平面解析几何测试题带答案

1、C是AB的中点，若|AB| = 2 2, OC的斜率为求椭圆的方程.1.(本小题满分 12 分)已知：圆 C： x2 + y2 8y +12 = 0，直线 I： ax + y + 2a= 0.(1) 当a为何值时，直线I与圆C相切；(2) 当直线I与圆C相交于A、B两点，且AB = 2 2时，求直线I的方程.2 .设椭圆ax2 + by2 = 1与直线x+y 1 = 0相交于A、B两点，点3 .(本小题满分12分)(2010南通模拟)已知动圆过定点 F(0,2)，且与定直线I: y = 2相切.(1) 求动圆圆心的轨迹 C的方程；(2) 若AB是轨迹C的动弦，且 AB过F(0,2)，分别以A、

2、B为切点作轨迹 C的切线，设两切线交点为Q,证明：AQ丄BQ20 /,若圆与椭圆相交于 A、4 .已知圆(x 2)2 + (y- 1)2 =，椭圆 b2x2 + a2y2 = a2b2(a> b>0)的离心率为 ?B,且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程.22m5.已知m是非零实数，抛物线 C : y 2px(p 0)的焦点F在直线l : x my0上.(I) 若m=2，求抛物线C的方程(II) 设直线I与抛物线C交于A、B两点，AF , BBf 的重心分别为 G,H.求证：对任意非零实数 m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段 GH为直径的圆外。6 .(本小题满分14分)(2010

3、东北四市模拟)已知O为坐标原点，点 A、B分别在x轴，y轴上运动，且 uuu 3 uuu|AB| = 8，动点P满足AP =-PB，设点P的轨迹为曲线 C,定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于5另外一点Q.(1)求曲线C的方程;（2）求厶OPQ面积的最大值.7 .（文）有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求 y与x的函数关系.301ZO10 30 30 40 58（理）已知矩形 ABCD的两条对角线交于点1M 2，0 ,

4、 AB边所在直线的方程为3x 4y 4 = 0.点1N 1 , 3在AD所在直线上.(1)求AD所在直线的方程及矩形 ABCD的外接圆C1的方程;(2)已知点1E , 0，点F是圆C1上的动点，线段 EF的垂直平分线交FM于点P,求动点P的轨迹方程.29 .已知直线11过点A( 1,0)，且斜率为k，直线12过点B(1,0)，且斜率为一，其中k用，又直线11与k12交于点M.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点1N 2, 1的直线1交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线1的方程.10 .如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A（33, 2）的入射光线11被直线I:

5、 y =反射，反射光线I2交y轴于B点，圆C过点A且与I1、I2都相切，求I2所在直线的方程和圆C的方程.11 设 A(1,0,0), B(3,1,1),C(2,0,1)为 oAB BC ?xyz内的点。（1）求矢量BC与CA的夹角，（2）求射影12、求以直角坐标系中矢量a 3,0, 1 ,b 2, 4,3 ,c1, 2,2为三邻边作成的平行六面体的体积。13、求球面x2 y2 z22z与旋转抛物面3z 2（x2y2）的交线在xoy坐标面上的射影。14、求两平行平面i : 3x 2y 6z 350和2 : 3x 2y 6z 560间的距离；并将平面3x 2y 6z 350化为法式方程。15、一

6、直线通过点（1,1,0）,且与z轴相交，其夹角为，求此直线的方程。4222yzx 16、求准线为49z 32且母线平行于z轴的柱面方程。X217、求过单叶双曲面 一9z2161上点（6,2,8）的直母线方程。18、（本题10分）设矢量A 2a b,Ba b，其中a 1,b2且a b，试求（1）为何值时A B ；19、（本题12分）设一平面垂直于平面0,并通过从点（1, 1,1）到直线y Z 10的垂线，求此平x 0面的方程。20 （本题6分）试证明两直线11 : xz 1o ， 12: x 1z 1为异面直线。01解：将圆C的方程X2 + y2 - 8y + 12 = 0配方得标准方程为x2+

7、 (y 4)2 = 4，则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4 + 2a|a2+ 1=2.3解得a = _4过圆心C作CD丄AB，则根据题意和圆的性质,CD =|4 + 2a|a2+ 1得 CD2+ DA2 = AC2 = 22,12.DA = 一AB =2解得 a = 7,或 a= 1.故所求直线方程为7x y+ 14 = 0或x y + 2 = 0.ax2 + by2= 1 ,2解：设A(X1, y1), B(X2, y2),那么A、B的坐标是方程组的解.x+ y 1 = 0由 ax2 + by2= 1 , ax2 + by2 = 1，两式相减，得a(X1

8、+ X2)(X1 X2) + b(y1 + y2)(y1 y2)= 0,y1 y2因为=1,X1 X2yi + y2a所以 '=-X1 + X2b2ycayca即 =,_= _2 xcbxcb2，所以b = 2a.再由方程组消去y得(a+ b)x2 2bx + b 1 = 0,由 |AB|=(xi X2)2+ (yi y2)2 =2(xi X2)2xi + X2)2 4X1X2 = 22 bb 1得(xi + X2)2 4xiX2= 4,即()2 4 = 4.a+ba+ bi3由解得a = 3,33解：(i)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L: y= 2为准线的抛物线.因为抛

9、物线焦点到准线距离等于4 ,所以圆心的轨迹是x2= 8y.证明：因为直线 AB与x轴不垂直，设 AB: y = kx + 2.A(xi, yi), B(x2, y2).y = kx + 2 , 由 i2y = 8X，可得 x2 8kx i6 = 0, xi + X2= 8k, xiX2 = i6.ii抛物线方程为y = ；x2，求导得y'=：x.84所以过抛物线上 A、 B两点的切线斜率分别是iiiii=Xi ,k2= X2,kik2 = xi_X2 =Xi X2 = i4 ，4 ，44i6所以AQ丄BQ.4解:2， a2= 2b2.因此，所求椭圆的方程为X2 + 2y2 = 2b2,

10、又 AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点,设 A(2 m, 1 n), B(2 + m,1 + n),贝U(2 m)2+ 2(1 n)2 = 2 b2,8 + 2m2 + 4 + 4n2 = 4 b2,8m +8n= 0,(2 + m)2+ 2(1 + n )2 = 2 b2,|AB|= 22 m2+ n2 = 2得 2b2= 16.2b2 = 6 + m2+ 2n2,10m2= n2 =3故所求椭圆的方程为 x2 + 2y2= 16.工m = 2 .故卩U 4.詩以弗帕恥的6创为，二皿一 <心诞唏向为粘巧找匸旳魚贞尸打立忙 ypju.p 尸】工酣T?dU：的方丹为

11、b H 机斗 »/| )(* t Jf ).111-亠 肿 2梢山得 f 二 Sffl； n rnrl 刪"社0*|丄！ f rti / U 丫+攵 _1 - J e* * 丄hJ > t) r li=ff ,i *)齢 YeIi “a n tn*. 越©在：处邸刃红皿心，上&的W .* j 2fjf5辛警).41和广:吟"比加卅zO& J . -Li dor-r.?r.：;： n设用止以线IS为f【泾的国的半特.f/l" 1 MlIJI!H艸B4芹¥八七* > > ITi' ( ffjp +

12、 1 ) ! IFJ * J t - H .fiUJXMTW 为件壮的国外.6 解：设 A(a,O), B(0, b), P(x, y),uuuruuu则 AP = (x- a, y), PB = (-x, b -y),uuur3 uuu AP = 5pB ,3y=5(b - y).又 |AB|= a2 + b2= 8,2 2x2 y2 一+一 = 1.259曲线C的方程为+ - = 1.2592 2x2 y由可知，M(4,0)为椭圆 一 + = 1的右焦点,259设直线PM方程为x = my + 4,x2y2消去x得x = my + 4,(9m2+ 25)y2 + 72 my - 81 =

13、0,寸(72 m)2 + 4 X(9m2+ 25) X819m2+ 25 lyp yQ| =90'm2+190 - m2+ 19m2 + 251 S5 = 2|OM|lyp yQl = 2 X 9m2+ 2520 m2+120 'm2+12025 =16 =16m2 + m2 + 1 + ' m2 + 1 +999pm2+1202，315当 m2 + 1 = 9 m2+ 1，12 = 0.即m时， OPQ的面积取得最大值为 15，此时直线方程为 3x32207解析当 0 強<10 时，直线过点 0(0,0) , A(10,20) ,.kOA = = 2 ,10此时

14、直线方程为y= 2x ； 当 10<x 詔0 时，直线过点 A(10,20) , B(40,30),30 201此进 kAB = 40二=3,1此时的直线方程为y 20 = (x 10),3150即y =孑+ 1 ；v1，放水的速度为v2，在OA当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为段时是进水过程， v1 = 2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为15：2 + v2 =一. v2 = 一335当 x>40 时，k =一3又过点B(40,30),此时的直线方程为5290y 一 3x+T令 y = 0 得，x = 58 ,此时

15、到C(58,0)放水完毕.y = 2x , 0 $W1O150x+, 10<x <40综上所述：y =335290_x +, 40<x <58.338解析(1) TAB所在直线的方程为 3x 4y 4 = 0，且AD与AB垂直,4直线AD的斜率为-.3又点N在直线AD上,14直线AD的方程为y一 ?(x + 1),即 4x + 3y + 3 = 0.3x 4y 4 = 0由，解得点A的坐标为(0， 1).4x + 3y + 3 = 0又两条对角线交于点 M ,M为矩形ABCD的外接圆的圆心.而 |MA|15外接圆的方程为x21 2+y2蔦.(2)由题意得,|PE| +

16、|PM| = |PF|+ |PM| =|FM| =2P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为的椭圆，设方程为x2 y2+a2 b21(a>b>0),x2 y2故动点P的轨迹方程是+ = 1.5116 169解析(1)设M(x , y) ,点M为11与12的交点,y= kx + 1(k 老),y _ 2x - 1ky2消去k得，厂一2, 点M的轨迹方程为 2x2 + y2 = 2(x丰土).(2)由(1)知M的轨迹方程为 2x2 + y2 = 2(x 工 ±), 设 C(x1 , y1) , D(x2 , y2),则 2x12 + y12 = 2 2x22 + y22 = 2得

17、 2(x1 x2)(x1 + x2) + (y1 y2)(y1 + y2) = 0 ,y1 y2x1 + x2即=2 乂x1 x2y1 + y21TN ，1为CD的中点, 有 x1 + x2 = 1 , y1 + y2 = 2,1直线I的斜率k = 2 >c= 1 ,21直线I的方程为y 1 = x 2 , 整理得 2x + 2y 3 = 0.10解析直线11 : y = 2，设11交I于点D，则D(23 , 2).J的倾斜角为30 °.12的倾斜角为60=血.反射光线I2所在的直线方程为y 2 = ：；3(x 2 ；3)，即.'3x y 4 = 0.已知圆C与I1切于

18、点A，设C(a , b).OC与11、12都相切，圆心C在过点D且与I垂直的直线上，b = : 3a + 8 圆心C在过点A且与I1垂直的直线上，a = 3 ,''3由得a = 3.'3b = 1，圆C的半径r=3 ,故所求圆C的方程为(x 3 3)2 + (y + 1)2 = 9.11、解：BC 1, 1,0 ,CA1,0, 1 , .2一 1 一(1 ) cos (BC,CA) - , (BC,CA) - ; 223鳥6(2)P'j AB BC 亍。 .21 2、解:V (a,b,c)2。 613、解:球面与旋转抛物面的交线为2x3z2z2(x2 y2)则在xoy坐标面上的摄影为2 2 2 2 23x 3y 4(x y )0。 z 0.314、解：d 3 ；110由于1与z轴相交，得mnP0，得 m n00115、解:设通过点(1,1,0)的直线方程l