六年级奥数第六讲立体几何教案

1、学习必备欢迎下载第六讲立体几何部分一、长方体和正方体hg如右图，长方体共有六个面 每个面都是长方形 ，八个顶点，十二条棱ef在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等c 叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形dc长方体的表面积和体积的运算公式是：b长方体的表面积：s长方体2abbcca ；aab长方体的体积：v长方体abc 23正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形假如它的棱长为a ，那么：s正方体6a， v正方体a 二、圆柱与圆锥22立体图形表面积体积s圆柱h侧面积2个底面积2rh2rv圆柱r hr圆柱侧面积底面积n221 2hs圆锥r360lrv圆锥体

2、r h 3圆锥注： l 是母线，即从顶点究竟面圆上的线段长例题精讲【例1】 下图是一个棱长为2 厘米的正方体， 在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1 厘米，4那么最终得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍旧从3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：2228 平方厘米 ；左右方向、前后方向：22416 平方厘米 ， 1144 平方厘米 ， 12141 平方厘米 ，21141444 平 方 厘 米 ， 这 个 立 体 图 形 的 表 面 积 为 ：816411

3、429 1 平方厘米 .4学习必备欢迎下载【例2】 一个正方体木块，棱长是1 米，沿着水平方向将它锯成2 片，每片又锯成3 长条，每条又锯成4 小块，共得到大大小小的长方体24 块，那么这24 块长方体的表面积之和是多少？【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数原正方体表面积：1166 平方米 ，一共锯了 21 31 416 次，6112618 平方米 【例3】 如图， 25 块边长为1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【解析】 当小积木相互重合的面最多时表面积最小.设想 27 块边长为1 的正方形积木，当拼成一个333 的

4、正方体时，表面积最小，现在要去掉2 块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例4】 20xx 年“期望杯”五年级第2 试 如图，棱长分别为1厘米、 2 厘米、 3 厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，就所得到的多面体的表面积是 平方厘米【解析】 法 1 四个正方体的表面积之和为：12223252 6396234 平方厘米 ，重叠部分的面积为：12322212 322212 322212 39141440 平方厘米 ，所以，所得到的多面体的表面积为：23440194 平方厘米 法 2 三视图法 从前后面观看到的面积为

5、25223238 平方厘米 , 从左右两个面观看到的面22积为 5334 平方厘米，从上下能观看到的面积为525 平方厘米2表面积为3834252194 平方厘米 学习必备欢迎下载【例5】 把 19 个棱长为1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【解析】 从上下、左右、前后观看到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2 个上面2 个左面2 个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为：8 平方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为：9810254 平方厘米 上下面左右面前后面【例6】 棱长是 m

6、厘米（ m 为整数）的正方体的如干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方体 至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12 ，此时3m 的最小值是多少.【解析】 切割成棱长是1 厘米的小正方体共有m 个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12 ，而 131225，所以小正方体的总数是25 的倍数， 即 m3 是 25 的倍数，那么 m 是 5 的倍数当 m5 时，要使得至少有一面的小正方体有65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265 个，表面没有红色的小正方体有1256560个，

7、个数比恰好是13:12 ，符合题意 . 因此， m 的最小值是5【例7】 有 64 个边长为1 厘米的同样大小的小正方体，其中34 个为白色的，30 个为黑色的现将它们拼成一个444的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来2在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有4238 个，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有42624 个，其中 30822 个用黑色这样，在表面的44696 个 11的正方形中，有22 个是黑色，962274 个是白色，所以在大正方

8、体的表面上白色部分最多可以是74 平方厘米【例8】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米， 每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把学习必备欢迎下载三个长方体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是288396厘米，所以，每个长方体长、 宽、高的和是 96424 厘米由于，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9 厘米、 8 厘米、 7 厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，就需每一个

9、长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个87 面， 有 8756个；涂两面的长方体，如两面不相邻，应涂两个87 面，有 872112 个；如两面相邻，应涂一个 87 面和一个 97 面，此时有7892105 个，所以涂两面的最少有105 个；涂三面的长方体， 如三面不两两相邻，应涂两个 87 面、一个 97 面，有 78894147个；如三面两两相邻，有718171918191146 个，所以涂三面的最少有 146 个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307 个【例9】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成如干个同样大小

10、的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情形，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1 的情形当长方体的长、宽、高中有一个是1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些由于有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，设 100ab ，那么分成的小正方体个数为a2b21ab2 ab42 ab104，为了使小正方体的个数尽量少，应使ab 最小，而两数之积肯定，差越小积越小，所以当1021

11、02144 个小正方体ab10时它们的和最小，此时共有当长方体的长、宽、高都大于1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8 个顶点所在的小正方体后12 条棱上剩余的小正方体，由于有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331由于三个数的和肯定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应当令312227 ，此时共有2227108 个小正方体由于 108144，所以至少要把这个大长方体分割成108 个小正方体【例10】 把 正方体的六个表面都划分成9 个相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正

12、方形最多有多少个？学习必备欢迎下载【解析】 一个面最多有5 个方格可染成红色（见左下图）由于染有5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5 个红色方格红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4 个红色方格（见上中图）由于染有4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4 个红色方格最终剩下两个相对的面，每个面最多可以染2 个红色方格（见右上图）所以，红色方格最多有52422222 （个）（另解）事实上上述的解法并不严密，“假如最初的假设并没有两个相对的有5 个红色方格的面，是否其他的四个面上可以显现更多的红色方

13、格呢？”这种解法回避了这个问题，假如我们从约束染色方格数的本质缘由入手，可严格说明22是红色方格数的最大值对于同一个平面上的格网，假如依据国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应当兼顾棱、角等面与面相交的地方： 如图，每个角上三个方向的3 个方格必需染成不同的三种颜色，所以8 个角上最多只能有8个方格染成红色 如图，阴影部分是首尾相接由 9 个方格组成的环，这 9 个方格中只能有 4 个方格能染成同一种颜色 假如有 5 个方格染同一种颜色， 必定显现相邻， 可以用抽屉原理反证之： 先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四

14、个抽屉，必定有一个抽屉中有两个红色方格 ，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道） ，涉及的 18个方格中最多能有 8 个可染成红色 剩下 633839212 个方格，分布在6 条棱上，这12个格子中只能有6 个能染成红色综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622个格子能染成红色，第一种解法中已经给出 22 个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情形【例11】 一 个长、宽、高分别为21厘米、 15厘米、 12厘米的长方形. 现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最终再从其次次剩余的部分尽可能大的切下

15、一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 此题的关键是确定三次切下的正方体的棱长. 由于 21:15:127:5: 4 ，为了便利起见. 我们先考学习必备欢迎下载虑长、宽、高分别为7 厘米、 5 厘米、 4 厘米的长方体 .由于 754 ，简单知道第一次切下的正方体棱长应当是4 厘米， 其次次切时， 切下棱长为3 厘米的正方体符合要求. 第三次切时，切下棱长为2 厘米的正方体符合要求333那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12 厘米、 9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体积应是：21151212961107（立方厘米）.63126121296612993129【例12】 有

16、 黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的外形，已知相邻 有公共面 的积木颜色不同，标a 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【解析】 分层来看，如下图 切面平行于纸面 共有黑色积木17 块【例13】 05 年武汉明心杯数学挑战赛 如下列图，一个555 的立方体，a在一个方向上开有1 15 的孔，在另一个方向上开有215 的孔，在第三个方向上开有315的孔， 剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】 求体积：开了 315 的孔，挖去31515，开了 1 15 的孔，挖去 11514 ；开了 215 的孔，挖去 215226 ，剩余部分的体积是：5551546100 另解 将整个图形切片，

17、假如切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为55612138 ，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为22515121320 、2153513132 、 215151 1214 ，所以总的表面积为138203214204学习必备欢迎下载 另解 运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的暴露正方形个数：前后方向：32上下方向：30左右方向：40112211121111211112111211222222222222222211211121122222112211121111211总表面积

18、为2323040204 【总结】“切片法”：全面打洞 例如此题，五层一样 ，挖块成线 例如此题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖 ，这里表达的思想方法是：化整为零，有序摸索！【例14】 （ 20xx 年迎春杯高年级组复赛）右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的2 倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面绽开图的立体图形的体积是以为平面绽开图的立体图形体积的倍【解析】 此题中的两个图都是立体图形的平面绽开图，将它们仍原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以为平面绽开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四周体，右图以为平面绽开图的立体图形，是一个不规章图形，底面

19、是，四个侧面是，两个斜面是对于这两个立体图形的体积，可以采纳套模法来求，也就是对于这种我们不熟识的立体图形，用一些我们熟识的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分 由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套对于左图来说，相当于由一个正方体切去4 个角后得到 如下左图，切去abda1 、 cbdc1 、d1 a1c 1d 、 b1 a1c 1b ；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2 个角后得到 如下右图，切去 bacb1 、dacd1 cbbcaaddb 1c1a1d 1c1b1a1d 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图

20、中的立方体的棱长为b ，就以为平面绽开图的立体图形的体积为：a1 a 2a141 a3 ，3233学习必备欢迎下载以为平面绽开图的立体图形的体积为b31 b 2b122 b 3 233由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形的边长，通过将等腰直角三角形分成4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2 倍，即 b2a 那么以为平面绽开图的立体图形的体积与以为平面绽开图的立体图1 a3 : 2 b313233333形的体积的比为：a :2a1:16 ，也就是说以为平面绽开图的立体图形的体积是以为平面绽开图的

21、立体图形体积的16 倍【例 15】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5 米、 1米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米？ 取 3.14 10.51111.5【解析】 从 上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为23.141.514.13 立方米 ，侧面积为223.140.511.5118.84立方米 ，所以该物体的表面积是14.13 18.8432.97 立方米 【例 16】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米， 底面半径是2 厘米将它的底面平均分成如干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 3.14【解析】 从图中可

22、以看出，拼成的长方体的底面积与原先圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原先圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积 法 1 这两个侧面都是长方形，且长等于原先圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径可知，圆柱体的高为米 ；50.243.14224 厘米 ，所以增加的表面积为24216 平方厘 法 2 依据长方体的体积公式推导增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为 50.24立方厘米， 而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.1426.28 厘米，所以侧面长方形的面积为50.246.288

23、平方厘米，所以增加的表面积为8216 平方厘米【例 17】 20xx 年”期望杯” 五年级第2 试 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水 如图 ，由图中的数据可推知瓶子的容积是 立方厘米 取 3.14 10684 单位：厘米 学习必备欢迎下载【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6 厘米的圆柱，空气部分构成高为1082 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：4 2623.1432100.48 立方厘米 2【例18】 一 个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5 厘米，深20 厘米，水深15 厘米今将一个底面半径为 2

24、厘米，高为17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中求这时容器的水深是多少厘米？【解析】 如圆柱体能完全浸入水中，就水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：5215225 21717.72 厘米 它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中于是所求的水深便是17.72厘米【例19】 有 甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10 厘米、 20 厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 两个圆柱直径的比是1: 2 ，所以底面面积的比是1

25、: 4 铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水上升的高度应当是甲杯中下降的高度的1 ，即 21440.5 厘米 【例20】 如 图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1 ，乙容器中水的高度是锥高的2 ，33比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？乙甲【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ，高为 h ，就甲、乙容器中水面半径均为2 r ，就有3v容器1 r 2h ，3v乙水1 （ 2 r）22 h82r h ， v甲水1 r 2 h1 （ 2 r）22 h19 r 2 h ，3338119 r 2h333381v甲水8119 ，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容

26、器中水的19 倍v乙水8 r 2h8 881【例 21】 20xx 年仁华考题 如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20 厘米，中间有始终径为 8 厘米的卷轴， 已知薄膜的厚度为0.04 厘米，就薄膜绽开后的面积是平方米20cm8cm100cm22【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：2081008400 立方厘米 ，薄膜绽开后22为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜绽开后的面积为学习必备欢迎下载8400 0.04659400平方厘米65.94 平方米另解：也可以先求出绽开后薄膜的长度，再求其面积22由于绽开前后薄膜的侧面的面积不变，绽开前为 20884

27、平方厘米 ，绽开后22为一个长方形，宽为0.04 厘米，所以长为84 0.046594厘米，所以绽开后薄膜的面积为 6594100659400平方厘米65.94 平方米【例 22】 如图， abcd 是矩形， bc6cm ， ab10cm ，对角线 ac 、 bd 相交 o e 、 f 分别是 ad与 bc 的中点，图中的阴影部分以ef 为轴旋转一周，就白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 取 3a edaedoob fcbfc【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形两个圆锥的体积之和为122 323530 90 立方厘米 ；圆柱的体积为 3

28、10270 立方厘米 ，所以白色部分扫出的体积为27090180 立方厘米 【例23】 人大附中分班考试题目 如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为10 厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积【解析】 先求表面积表面积可分为外侧表面积和内侧表面积2外侧为 6 个边长 10 厘米的正方形挖去4 个边长 4 厘米的正方形及2 个直径 4 厘米的圆，所以，外侧表面积为：10106444 225368 平方厘米 ；内侧表面积就为右上图所示的立体图形的表面积，需要留意的是

29、这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4 个正方形面不能运算在内，所以内侧表面积为：4316244 222 232192328 24 22416 平方厘米 ，所以，总表面积为：22416 5368 7608 785.12 平方厘米 再求体积 运算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图， 只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可米 ；挖出的几何体体积为：24434444 2321926424 25624 立方厘所求几何体体积为：10101025624668.64 立方厘米 学习必备欢迎下载练习1、（学校生数学报邀请赛）从一个棱长为10 厘米的正方形木块中挖去一个长10 厘米、宽

30、2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 写出符合要求的全部答案【解析】 按图 1 所示沿一条棱挖，为592 平方厘米； 按图 2 所示在某一面上挖，为632 平方厘米；按图 3 所示在某面上斜着挖，为648 平方厘米；按图 4 所示挖通两个对面，为672 平方厘米332311321213211 33223图 1图 2图 3图 42、（ 20xx 年 香港保良局第12 届学校数学世界邀请赛）如图，原先的大正方体是由125个小正方体所构成的 其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分 请问剩下的部分共有多少个小正方体？【解析】 对于这一类从立体图

31、形中间挖掉一部分后再求第体8题积 （或小正方体数目） 的题目一般可以采纳 “切片法”来做，所谓“切片法” ，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的） ，然后分别运算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最终再把它们相加采纳切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出，第1、2、3、4、5 层剩下的小正方体分别有22 个、 11 个、 11 个、 6 个、 22个，所以总共仍剩下22111162272 （个）小正方体3、有很多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字 不同的立方体可以写相同的数字 先将写着 2

32、的立方体与写着 1 的立方体的三个面相邻，再将写着 3 的立方体写着 2 的立方体相邻 见左下图 依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的全部数字之和是多少 .学习必备欢迎下载【解析】 第一层如下图，其次层、第三层依次比上面一层每格都多1 见下图 54365476543254365432第一层143其次层254第三层3上面的9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的全部数之和都是27同理，下面 的 9 个数之和是45 ，下面、左面、后面的全部数之和都是45所以六个面上全部数之和是27453216 4、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形 不包括瓶颈 ，如图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶

33、子正放时，瓶内的酒精的液面高为6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2 厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【解析】 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623 倍所以酒精的体积为 62.172毫升0.062172升26.433162.172立方厘米，而62.172 立方厘米5、图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20 厘米， 中间有始终径为6 厘米的卷轴 已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸绽开后大约有多长？【解析】 将这卷纸绽开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积因此，纸的长度：纸卷侧面积3.141023.14323.1410097143.5 厘米 纸的厚度0.040.04所以，这卷纸绽开后大约71.4米6、如右图，一个正方体外形的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3 片，每片又锯成4 长条，每条又锯成 5 小块， 共得到大大小小的长方体60 块那么， 这 60 块长方体表面积的和是多少平方米.学习必备欢迎下载【解析】 我 们 知道 每切 一 刀， 多出 的 表面 积恰 好 是原 正方 体的2个面 的面 积 现 在一 共切 了