大学文科数学2第二章极限的四则运算

1、 定理定理推论推论1lim( ),lim( )f xcc f x如如果果存存在在 而而 为为常常数数 则则 这意味着这意味着, ,常数因子可以提到极限常数因子可以提到极限符号的外面符号的外面. .(1) lim ( )( );f xg xab(2) lim ( )( );f xg xa blim( ),lim ( ),f xag xb设设则则( )(3)lim,0.( )f xabg xb 其其中中六、极限的四则运算clim( ).f xc 推论推论2 这意味着这意味着,求一个函数求一个函数 n 次幂的极限次幂的极限等于该函数极限值的等于该函数极限值的n 次幂次幂.lim( ),lim( )l

2、im( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正整整数数 则则 例例1021lim(234)xxx21lim(2)xx . 1 212limxx 1lim3xx 1lim( 4)x13lim4xx212(lim )34xx代数和的极限等于极限的代数和代数和的极限等于极限的代数和.lim ( )( )f xg xablim( )lim( )cf xcf x lim( )lim( )nnf xf x 211lim2xxx 211lim(1)lim(2)xxxx 211lim1lim2xxxx 1112 . 0 在对商求极限时在对商求极限时,若分母不为若分母不为0，商的，商的

3、极限等于先求极限后极限等于先求极限后,再做除法再做除法.0)2(lim1 xx( )lim,0.( )f xabg xb其其中中例例1121241lim21xxx 12(21)(21)lim(21)xxxx 12lim(21)xx. 2 要看分子要看分子, ,分母能否因式分解，并约分分母能否因式分解，并约分. .当分母的极限为当分母的极限为 0 的情形，的情形，1,210,2xx 而而在在时时可可以以约约分分. .2lim 41)lim 21)xx （不不能能写写成成（12lim(21)0,xx由由于于( )lim,0.( )f xabg xb其其中中例例12225lim4xxx 224lim

4、05xxx . 1. 要看能否因式分解；要看能否因式分解；对于分母求极限为对于分母求极限为0的情形，的情形，2. 考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质.225lim4xxx 222lim(4)0,4xxx 可可以以因因式式分分解解但但与与分分子子不不能能约约分分，需需要要另另外外想想办办法法. .2,x 注注意意当当时时 分分母母是是无无穷穷小小量量 分分子子是是常常数数. .例例13如何求有理根式的极限：如何求有理根式的极限：lim(21)nnnn 将原式看作分式，将原式看作分式，分析与提示分析与提示: :(21).1nnn即即，再再有有理理化化例例14(

5、21)(21)lim21nnnnnnnn 1)12(lim nnnn123lim nnnn.32 12)1(2(lim nnnnnnnnn11213lim ,ann 当当时时是是无无穷穷小小量量14 lim(21)nnnn 1sinlim0 xxx 1)0sin,0 xxx 时时，与与 为为等等价价无无穷穷小小量量 它它们们趋趋于于 的的速速度度一一样样. .七、两个重要的极限其中，其中， 0sin 215 limsin 3xxx 例例1sinlim22sinlim020 ttxxtxtx0sin22332slimin3xxxxx xxxxxx3sin3lim22sinlim3200 .23

6、练习练习0sin3)limxxx 0tan34)limxxx2221)lim31xxxx 4222213*5)lim221211*6)lim()xnxxnnnnn 112(1)2nn n注：带注：带* *号的题号的题目较难目较难3282)lim2xxx 2221)lim31xxxx 222lim 2lim 31xxxxx （）（）2lim310 xx要要注注意意：.107 22(2)(24)lim2xxxxx 22lim(24)xxx.12 3282)lim2xxx 其中，其中， 0sin3)limxxx 00sinsinlimlim1txxtxtxt 0sinlimxxx 0sinlimxxx . 0tan34)limxxx0sin33lim13xxx0sin3limcos3xxxx 00sin31limlimcos3xxxxx. 3 1lim(1)xxx10lim(1)xxx e e 2)2.718 281 828 459 045 是是一一个个无无理理数数， 1lim(1)nnn e e. .e ee ee e31