第02节 换元积分法

1、第第 二节二节 换元积分法换元积分法一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法从而根据不定积分的定义就得从而根据不定积分的定义就得设设 具有原函数具有原函数 ，即，即( )f u( )f u( )( ),f uf u( )( ).f u duf uc如果如果 是另一变量是另一变量 的函数的函数 ，且，且ux( )ux设设 可微，则根据复合函数微分法，有可微，则根据复合函数微分法，有( ) x ( ) ( )( ) ( )( ),dfxfx dxfxx dx根据上面分析，有如下定理：根据上面分析，有如下定理： ( )(

2、 ) ( )( ) ( ) ( ).fxx dxfx dxdfxfxc代入中间变量代入中间变量 ，则上式为，则上式为( )ux( ) ( )( )( )( ) ( ).uxfxx dxf u dudf uf uc定理定理 1（第一类换元积分法）（第一类换元积分法） 设设 具有具有( )f u原函数，原函数， 可导可导 ，则有换元公式，则有换元公式( )ux( ) ( )( )( ).(1)uxfxx dxf u du该如何利用公式（该如何利用公式（1）求不定积分？）求不定积分？ 当积分当积分不易积出，即不易积出，即 的原函数不易的原函数不易( )g x dx( )g x找到时，如果可从找到时，

3、如果可从 中分出部分作为中分出部分作为 ，( )g x( ) x并将所剩部分写成并将所剩部分写成 的函数，即将的函数，即将( ) x( )g x表达成表达成 的形式，则由定理的形式，则由定理1 1， ( )( )fxx( ) ( )| ( ).uxf ucfxc( ) ( )( )g x dxfxx dx( ) ( )( )( )|uxfx dxf u du由于在积分过程中由于在积分过程中, , 先要从被积表达式中先要从被积表达式中凑出一个微分因子凑出一个微分因子 ，故第一，故第一( )( )dxx dx类换元法通常也称类换元法通常也称凑微分法凑微分法3sin(31).xdx例例1 1 解解

4、被积函数中，被积函数中， 是一个复合函数：是一个复合函数：sin(31)xsin(31)sin ,31,xu ux常数因子常数因子 恰好恰好3是中间变量是中间变量 的导数，因此，我们作变换的导数，因此，我们作变换u，便得，便得31ux3sin(31)sin(31)(31)xdxxxdxsincosuduuc cos(31).xc 125dxx例例2 2 解解 被积函数被积函数11,25.25uxxu这里缺少这里缺少 这样一个因子这样一个因子, , 但是因为但是因为2dudx是个常数，故可改变系数凑出这个因子：是个常数，故可改变系数凑出这个因子：dudx111112(25) ,252 252 2

5、5xxxx从而令从而令 ，便有，便有25ux111(25)252 25dxxdxxx11(25)225dxx111ln |22duucu一般地，对于积分一般地，对于积分 ，总可，总可()f axb dx作变换作变换 ，把它化为，把它化为uaxb1ln |25|.2xc1()() ()f axb dxf axb d axba1( )u ax bf u dua22xxe dx例例3 3 解解 被积函数中的一个因子为被积函数中的一个因子为22,xueeux数，因此有数，因此有剩余的因子剩余的因子 恰好是中间变量恰好是中间变量 的导的导2ux2x2222()xxxe dxe d xue duuec2.

6、xec23x xdx例例4 4 量量 的导数，于是有的导数，于是有23ux解解 被积函数中的一个因子是被积函数中的一个因子是23,xu；剩余的因子；剩余的因子 可化为中间变可化为中间变x23ux222133(3)2x xdxxxdx 12udu321 22 3uc3221(3).3xc一般地，对于积分一般地，对于积分 ，总可，总可2()xf axb dx作变换作变换 ，把它化为，把它化为2uaxb2213(3)2xd x 2221()() ()2x f axb dxf axb d axba21( )2u axbf u dua一般地一般地, , 常用的凑微分公式为：常用的凑微分公式为：221()

7、,1(),211( ),12 (),(),xxdxd axbaxdxd axbadxdxxdxdxxe dxd e (1)(2)(3)(4)(5)22cos(sin ),sin(cos ),sec(tan ),csc(cot ),sec tan(sec ),(11) csc cot- (csc ),dxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdxdx (6)(7)(8)(9)(10)221(12)(arcsin ),11(arctan ),11(ln ).dxdxxdxdxxdxdxx(13)(14)tan xdx例例5 5 解解 利用三角形恒等式把被积函数变形为利用三角形恒等式把被

8、积函数变形为sintancosxxxsintancosxxdxdxx1(cos )cosx dxx1(cos )cosdxx 1duu ln |uc ln |cos|.xc tanln |cos|xdxxc cot xdx例例6 6 解解coscotsinxxdxdxx1(cos )sinx dxx1(sin )sinx dxx1(sin )sindxx1duuln |ucln |sin|.xccotln |sin|xdxxc221dxax例例7 7 解解22221111( )dxdxxaxaa2111 ( )adxxaa211( )1 ( )xdxaaa1arctan.xcaa2211arc

9、tanxdxcaxaa221(0)dx aax例例8 8 解解2221111 ( )dxdxaxaxa21( )1 ( )xdaxaarcsin.xca221arcsin(0)xdxc aaax例例9 9 求求1.(12ln )dxxx解解11(ln )(12ln )12lndxx dxxxx1(ln )12lndxx11(12ln )2 12lndxx1ln(12ln ).2xc211tandxxx例例10 10 解解21111tantan( 1)( )dxdxxxxx11tan( )dxx 1( ln |cos|)cx 1ln |cos|.cx第一类换元积分法的主要思想是：通过第一类换元积

10、分法的主要思想是：通过各种运算（例如代数运算，三角恒等变换等）各种运算（例如代数运算，三角恒等变换等）将所求积分凑成积分表里已有的形式合理将所求积分凑成积分表里已有的形式合理是应用这种换元法的关键一般说来，应该选是应用这种换元法的关键一般说来，应该选选择选择 ，并从被积函数中分离出，并从被积函数中分离出 ，( ) x( ) x取这样的函数作为取这样的函数作为 ： 易分离易分离( ) x( ) x且且 易求即由易求即由 易得出易得出 ( ) x( ) x dx( )dx 被积函数中所剩部分化为被积函数中所剩部分化为 的函数的函数( ) x，令，令 后，后， 的原函数的原函数( ( )fx( )u

11、x( )f u要容易地请求出要容易地请求出sincosxxdx例例11 11 解一解一 选取选取cos( ), ( )sin .xxxxsincossin(sin )xxdxxdx21sin.2xc解二解二 选取选取sin( ), ( )cos .xxxx sincoscos(cos )xxdxxdx 21cos.2xc 解三解三1sincossin22xxdxxdx1sin2(2 )4xdx1cos2.4xc 2sincosxxdx例例12 12 解解 选取选取cos( ), ( )sin .xxxx22sincossin(sin )xxdxxdx31sin.3xc例例13 13 解解 选取

12、选取sin( ), ( )cos .xxxx 32sincosxxdx3222sincossinsincosxxdxxxxdx22(1 cos)cos(cos )xxdx 42(coscos) (cos )xx dx5311coscos.53xxc例例14 14 解解2sin xdx21 cos2sin2xxdxdx1(cos2)2dxxdx11cos2(2 )22xxdx11(sin2 )22xxc11sin2.24xxc例例1515解解 因为因为sin5 cos4xxdx1sin5 cos4sin(54)sin(54) 2xxxx1sin5 cos4( sin9sin)2xxdxxdxxd

13、x1 1sin9(9 )sin2 9xdxxdx11coscos9.218xxc 一般地，对于形如的一般地，对于形如的 积分，积分，sincosmnxxdx可按如下方法处理：可按如下方法处理： 、 中至少有一个中至少有一个mn为奇数时，譬如为奇数时，譬如 ，21nk212sincossin(1 sin)(sin )mkmkxxdxxxdx 、 都是偶数时，可用倍角公式都是偶数时，可用倍角公式mn2(1)mkuudu代回代回化成化成 的多项式的积分，求出后以的多项式的积分，求出后以usinux2211sin(1 cos2 ),cos(1cos2 )22xxxx降低三角函数的幂次降低三角函数的幂次

14、. .对于形如对于形如sincos, sinsin,coscosmxnxdxmxnxdxmxnxdx的积分的积分, ,通常先利用积化和差公式通常先利用积化和差公式 , , 再使用再使用第一换元法积分第一换元法积分. .1sincossin()sin() 2mxnxmn xmn x1sinsincos()cos() 2mxnxmn xmn x 1coscoscos()cos() 2mxnxmn xmn x例例16 16 解解xxxxeedxee1()xxxxxxxxeedxeedxeeee1()xxxxd eeeeln().xxeec例例17 17 解解 因为因为2194xdxx22211949

15、494xxdxdxdxxxx但是但是22112943 1 ()3dxdxxx2221()29494d xxdxxx2112()2321 ()3dxx112arcsin(),23xc221(94)14294dxx因而因而2212 94,8xc 221121arcsin()94.23494xdxxxcx例例18 18 解解2123dxxx221123(1)2dxdxxxx221(1)(1)( 2)d xx11arctan.2xcx例例1919解解2143dxxx21143(1)(3)dxdxxxxx111()231dxxx1111(3)(1)2321d xd xxx11ln |3|ln |1|22

16、xxc13ln |.21xcx例例20 20 求求3.(1)xdxx解解3(1)xdxx31 1(1)xdxx 2311 (1)(1)(1)dxxx211.12(1)cxx 2311(1)(1)(1)(1)dxdxxx例例2121解解221dxxa2211()()dxdxxaxa xa111()2dxaxaxa1111()()22d xad xaaxaaxa11ln |ln |22xaxacaa1ln |.2xacaxa2211ln |2xadxcxaaxa例例2222解解secxdx1seccosxdxdxx2coscosxdxx2cos1 sinxdxx21(sin )1 sindxx22

17、11ln |2axdxcaxaax11 sinln |.21 sinxcx221(1 sin )ln |21 sinxcx221(1 sin )ln |2cosxcx1 sinln |cosxcx1sinln |coscosxcxxln |sectan|.xxcsecln |sectan|xdxxxc例例2323解解cscxdx1cscsinxdxdxx2sinsinxdxx2sin1xdxcos x21(cos )1 cosdxx21(cos )1dxcos x 11 cosln |21 cosxcx 2211ln |2axdxcaxaax11 cosln |21 cosxcx2211 co

18、sln |21 cosxcx（）2211 cosln |2sinxcx（）1 cosln |sinxcx1cosln |sinsinxcxxln |csccot|.xxccscln |csccot|xdxxxc例例24 24 求求解（二）解（二）1sindxxcsc.xdxcscxdx12sincos22dxxx21( )2tan(cos)22xdxx1(tan)2tan2xdxln | tan|2xcln |csccot|.xxc例例25 25 求求1.1xdxe解解11xdxe11xxxeedxe(1)1xxedxe1xxedxdxe1(1)1xxdxdeeln(1).xxec例例26 2

19、6 求求121(1).xxedxx解解211()1,xxx 121(1)xxedxx11()xxed xx1.xxec例例2727 求求1.2321dxxx解解 原式原式232123212321xxdxxxxx11232144xdxxdx1123 (23)21 (21)88xdxxdx33112321.1212xxc例例28 28 求求解解1.1 cosdxx11 cosdxx1 cos1 cos1 cosxdxxx21 cos1 cosxdxx21 cossinxdxx2211(sin )sinsindxdxxx1cot.sinxcx 解解例例29 29 求求21.4arcsin2dxxx2

20、14arcsin2dxxx2121 ( ) arcsin22xdxx（ ）1(arcsin)2arcsin2xdxlnarcsin.2xc21arcsin1duduu解解例例30 30 求求22tan 1.1xxdxx22tan 11xxdxx22211tan 1(1)21xxdxx22211tan 1(1)21xdxx22tan 1( 1)x dx2ln |cos 1|.xc tanln |cos|.uduuc 1 1()2dud uu解解例例31 31 求求.()ndxx xa1()()nnnndxxaxdxx xaax xa111()nnxdxaxxa1111nnnxdxdxaxnxa1

21、11ln |()nnxd xaanxa11ln |ln |nxxacan1ln |.nnxcnaxa或或1()()nnnndxxdxx xaxxa1()nnndxnxxa111()nnndxnaxxa1ln |.nnxcnaxa解解例例32 32 求求.axdxax22axaxdxdxaxax2222221()2ad axdxaxax22arcsin.xaaxca解解例例33 33 求求1.1 sindxx11 sin.1 sin(1 sin )(1 sin )xdxdxxxx21 sin1 sinxdxx21 sincosxdxx22(cos )coscosdxdxxx1tan.cosxcx

22、2111 sin(cossin)22dxdxxxx或或22sec2(1tan)2xdxx2(1tan)22(1tan)2xdx2.1tan2cx 解解例例34 34 求求221.sin2cosdxxx2222211sinsin2cos(2)coscosdxdxxxxxx2tan2tandxx1tanarctan.22xc解解例例35 35 求求241.1xdxx2242211111xxdxdxxxx21()1()2xxdxxx21()1()2d xxxx11arctan.22xxc解解 因为因为例例36 36 求求arctan.(1)xdxxx所以所以211(arctan)1 ()2xxx 1

23、,2(1)xxarctan2 arctan(arctan)(1)xdxxdxxx2(arctan).xc解解 因为因为例例37 37 求求lntan.cos sinxdxxx所以所以211(lntan )sec,tancos sinxxxxx lntanlntan(lntan )cos sinxdxxdxxx21(lntan ).2xc二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法是通过变量代换第一类换元法是通过变量代换 ,( )ux将积分将积分 ( )( )fxx dx化为化为( )f u du第二类换元法则相反，它通过变量代换第二类换元法则相反，它通过变量代换( )xt将积分将积分( )f

24、x dx化为化为 ( )( )ftt dt，在求出后一个积分后，在求出后一个积分后，再以再以( )xt的反函数的反函数( )tx代回去代回去.这样，换元公式可表为这样，换元公式可表为( )( ) ( )( )txf x dxftt dt定理定理2 （第二类换元积分法）（第二类换元积分法）设函数设函数( )xt的原函数存在，则有换元积分公式的原函数存在，则有换元积分公式单调，可导，且单调，可导，且 ，又设，又设 ( )( ),ftt( )0t( )( ) ( )( ),txf x dxftt dt（2 2）其中其中 为为 的反函数的反函数( )xt( )tx证证 设设 的原函数为的原函数为 ，只

25、需，只需( )g t ( )( )ftt验证验证 是是 的原函数即可由定理的原函数即可由定理( )f x ( )gx( )xt所给条件及反函数求导法则，可知所给条件及反函数求导法则，可知11,( )dtdxdx dtt存在反函数存在反函数 ，且有，且有( )tx于是，根据复合函数求导法则，得于是，根据复合函数求导法则，得 ( )( )dddtgxg tdxdtdx1( )( )g tt由不定积分定义便得由不定积分定义便得1 ( )( ) ( )( ).( )fttftf xt( ) ( ).f x dxgxc( )g tc( )( )( ( )( )xtf x dxftt dt( ) ( ).

26、txgxc例例38 38 求求1.121dxx于是于是解解 设设 ，则，则21tx21,2txdxtdt111121dxtdttx111tdtt 11dtdtt ln |1|ttc 2121ln |21 1|.txxxc 例例3939 求求22(0).ax dxa解解 求这个积分的困难在于有根式求这个积分的困难在于有根式22ax利用三角恒等式利用三角恒等式22sincos1tt来化去根式来化去根式令令sin (),22xatt cos,dxatdt22222sincos ,axaatat22coscosax dxat atdt22cosatdt2(1 cos2 )2at dt21(sin2 )

27、22attc2(sin cos )2atttcax22axtsinxta22,s,axco ta用用 arcsinxta代入，并由代入，并由22222arcsin.22axxax dxaxca有有例例2 2 求求解解 令令324.xx dx2sin ,2cos(,)2 2xt dxtdt t 324xx dx322sin44sin2costttdt3232 sin costtdt2232 sin (1 cos )costttdt2432 (coscos) costt dt 351132( coscos)35ttc 35224144.35xxc 2x24xt例例3 3 求求221(0).dxax

28、a解解 令令tanxat2sec,dxatdt221dxxa21secsecatdtat(,)2 2t 221tansecttsectdt1ln(sectan )ttcax22xat221ln |xxacaa22ln |.xxac1(ln |)cca例例4 4 求求22 31(0).()dxaxa解解 令令tanxat(,)2 2t 2secdxatdt222 3222 311sec()(tan)dxatdtxaata22311secsectdtat211secdtat21costdta21sintca2221.xcaxaax22xat例例5 5 求求221(0).dxaxa解解 令令secx

29、at(0,)2tsec tandxattdt221dxxasectantanattdtatsectdt0ln(sectan )ttcax22xa220ln |.xxacaa22ln |.xxac0(ln |)ccat例例6 6 求求21.1dxx x 解解 令令sec ,xt(0,)2tsec tandxttdt2211sec tan1secsec1dxttdtx xtt1sec tansec tanttdtttdttc 2(tan1)tx2arctan1xc 1x21x t说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化

30、掉根式一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22(1)ax可令可令sin ;xat22(2)ax可令可令tan ;xat22(3)xa可令可令sec .xat三角代换并不是绝对的，需根据被积函数三角代换并不是绝对的，需根据被积函数说明说明(2) (2) 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用例例7 7 求求521xdxx（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21,tx221,xt,xdxtdt令令解解的情况来定的情况来定521xdxx22(1)ttdtt42(21)ttdt531253tttc 2421(843) 1.15xxxc例例8 8 求求1.1xdxe1,xte解解 令令21,xet22,1tdxdtt11xdxe221dtt2ln1 ,xt11()11dttt1ln1tct2ln11.xexc1 1ln1 1xxece 说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时, , 可采用可采用1.xt例例9 9 求求71(2)dxx x 1,xt21,dxdtt令令解解倒代换倒代换71(2)dxx x 271()1( )2tdttt 671 2tdtt77111 21