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文档简介
1、第五章平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算基瑞知识目主学习要点梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量:向量的大小叫做向量的或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量:其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量a非零向量a的单位向量为土|a|平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等, 不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律求两个向量和的运a(1)交换律:a + b =(2结合加法算律:(a+ b) + c=a求a与b的相反向Z
2、J减法量一b的和的运算1a b = a + ( b)叫做a与b的差法则(1)1 Aa| =(2)当20时,沟的方向A 旧)=;(A+求实数?与向量a的与a的方向;当入数乘u)a =;积的运算<0时,Aa的方向与a的“a + b)=方向;当0时,Aa =3.共线向量定理向量a(a丸)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得难点正本疑点清源1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素 用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量或者说长度相等、方向相同的向量是相等的向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小2.向量平行与直线平行的区别向
3、量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合基础自测1.化简OP QP+ MS MQ的结果为2.在平行四边形 ABCD中,E为DC边的中点,且AB = a, AD = b,则BE=3下列命题:平行向量一定相等;不相等的向量一定不平行;平行于同一个向量的两个向量是共线向量;相等向量一定共线其中不正确命题的序号是 .4已知D为三角形 ABC边BC的中点,点 P满足PA+ Bp+ CP= 0, Ap =回5,则实 数泊勺值为.5已知0是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA + OB + OC = 0,那么()A.
4、AO = ODB.AO = 20DC.A0 = 30DD.2A0 = 0D题型分类*深度剖析题型一 平面向量的概念辨析【例11给出下列命题:若|a|=|b|,贝U a= b;若 A, B, C, D是不共线的四点,贝U AB= DC是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件;若 a= b , b = c,则a = c;a = b的充要条件 是|a|= |b|且 a /b.其中正确命题的序号是 .探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2) 相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性(3) 共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(4) 向量可以平移,平移后的向量与原向量是相
5、等向量.解题时,不要把它与函数图象移动混为一谈.aa非零向量a与的关系是:是a方向上的单位向量|a|a|一判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由(1) 若向量a与b同向,且|a|>| b|,贝U a>b ;(2) 若|a| = |b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;(3) 若|a| = |b|,且a与b方向相同,则a = b ;(4) 由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;(5) 若向量a与向量b平行,则向量a与b的方向相同或相反;(6) 若向量AB与向量CD是共线向量,则 A, B, C, D四点在一条直线上;(7) 起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相
6、等向量;(8) 任一向量与它的相反向量不相等题型二向量的线性运算【例2】 在ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且 GB= 2GE,设AB = a, AC = b,试用 a, b 表示 AD, AG.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果龙式川端2 在abc中,E、F分别为AC、AB的中点,BE与CF相交于G点,设AB = a, AC= b ,试用a , b表示A
7、G.题型三平面向量的共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线,(1)若AB = a + b , BC= 2a + 8b, CD = 3(a b),求证:A、B、D 三点共线;试确定实数k,使ka + b和a + kb共线.探究提高(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数入i,冷,使/ia + ;2b = 0成立,若/ia +入2b = 0 ,当且仅当 加=)2 = 0时成立,则向量 a、b不共线.燮式训恥 如图所示, ABC中,在AC上取一点N ,1 1使得AN =
8、 一AC,在AB上取一点 M,使得 AM =一AB ,331在BN的延长线上取点P,使得NP = 2bn,在CM的延长线上取点Q,使得MQ = XCM时,AP = QA,试确定入的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题:(14分)如图所示,在 ABO中,OC = OA,4oD=2oB,ad与bc相交于点m,设oA=a,OB = b.试用a和b表示向量OM .审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去 .(2) 既然OM能用a、b表示,那我们不妨设出 OM = ma+ nb.(3) 利用共线定理建立方程,用方程的思想求解
9、.规范解答解设OM = ma + nb ,则 AM = OM OA = ma + nb a= (m 1)a + nb.Iff 1 TT1AD = OD OA = OB OA = a +b.2 23分又TA、M、D三点共线, AM与AD共线.存在实数t,使得AM = tAD ,1即(m 1)a+ nb = t a +51(m 1) a + nb = ta + gtb.t,消去 t 得,m 1 = 2n,n =2即 m + 2n = 1.7分又tCM = OM OC =1ma + nb _ a =4d d d1CB= OB OC = b 一41a= 一 a + b.4又tC、M、B三点共线, CM
10、与CB共线.10 分存在实数t1,使得CM = t1CB,1 1 m a + nb = t1 a + b ,441 1m - 4=-4t1,消去t1得,4m + n = 1.12n = t1分1 3 T 13由得 m = 7,n = 7,-OM = 7a + pb.14 分批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.(2)学生的易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有"形”的量,因此在解决向量有关问题时, 多数习题要结合图形进行分析判断求解,这是研究平面向量
11、最重要的方法与技巧 .如本题学生易忽视 A、M、D共线和B、M、C共线 这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.思想方法感悟提高方法与技巧1. 将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是十分重要的技能,也是向量坐标形式 的基础.2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB /CD且AB与CD不共线,则AB /CD ;若 AB /BC,贝U A、B、C 三点共线.失误与防范1. 解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2. 在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序, 从
12、而求得所求向量的相反向量,导致错误.§5.1平面向量的概念及线性运算(时间:60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.给出下列命题: 两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; 两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ?a = 0 ( X为实数),则/必为零; 入p为实数,若Xa= pb,则a与b共线.其中错误命题的个数为(A. 1B.2C.3D.42.设P是ABC所在平面内的一点,BC+ BA = 2BP,贝Ua.pA+ pb= 0B.PC+ PA = 0c.PB+ PC=0D.PA+ PB+PC= 03.已知向量a, b不共线,c = ka + b (k R), d = a
13、- b.如果c /d,那么(A. k= 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =- 1且c与d同向D. k=- 1且c与d反向二、填空题B、D4.设 a、b 是两个不共线向量, AB = 2a+ pb , BC= a+ b , CD = a 2b,若 A、三点共线,则实数 p的值为5.在平行四边形 ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若AC = 淀+ 斥,其中入口 R,则入+尸 6.如图,在 ABC中,AN = -NC , P是BN上的一点,3若AP= mAB + AC,则实数 m的值为11三、解答题7.如图,以向量0A = a, OB = b为边作? OADB ,1 1B
14、M = -BC,CN = -CD,用环 b表示OM、ON、8.若a, b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a, tb ,13(amN .+ b)三向量的终点在同一条直线上?专项能力提升题组、选择题1已知P是ABC所在平面内的一点,若CB= PA+ PB,其中入 R,则点P 一定在(A. ABC的内部B. AC边所在直线上C. AB边所在直线上D. BC边所在直线上2.已知AABC和点M满足MA + MB + MC = 0,若存在实数 m使得AB + AC = mAM成立,则m等于B.3A.2D.5C.43.0是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:O
15、P = OA +入AB Ac+ ,圧0,+ ),贝U P的轨迹一定通过厶ABC的() |AB| |AC|A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题4.已知向量a, b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a、b共线的条件是将正确的序号填在横线上). 2a 3b=4e,且 a + 2b = 3e; 存在相异实数 入仏使入a + 口b=0 ; x a + y = 0(实数 x, y 满足 x + y = 0);1CA + /CB,则 X=3 若四边形 ABCD是梯形,则AB与CD共线.5.如图所示,在 ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点 M、N,若 AB
16、= mAM , AC = nAN,则m + n的值为.6.在ABC中,已知D是AB边上一点,若AD = 2DB , CD =7.已知直线x + y = a与圆x2 + y2 = 4交于A、B两点,且|OA + OB|= |OA OB|,其中O为坐标原点,则实数 a的值为.三、解答题8已知点G是ABO的重心,M是AB边的中点.(i)求 GA + GB+Go ;i若 PQ 过AABO 的重心 G,且 OA = a, OB = b , OP = ma, OQ = nb,求证:一+m=3. n答案要点梳理1.大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2三角形平行四边形(1)b
17、 + a(2)a + (b + c)三角形(1)1 川a|(2)相同相反 o 入a?a +u3?a + /b3. b =Aa基础自测1.OS 2.b - - a 3.4. 25.A2题型分类深度剖析【例1】变式训练1解(1)不正确,因为向量只讨论相等和不等,而不能比较大小.(2)不正确,因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确,因为规定零向量与任意向量平行佝不正确,因为两者中若有零向量,零向量的方向是任意的.(6)不正确,因为AB与CD共线,而AB与CD可以不共线即 AB /CD.正确.(8)不正确,因为零向量可以与它的相反向量相等t 1 t t 11【例 2】 解 AD =
18、一(AB+ AC) = 一a + 一b ;2 2 2t t t t =一 AB + 一 AC=_a + 一 b. 333 t t t 1 t 1 1 t t 2 t 1 t tAG= AB + BG = AB + 一BE= AB + _(BA + BC) = AB + (AC- AB)3 333变式训练2 解 AG = AB+ BG=AB + /BE= AB + (BA + BC)=i - ab+-(AC - AB)2 2=(1 Z)AB + 2AC = (1 X)a + b.又 AG = AC+ CG = AC+ mCF=AC+ m(CA + CB) m t m=(1 m)AC+ AB =
19、a + (1 m)b ,2 2m2,解得 A= m = 3,31 Z= 一2入1 m =-2t 11AG= _a + _ b.3 3【例 3】(1)证明tAB = a+ b , BC= 2a+ 8b , CD = 3(a b),BD = BC+ CD = 2a + 8b + 3(a b)=2 a + 8 b + 3 a 3 b = 5( a + b) = 5AB.AB、Bd共线,又它们有公共点 B,A、B、D三点共线.解 Tka + b与a + kb共线,存在实数入使ka + b = Xa + kb),即 ka+ b = ?a + ?kb.°.(k 入)a = (Ak 1)b.a、b是不共线的两个非零向量,'k A= ?k 1 = 0,k1心 °C°A=产 3b, 1 = 0.k =±1.1变式训练3 课时规范训练A组1.C2.B3.D4. 14 35.6.3 117.解vE3A= 0A OB = a b ,1 t 11
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