，由(1,0)到直线京一y+景=0的距离为L得3k>lk2 + =1因为两点(一2,0), (1,1)连线的斜率k = g,所以彳於A < 尸, 32V2即A的取值范围为；，壶).【变式训练1】.设/'W是R上的奇函数，且对任意的实数“/当4+工。时，都有以G +于Na + b（1）若a /?,试比较/ （。），/（）的大小:（2）若存在实数xerl使得不等式/*一c） + /"-）0成立,试求实数。的取值范围.【答案】（1）/（。）/S）：

17、 （2）（【解析】。）由己知得a-b/() + /(-)a + (-Z?)>0又ci >， a-b>0. /（。）一/3）0.即/（。）/（。）（2） /*）为奇函数,，/*一。） + /（工一/）。等价于/。一。） f（c2-x）又由（1）知/（X）单调递增,.不等式等价于x_cc2_x即c2+c2x由卜存在实数x e使得不等式1c2 +c 2x成立,. c2 + c 3c的取值范围为（_ .1 一 严,避：二!）22四、迁移应用X? -x + 3,x W 1,1 .己知函数/。）=2, 设4£R,若关于X的不等式/*）2l： + al在R上恒成x + -.x.2

18、A立，则。的取值范围是4747 39ll 39A. - - ,2B. - - .1 C. -2五2 D. l-2x/3,-loIo loIo【答案】A【解析】解法一根据题意，作出JU）的大致图象，如图所示'"ixWl时，若要/(")以5+41恒成立，结合图象，只需d 一工+32-弓+ 0 ,即YV1/一_ + 3 + "20,故对于方程 + 3 +。= 0 , A = (-_)2-4(3 + a)<0,解得 22247r2 vc/N-一：当x>l时，若要洱大+ 1恒成立，结合图象，只需x +二N + ，即 162x 2x2x2x2二+ 一力。，

19、又一+ 一22,当旦仅当一=一，即x = 2时等号成立，所以W2,综上，。2x2x2x47的取值范惘是一匚,2.选A.Io2.若函数e"(x)(e=2. 71828-是自然对数的底数)在/W的定义域上单调递增，则称函数/(X)具有用性质，下列函数中具有"性质的是. /(x) = 2x /(X)= A-2 /(a) = 3-v f(x) = cos x【答案】【解析】01 =(£)'在R上单调递增，故x) = 2T具有M性质； 2</.(x) = "3T=。)x在R上单调递减，故/(x) = 3-K不具有M性质： ex /(x) = ex -

20、 x5,令 g (x) = e， x3,则 g '(x) = ex - x3 + ex - 3x2 = x，(x + 2),.当x>-2时，g'(x)>0,当戈<一2时，g'(x)0,.</(%) =/在(yo,-2)上单调递减,在(-2,")上单调递增,故/(x) = V不具有m性质； exf (x) = ex(x2 +2),令 g (x) = ex (x2 + 2),则 gf(x) = ex2 + 2) + ex-2a =v(x + 1)2+ l>0,/. exfx) = ex(x2 + 2)在R上单调递增,故f(x) = x

21、2+2具有M性质.3.如图，圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形A8C的中心为O . D、 E、产为圆。上的点，ADBC, AECA, AE48分别是以8C, CA , A3为底边的等腰 三角形。沿虚线剪开后，分别以BC, CA, A3为折痕折起。台。，SECA, AE4B.使得。、E、尸重合，得到三棱锥。当AA8C的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cn?) 的最大值为.【答案】4厉【解析】如图连接OE交AC于G,由题意OE_LAC,设等边三角形ABC的边长为x (0<x<5 ).则OG = x，GE = 5- - x.66出题意可知三棱锥的高"=

22、yjGE2 -OG2底而S三棱锥的体积为V = 1X正/X25一述X =晅.5x4-x5 ， 3 4 V 312 V 3设/z(x) = 5V一走V,则/(%) = 20/一逆f(0<x<5), 3令(幻=。，解得工=46，当工£(0,4褥)时，hfM > 0 ,力(工)单调递增;当xe(465)时,hr(x) <0 f (x)单调递减，所以x = 46是"(x)取得最大H 6(4 JJ) = (4所以=当 X/)=乎 x (46)2 = 4 A 141乙4 .设/(X)是定义域为R的偶函数，且在(。,+8)单调递减，则132A. f (log3l)

23、 >f(2、)>/(2-3 )123B. / (log? 1) > / ( 2i)> f( 2 ,)C. f( 2吊)> /(2 ；)> / "唯:)231D. />f <<2)>f (logsl)乙乙4【答案】c【解析】 “X)是定义域为R的偶函数，所以log3；)= /'(log3 4)，|/Jog34> 1叫3 = 1，0<2-亍 <2万 v2° = 1'所以0<2，<2 5 <log34 »31乂 f(x)在(0,+s)上单调递减，所以 f(2-

24、5)>/(2I)>f。og3力.故选C.5 .关于函数/(-V)= sin I x I +1 sin x I有下述四个结论：/(x)是偶函数/(、)在区间(，冗)单调递增2/(x)在-凡可有4个零点 /(、)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.©B.C. ®D.【答案】C【解析】/(-x) = sin|-x|+lsin (一切=sin|x|+卜inxl=/(x),则函数f(%)是偶函数, 故正确."I x e ,兀 时， sin 同=sinx,|sinx| = sim ,则/(x) = sinv + sinv = 2sinv为减函数，故错误.当 0

25、 W x兀，/(X)= sin 凶 + |sinx| = siiw + sinx = 2sinx,由/(x)= 0得2siirv = 0,得工=0或%=兀,Il"（x）是偶函数，得在一兀，0）上还有一个零点工=一兀，即函数/（X）住一兀，可上有3 个零点，故错误.当sin闵=1,卜屁| = 1时，/（工）取得最大曾2.故正确,故正确的结论是.故选C.in v -4- y6 . （2019全国I理5）函数/U）=在一冗,汽的图像大致为 cosx + x-7T【答案】D【解析】：因为/（X）=，xe兀，兀,所以cosx + k-sinx-x sinx + x （、J 八）-77 =7 =

26、 /，COS （-x） + x cos x + x所以/（X）为一兀，汨上的奇函数，因此排除A；又/（兀）=上"二因此排除B, C；CQS 兀+ 7T 1 + 7T故选D.9 丫37.函数y =在-6,6的图像大致为2 I 2【答案B【解析】因为t户却一若所以/(x)是-6,6上的奇函数，因此排除C,211又/(4)=一7,因此排除A, D.故选B.28 + 18.已知实数 。,。 0,对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：“/(X)是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点4«。)对称“；"/CD是偶函数”的充要条件是“函数/(x a)的图像关于直线x =。对

27、称”：“2a是/(X)的一个周期”的充要条件是“对任意的x e R,都有f(x-a) = /")”：“函数y = f(x-a)与y = /( x)的图像关于y轴对称”的充要条件是“a = b”其中正确命题的序号是A. B. ®®C. ® D. ®【答案】A9.12017湖北省爽阳市四校期中联考】设函数/(1)=皿2 +外+皿2 - “厕/卜)是()A.奇函数，且在(0,2)上是增函数B.奇函数，且在(0,2)上是减函数C.偶函数，且在(0,2)上是增函数D.偶函数，且在(0,2)上是减函数【答案】D【解析】因为f(-x) = ln(2 - x) + ln(2 + x) = f(x)，所以函数f(x)是偶函数，又/(x) = ln(2 + x) + ln(2-x) = ln