求解有关恒成立、存在性问题的四种策略

1、求解有关恒成立、存在性问题的四种策暁对于冇关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全 称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知 识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。如何 突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。现就如何求解恒成立、 存在性问题中的参数问题加以分析。方法1:分离参数法例 1设函数 f (x) =lnxax, g (x)二ex-ax,其中 a 为实数。若 f (x) 在(1, +°°)上是单调减函数，.且g (x)在(1, +8)上有最小值，求a 的取值范围。解：因为 f' (x) = -a,

2、 g' (x) =ex-a,由题意得 f' (x) wo 对 xg (1, +°°)恒成立，即a上对xe (1, +8)恒成立，所以alo因为 g' (x) =ex-a在xg (1, +8)上是单调增函数，所以g' (x) >g' (1) =e-ao又g (x)在(1, +8)上有最小值，则必有e-aeo综上，可知a 的取值范i韦i是(e, +°°)。点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就冇差异。在恒成立问题 中有时需要取交集，有时需耍取并集，木题解法需要取交集。一般而言： 在同一问题中,若是对自变量作分类

3、讨论,其结果要取交集;若是对参数 作分类讨论，其结果要取并集。方法2：构造函数法例2.已知函数f (x)二，若|f (x) |ax，则a的取值范围是()。a. (8, 0 b. (8, 1 c. -2, 1 d. -2, 0解：当 xwo 时，|f (x) axx2- (2+a) x20,对 xwo 恒成立。记 g (x) =x2- (2+a) x= (x- ) 2-。当0即a-2时，g (x)的最小值为-，不可能满足条件。当20即诊-2时，g (x)的最小值为0,满足题意。当 x>0 时，| f (x) axln (1+x) -axnoaw ,对 x>0 恒成立。令 b (x)二

4、，则 (x)二。设 t二x+1,则 t>l。记 l (t) = -lnt,则 l' (t) = <0,所以 l (t)在 tw (1, +8)上 为减函数。故 l (t) <l (1) =0,从而厂(x) <0,所以。(x)在 xw (0, +8) 上为减函数。故当xw (0, +8)时，0 (x)恒大于0,所以awo。综上，可知且的取值范围是-2, 0,故选d。点评：本题虽然是选择题，但是对运算能力的要求较高，要想顺利完 成也不容易。问题的切入点不同，构造的函数也不相同。在问题的求解过 程中，如果可以分离出参数，尽量用分离参数的方法去求解，多数问题采 用分离参

5、数的方法求解会相对容易一点。方法3：图像法例3若存在正数x使2x (x-a)1成立，则a的取值范围是()。a. (一8, 4-00 ) b. (-2, +8)c. (0, +8) d. (-1, +°°) 解：不等式2x (x-a) -1, d正确。点评：结合函数图象来求解比起用常规方法求解更为直观、简单。方法4：等价转化法例 4.设 f (x) = +xlnx, g (x) =x3-x23o(1) 如果存在 xl、x2e0, 2, g (xl) -g (x2) 2m 成立，求满足 上述条件的最大整数mo(2) 如果对于任意的s、te , 2都有f (s)(t)成立，求实数

6、a的取值范围。解：(1)存在 xl、x2g0, 2使得 g (xl) -g (x2) 2m 成立，等价 于g (xl) -g (x2) jmaxmo 因为 g (x) =x3-x2-3,所以 g (x) =3x2-2x=3x(x- )o 由 g' (x) >0 得 x ,由 g' (x)0 得 0x o 又 xw0, 2,所 以g (x)在区间0,上是单调减函数，在区间,2上是单调增函数。 所以 g (0)二-3, g ()二-，g (2) =1,所以 g (x) min=g ()二-，g(x) max=g (2)二1,故g (xl) -g (x2) max=g (x)

7、max-g (x) min二 $ mo所以满足条件的最大整数m二4。(2)对于任意的s、t , 2,都有f (s) ng (t)成立，等价于 在区间,2上函数f (x) ming (x) max0由(1)可知在区间,2 上，g (x) max=g (2)二 1,区间,2上 f (x)二 +xlnxm 1 恒成立，等 价于 ax-x21nx 恒成立。设 h (x) =xx21nx,则 h (x) =l-2xlnx-x, 可知h、(x)在区间,2上是单调减函数。又h' (1)二0,所以当10,所以函数h(x)=x-x21nx在区间,1上单调递增，在区间1, 2上单 调递减。所以h (x) max=h (1) =1,即实数a的取值范围是1, +°°。点评：如果一个问题的求解中既冇存在性问题