第四章多元函数微积分

1、第二节 多元函数积分一、二重积分一、二重积分二、曲线积分二、曲线积分一、二重积分1. 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质1 1）二重积分的概念）二重积分的概念（1）曲顶柱体的体积）曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积*高高特点：平顶特点：平顶.),(yxfz d柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方的方法，如下动画演示法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并先分割曲顶柱体的底

2、，并取典型小区域，取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.),(lim10iiniifv xzyo),(iii（2）求平面薄片的质量）求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iii2 2）二重积分的定义）二重积分的定

3、义如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时， 这和式的极限存在， 则称此极限为函数),(yxf在闭区域 d 上的二重积分， 记为 ddyxf ),(， 即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .),(,),(,),(,1积积分分和和叫叫做做，积积分分变变量量叫叫做做与与被被积积表表达达式式叫叫做做面面积积元元素素做做叫叫被被积积函函数数叫叫做做积积分分区区域域叫叫做做其其中中iiiniyxfyxdyxfdyxfd 对二重积分定义的说明对二重积分定义的说明：(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭

4、区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值3 3）二重积分的性质）二重积分的性质( , )( , )ddkf x y dkf x y d性质性质设设k为常数，为常数，性质性质2 ( , )( , )( , )( , )dddf x yg x y df x y dg x y d ddddyxfdyxfdyxf12),()

5、,(),( 性质性质3 若积分区域若积分区域d由由d1,d2组成组成(其中其中d1与与d2除边界外无公除边界外无公共点共点),则则性质性质4( , )( , ), ( , )( , )dddf x yg x yf x y dg x y d设在闭区域 上有则 dmdyxfm ),(性质性质5 设设m,m是函数是函数f(x,y)在闭区域在闭区域d上的最大值与最小上的最大值与最小值值, 是是d的面积的面积,则则 dfdyxf ),(),(:),(,),( 使使得得下下式式成成立立一一点点上上至至少少存存在在则则在在的的面面积积是是上上连连续续闭闭区区域域在在设设函函数数 dddyxf)(6 二二重重

6、积积分分的的中中值值定定理理性性质质2. 二重积分的计算二重积分的计算1 1）利用直角坐标计算二重积分）利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,ba为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzddyxfd a0 xbzyx应用计算应用计算“平行截面面积平行截面面积为已知的立体求体积为已知的立体求体积”的的方法方法)(2xy),(yxfz )(0 xa)(1

7、xy.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 得得如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy y y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf x x型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域轴的直线与区域边界相交不多于两个交点边界相交不多于两个交点. .y y型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边轴的直线与区域边界相交不多于两个交点界相交不多于两个交点. .若区域如图，若区域如图，则必须分

8、割则必须分割. .在分割后的三个区域上分别使用积分公式在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321 dddd3d1d2d2 2）极坐标下二重积分的计算）极坐标下二重积分的计算 设有极坐标系下的积分区域设有极坐标系下的积分区域d, 用一组以极点为圆心的同心圆用一组以极点为圆心的同心圆(r=常数常数)及过极点的一组射线及过极点的一组射线( =常数常数)将区域将区域d分割成分割成n个小区域个小区域. rr.dd)sin,cos(dd),(* ddrrrrfyxyxf dddrr 平面上的点的直角坐标平面上的点的直角坐标(x,y)与该点的极坐标与该点的极坐标(r, )之之间的关系：间的关系： x=rc

9、os ,y=rsin ，)()(,),( *21 rrrrd )()(21d)sin,cos(ddd)sin,cos(rrdrrrrfrrrrf(1)若极点若极点o在区域在区域d*之外之外,且且d*由射线由射线 = , = 和两和两条连续曲线条连续曲线r=r1( )，r=r2( )围成围成 )(0 ,),( * rrrd )(0d)sin,cos(ddd)sin,cos(rdrrrrfrrrrf(2)若若r1( )=0,即极点即极点o在区域在区域d*的边界上的边界上,且且d*由射由射线线 = , = 和连续曲线和连续曲线r=r ( )围成围成 )(0 ,20),( * rrrd 20)(0d)

10、sin,cos(ddd)sin,cos(rdrrrrfrrrrf(3)若极点若极点o在区域在区域d*内内,且且d*的边界曲线为连续封的边界曲线为连续封闭曲线闭曲线r=r ( )(0 2 ) 3. 二重积分应用举例二重积分应用举例在区域在区域d上任期一微小区域上任期一微小区域 d，d),(dyxm ，设，设想这部分质量集中在想这部分质量集中在 点点),(yx处，于是得薄板对坐标轴的处，于是得薄板对坐标轴的静力矩微元（见右图）为静力矩微元（见右图）为 d),(dyxxmy d),(dyxymx , , o y x d y x 将上述微元在将上述微元在d上积分，得上积分，得 d ),(dyyxxm,

11、 ,dxyxymd),(, , 例例1于是，薄板重心坐标为于是，薄板重心坐标为 ddyxyxxxd),(d ),( , , ddyxyxyyd),(d ),(. . 若若薄薄板板是是均均匀匀的的，是是常常数数，则则重重心心坐坐标标为为 dxaxd1, ,dxayd1 其其中中a为为区区域域d的的面面积积. . 解解 建坐标系建坐标系( (见下图见下图).).先求转动惯量微元先求转动惯量微元 d)(d220yxi( ( 为密度为密度) )将微元在圆环域内积分，将微元在圆环域内积分，则得则得 dyxid)(220 用极坐标计算用极坐标计算, ,d表示为表示为 1rr2r, ,02, ,于是于是 )

12、.(21dd4142202021rrrrrirr d x y 1 r o 2 r 例例 3 3 求求内内半半径径为为 1r，外外半半径径为为 2r，密密度度均均匀匀的的圆圆环环形形薄薄板板关关于于圆圆心心的的转转动动惯惯量量. . 例例2二、曲线积分1. 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1 1）概念）概念令maxs1 s2 sn0 则整个曲线形构件的质量为 iiinism),(1 整个曲线形构件的质量近似为 设曲线形构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)iiinism),(lim10 把曲线弧l分成n个小段 s1 s2 sn(si也表示弧

13、长) 任取(i i)si 得第i小段质量的近似值(i i)si v曲线形构件的质量 将l任意分成n个小弧段 s1 s2 sn(si也表示第i个小弧段的长度) 在每个小弧段si上任取一点(i i) 作和 定义定义 设l为xoy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在l上有界 iiinisf),(1 iiinilsfdsyxf),(lim),(10 如果当maxs1 s2 sn0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧l上对弧长的曲线积分 记作dsyxfl),( 即 其中f(x y)叫做被积函数 l叫做积分弧段 说明 当函数f(x y)在光滑曲线弧l上连续时 函数f(x y)在曲

14、线弧l上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在l上是连续的 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 曲线形构件的质量就是曲线积分 的值 dsyxl),(iiiinisfdszyxf),(lim),(10 类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分 如果l(或)是分段光滑的 则规定函数在l(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设l可分成两段光滑曲线弧l1及l2 则规定dsyxfdsyxfdsyxfllll),(),(),(2121 函数f(x y)在闭曲线l上对弧长的曲线积分记作 dsyxfl),(2 2）性质）性质性质1 设c1、c

15、2为常数 则 dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfclll),(),(),(),(2121 性质2 若积分弧段l可分成两段光滑曲线弧l1和l2 则 dsyxfdsyxfdsyxflll),(),(),(21 3 3）对弧长的曲线积分的计算法）对弧长的曲线积分的计算法dtttttfdsyxfl)()()(),(),(22() （1） 设曲线 l的参数方程为x(t) y(t) (t) 则b(1 1)之间的一段弧 曲线l的参数方程为xx yx2 (0 x1) 因此 解 10222)(1dxxxdsyl10241dxxx) 155 (12110241dxxx) 155 (121 10222)(1

16、dxxxdsyl 例1 计算dsyl 其中l 是抛物线yx2上点o(0 0)与点 所以 dszyx)(2222022222)(dtkatka)43 (3222222kaka dszyx)(2222022222)(dtkatka xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧 解 在曲线上有 并且 x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2 dtkadtktatads22222)cos()sin( 例2 计算曲线积分dszyx)(222 其中 为螺旋线 2. 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 质点在变力f(x y)p(x y)iq(x y)j的作用下从点a

17、沿光滑曲线弧l移动到点b 求变力f(x y)所作的功提示把l分成n个小弧段 l1 l2 ln求功的过程 变力在l上所作的功的精确值为 其中是各小弧段长度的最大值 f在li上所作的功wif(i i)sip(i i)xiq(i i)yi ni 10lim1 1）概念）概念设函数p(x y)、q(x y)在有向光滑曲线弧l上有界 把l分成n个有向小弧段l1 l2 ln 其中li是从(xi1 yi1)到(xi yi)的小弧段 记xixixi1 yiyiyi1在小弧段li上任取一点(i )令为各小弧段长度的最大值 如果极限 总存在 则称此极限为函数p(x y)在有向曲线弧l上对坐标x的曲线积分 记作 i

18、iinixp),(lim10ldxyxp),(ldyyxq),(iiiniyq),(lim10如果极限 总存在 则称此极限为函数q(x y)在有向曲线弧l上对坐标y的曲线积分 记作 iiinilxpdxyxp),(lim),(10 iiinilyqdyyxq),(lim),(10 在积分中p(x y)、q(x y)叫做被积函数 l叫做积分弧段 说明 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 iiiinilyqdyzyxq),(lim),(10 设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数p(x y z)、q(x y z)、r(x y z)在上有定义 我们定义iiiinilxpdxzyxp),(lim),(10 iiiinilzrdzzyxr),(lim),(10 在应用上经常出现的是 lldyyxqdxyxp),(),( 上式可记为 dyyxqdxyxpl),(),( 或ldyxrf),( 其中f(x y)p(x y)iq(x y)j drdxidyj 类似地 有 其中ap(x y z)iq(x y z)jr(x y z)k drdxi